高中数学 柯西不等式

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1、类型一：利用柯西不等式求最值例 1求函数的最大值解：且，函数的定义域为 ，且 ，即时函数取最大值，最大值为法二：由且，函数的定义域为，得即，解得 时函数取最大值，最大值为 .当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式 1】设利用柯西不等式得且 ，求的最大值及最小值。,故最大值为 10，最小值为-10【变式 2】已知 ， ，求 法一：由柯西不等式的最值.于是的最大值为 ，最小值为 .vvvvvvvvbvvbvv法二：由柯西不等式于是的最大值为 ，最小值为 .【变式 3】设 2x+3y+5z=29，求函数 值根据柯西不等式的最大，故。当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6，即 时，时等号成

2、立，此变式 4：设a ?(1，0，?2)， b ?(x，y，z)，若 x2?y2?z2?16，则a b 的最大值为 。【解】a ?(1，0，?2)， b ?(x，y，z)a ?x?2z由柯西不等式12?0?(?2)2(x2?y2?z2)?(x?0?2z)2? 5?16?(x?2z)2? ?4 5 ?x?45? ?45?a ?45，故a b 的最大值为 4 5 :变式 5：设 x，y，z?R，若 x (x，y，z)?2?y2?z2?4，则x?2y?2z之最小值为时，解(x?2y?2z)2?(x2?y2?z2)12?(?2)2?22?49?36= ， ，y = z =4 9 164 9 16? (

3、 )9?(2?3?4)?81? ?921 2 3( x -1) 2 ( y +2) 2 ( z -3) 2 x?2y?2z最小值为?6，公式法求 (x，y，z) 此时x y z -6 -2 = = =1 -2 2 2 2 +( -2) 2 +2 2 3x =-2 4 -4 3 3 3变式 6：设 x,y,z R，若 2 x -3 y +z =3 ，则 x 2 +( y -1) 2 +z 2 _，又此时 y =_。解析：之最小值为 x 2 +( y -1)2+z2 2 2 +( -3) 2 +12 (2 x -3 y +3 +z ) 2 x 2 +( y -1)2+z23614最小值187 t

4、=37y =-27变式 7：设 a，b，c 均为正数且 a?b?c?9，则 + +a b c之最小值为解：(2 3 4 a + b + a b cc )2( + + )(a?b?c) a b c4 9 16 4 9 16 81 + + + +a b c a b c 9变式 8：设 a,b,c 均为正数，且a +2b +3c =2，则 + +a b c之最小值为_解：: ( a ) 2 +( 2b ) 2 +( 3c ) 2 (1 2 3) 2 +( ) 2 +( ) 2 (1 +2 +3) a b c21 2 3( + + ) 18 a b c，最小值为 18变式 9：设 x，y，z?R且 小

5、值:+ + =1 ，求 x?y?z之最大、 16 5 4【解】( x -1) 2 ( y +2) 2 ( z -3) 2 + + =16 5 41由柯西不等式知42?（5)2?22(x-41 y +2 z -3 ) 2 +( ) 2 +( )5 22+? x -1 y +2 z -3 4( ) + 5( ) +2 ( ) 4 5 2 5?|x?y?z?2|?5?x?y?z?2?52? 25?1?(x?y?z?2)2? ?3?x?y?z?7故 x?y?z之最大值为 7，最小值为?3类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（1）巧拆常数（例 1）（2）重新安排某些项的次序（例 2）（3）改变结构

6、（例 3）（4）添项（例 4）例 1设 、 、 为正数且各不相等，求证：又 、 、 各不相等，故等号不能成立。例 2 、 为非负数， + =1， 例 3若 ，求证：，求证：即解：， ，所证结论改为证例 4，求证：左端变形，只需证此式即可。【变式 1】设 a,b,c 为正数，求证：同理，即，。将上面三个同向不等式相加得，【变式 2】设 a,b,c 为正数，求证：于是即【变式 3】已知正数满足证明 。解：又因为在此不等式两边同乘以 2，再加上得：，故类型三：柯西不等式在几何上的应用6ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证：。证明：由三角形中的正弦定理得，所以 ，同理，于是左边=。

7、【变式】ABC 之三边长为 4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分别为 x，y，z，求 小值。的最且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)77 x2+y2+z2 。柯西不等式 33331 3 1 3 1(+b+c 3 a+b+cg + +abc abc)+ +2等号当且仅当a1=a2=L =an=0或b =kaii时成立（k 为常数，i =1,2 L n）利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明不等式例 2:已知正数a, b, c 满足 a +b +c =1证明a3+b3+c3a 2 +b 2 +c 32证明

8、：(a2+b2+c2)2=2 2 2 2 a2 a 2 +b 2 b 2 +c 2 c 2 a2+b2+c2 a+b+c又因为a2+b2+c2ab +bc +ca在此不等式两边同乘以 2，再加上a2 +b 2 +c 2 得： (a+b+c)3(a2+b2+c2)Q a2 +b 2 +c 2)2 a) (3 3 3 2 2 2)故 a3 +b 3 +c 3 a2+b23+c22）解三角形的相关问题例 3 设p是V ABC内的一点，x, y , z是p到三边a, b, c的距离，R是V ABC外接圆的半径，证明x+y+z12 Ra2+b2+c2证明：x+y+z=ax1 1 1 1 1 1 + by

9、 + cz ax +by +cza b c a b c记 S 为 V ABC 的面积，则 ax +by +cz =2 S =2g =4R 2 R3）求最值例 4 已知实数最值a, b, c , d 满足 a +b +c +d =3 ，a 2 +2b 2 +3c 2 +6 d 2 =5 试求 a 的解：(2b2+3c2+6d21 1 1 2 3 6 (b+c +d )即2b2+3c2+6 d2(b+c+d)2由条件可得，5 -a2(3-a)2时，max 解得，1 a 2当且仅当2b 3c 6d = =1 2 1 3 16时等号成立，代入1 1b =1, c = , d = a =2 3 62 1 b =1, c = , d =3 3时a =1min5）利用柯西不等式解方程例 5在实数集内解方程x2+y2+z2=94-8 x+6 y-24 y=39解： (x2+y2 +z2)(-8)2+62+(-24)2(-8x+6y-24y)2又 (-8x+6y -24 y )2=392 ,. (x2+y2 +z2)(-8)2+62+(-24)2=(-8x+6y-24z)2即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得x y z= = -8 6 -24，它与-8x +6 y -24 y =39联立，可得