高考专题缩放法

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1、高考专题放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知

2、识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求 解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和一先求和后放缩例 1正数数列 a的前nn项的和 Sn，满足 2 S =a +1 n n，试求：（1）数列 a的通项公式；n（2）设b =n1a an n +1，数列 b的前n 项的和为 B ，求证： B n n n12解 ：（ 1 ） 由 已 知 得 4S =( a +1)n n2 ， n 2时 ， 4 Sn -1=( an -1+1)2 ， 作 差 得 ：4 a =a 2 +2 a -a 2 -2 a n n n n -1n -1，所以 ( a +a )

3、( a -a n n -1 nn -1-2) =0，又因为 a为正数数n列，所以 a -a nn -1=2 ，即a是公差为 2 的等差数列，由 2 S =a +1，得a =1n 1 1 1，所以 a =2n -1n（2） b =n1a an n +11 1 1 1 = = ( - )(2 n -1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1，所以a 2 +a 2nS S -112n2 2注：一般先分析数列的通项公式如果此数列的前 n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式求和的方式一般要用到等 差 、 等 比 、 差 比 数 列 （ 这 里 所 谓 的 差 比 数

4、 列 ， 即 指 数 列 a n满 足 条件an +1-a = f (n)）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和 n二先放缩再求和1放缩后成等差数列，再求和例 2已知各项均为正数的数列 a n的前 n项和为 Sn,且 a2n+a =2 S nn.(1) 求证： S n n +14；(2) 求证： n S + S +S0 a =11 1，又由条件a 2 +a =2 S 有 a 2 +a n n n n +1n +1=2 Sn +1，上述两式相减，注意到 an +1=Sn +1-Sn得( an +1+a )( ann +1-a -1) =0 nQ a 0 a nn +1+a 0n an +

5、1-a =1n所以， a =1 +1 ( n -1) =n n， S =nn( n +1) 2所以 S =nn( n +1) 1 n 2 +( n +1) 2 a +a = n n +12 2 2 4（2）因为 n n( n +1) n +1，所以n2n ( n +1) n +1 1 2 n12+22+L+n2=n( n +1) 2 2=Sn22放缩后成等比数列，再求和例 3（1）设 a，nN*，a2，证明： a2 n-( -a)n( a +1) an ；（2）等比数列an中，a1 =-12，前n 项的和为 A ，且 A ，A ，A 成等差数列设n 7 9 82a 11 -a3， ，1n1 1

6、 1 1n 1 2n，累加得：n +1 nnn 1，所以nn，所以 S =2 -，所以 a 3 -nnnb =nn ，数列b 前 n 项的和为 B ，证明：B n n nn解：（1）当 n 为奇数时， ana，于是， a 2 n -( -a) n =a n ( a n +1) ( a +1) an 当 n 为偶数时，a11，且 ana2，于是a2 n-( -a)n=an( an-1) ( a2-1) an=( a +1)( a -1) an( a +1) an （2）A -A =a +a A -A =-a a +a =-a 9 7 8 9 8 9 9 8 9 91，公比a 1 q = 9 =-

7、a 28 a =( - ) 2n b =n4 n1 1 -( - )2n=1 14 n -( -2) n 3 2n B =b +b +Lb + +L+ = 3 2 3 22 3 2n 31 1(1 - )2 2 211 -11 1 1 = (1 - ) 01，所以 a 0 n，即 a -a = n +1 nn2 na 0n，即 a a n +1 n所以数列a n为递增数列，所以 a a =1n 1，即n n 1 2 n -1a -a = a a -a + +L+2 n 2 n 2 2 2 2 n -1令1 2 n -1 1 1 2 n -1 S = + +L+ S = + +L+2 2 2 2

8、 n -1 2 2 2 23 2 n，两式相减得：1 1 1 1 1 n -1 n +1 n +1 S = + + +L+ -2 2 2 2 23 2 n -1 2 n 2 n -1 2 n -1，故得 an +1a 3 - nn +12 n -14放缩后为裂项相消，再求和例 5在 m（m2）个不同数的排列 P P P 中，若 1ijm 时 P P （即前1 2 n i j面某数大于后面某数），则称 P 与 P 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数i j称为该排列的逆序数. 记排列 ( n +1) n( n -1) L 321的逆序数为 a ，如排列 21 的逆na an1 2n1 1 1

9、 1 1 11 2n注：常用放缩的结论：（1） -11n序数a1=1，排列 321 的逆序数 a =63（1）求 a 、a ，并写出 a 的表达式；4 5 n（2）令b = n + n +1 ，证明 2n b +b +Lb 2 =2, n =1,2, L a a n +2 n n +2 nn +1 n，所以 b +b +L +b 2 n1 2 n.又因为b =nn n +2 2 2+ =2 + - , n =1,2, L n +2 n n n +2，所以 b +b +L+b =2 n +2( - ) +( - ) +L+( - )1 3 2 4 n n +2=2 22n +3 - - 2n +

10、3n +1 n +2.综上， 2 n b +b +Lb 2 n +3, n =1,2, L .1 2 n1 1 1 1 1 1 1= = - ( k 2) k k +1 k ( k +1) k 2 k ( k -1) k -1 k（2） 2(1k-1k +1) =2k + k +11kn时 ，b 3 - m -n +1 3 - 1n =( ) m ( ) =( ) m (1 + ),b 2 m -n 2 m -nn +1b 3 1 2 1 4 ( n ) m =( ) -1(1 + ) m (1 +m ) = 1 b b b 2 m -n 3 m 3n +1即数列bn是递减数列.因为 n2，故

11、只须证 b 2m2 -1 3 m +1 , m m 2 m。事实上， (m +1 1 1 5 1 9 ) m 1 +C +C = - m m m 2 2 2 m 4故上不等式成立。综上，原不等式成立。2 设数列 a 满足 a =3, an 1n +1=2a -n +1 n（1） 求an的通项公式；（2） 若 c =1, b =c -c = , d = -a -n c c n n n +1求证：数列b dnn的前 n 项和 s n132 -n nn21 -1n分析：（1）此时我们不妨设 an +1+A( n +1) +B =2( a +An +B )n即 an +1=2a +An -A +B n

12、与已知条件式比较系数得 A =-1,B =0. an +1-( n -1) =2( a -n )n又 a -1 =2,a -n1 n是首项为 2，公比为 2 的等比数列。 a -n =2 nn, 即 a =2nn+n.（3） 由（1）知a =2 n +n, b = n n12 n. 当 n 2 时,当 n=1 时 ， c1=1也 适 合 上 式 ， 所 以 c =2 -n12 n-1， 故b d =n n12 n(2 -1 1 1- ) =1 1 (2 n+1 -2)(2 n +1 -1) 2 n -1 2 n方法一： Q 2n +1-2 2n ， 2n +1-1 3( 这步难度较大 , 也较

13、关键, 后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)1 1 1 1 1 b d , S + +. + = 3 2 n 3 2 3 2 2 3 2 n 611 -( ) n1 1 1 = (1 - ) 1 3 2n 3 2.方法二 :在数列中 ,简单尝试的方法也相当重要 . 很多学生做此题时想用裂项相 消法但是发现此种处理达不到目的.但是当 n 3 时,我们看:易验证当 n=1，2 时 s .3综上 s n13下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题 .3 已知正项数列 a 满足 a =1, an 1n +1= a +n1( n +1)2a , ( n N *) n（1）

14、 判断数列 a 的单调性；n（2） 求证：1 1 1 1- - 0故 a a ，即 a an +1 n n +1 n故数列 a 为递增数列. n222nn1 1 1 1 71 1-(2) 不妨先证 a an n +11( n +1)2再证：1 1 1 1- -n +1 n +2 a an n+1原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- =( - ) +( - ) +. +( - ) + +. + a a a a a a a a 2 3 ( n +1)1 n+1 1 2 2 3 n n +11 1 1 1 1+ +. + (用到了累差迭加法及 这种常

15、用的放缩手段). 12 2 3 n ( n +1) ( n +1) 2 n(n +1)1 1 1 1 1 1=1 - + - +. + - =1 -2 2 3 n n +1 n +1 aQ an+1n+1n +1= a +n1 a a = a 1 + n ( n +1) 2 n ( n +1) 2a a n+1 =1 +a ( n +1) n21 1- =a an n+1a- an+1a an n +1n=1( n +1)( n +1 +ann +1)这种证法还是比较自然 的, 也易让学生接受. .当 n 2 时，a an n = -a a ( n +1)( n +2) n +1 n +2 n

16、 n+1.易验证当 n=1 时,上式也成立.综上,故有1 1 1 1- - n +1 n +2 a an n +11( n +1)2成立.4 求证： + + +L + 12 2 2 32 n 2 4证明：Q1 1 1 1 = - n2 n(n -1) n -1 nn 1 a a a2n由已知得： + +L + = 1 1 1 7此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒 好处。5 已知 a =2nn-1(n N*).求证： - - , a a a 2 3 2 22 2 n 2 3 2 n 2 32 3 n +16已知数列a 的前 n 项和 S 满足：S =2a +(-1) n n n n（）写出求数列a 的前 3 项 a ,a ,a ；n 1 2 3（）求数列a 的通项公式；nn,n1（）证明：对任意的整数 m4，有1 1 1 7 + +L + a a a 84 5 m.解；数列an的通项公式为： a = 23n -2-( -1)n.1 1 1 3 1 1 1+ +L +a a a 2 22 -1 2 3 +1 2 m -2 -( -1)m 4 5 m13 1= - g(15 51 13 104 105 7 ) m -5 = =2 15 120 120 8.故 + +L + 4).