高中数学人教B版必修一课件：2.1.3　函数的单调性

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1、2.1.32.1.3函数的单调性函数的单调性目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解函数单调性的概念理解函数单调性的概念,会用定义判断或证明函数单调性会用定义判断或证明函数单调性.2.2.能结合定义或图象能结合定义或图象,求函数的单调区间求函数的单调区间.素养达成素养达成通过函数单调性的学习及证明、培养直观想象、逻辑推理、数通过函数单调性的学习及证明、培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养学抽象的核心素养.新知探求新知探求课堂探究课堂探究1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)的图象上任意两点的图象上任意两点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),)

2、,自变量的改变量自变量的改变量x=x=,函数值的改变量函数值的改变量y=y=.2.2.一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为A,A,区间区间M MA.A.如果取区间如果取区间M M中的中的 两个值两个值x x1 1,x,x2 2.改变量改变量x=xx=x2 2-x-x1 10,0,则当则当 时时,就称函数就称函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间M M上是增函数上是增函数.当当 时时,就称函数就称函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间M M上是减函数上是减函数.新知探求新知探求素养养成素养养成点击进入点击进入 情境导学情境导学知识探究知识探究x x2 2-x

3、-x1 1y y2 2-y-y1 1任意任意y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0)0y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0)03.3.如果一个函数在某个区间如果一个函数在某个区间M M上是增函数或是减函数上是增函数或是减函数,就说这个函数在这就说这个函数在这个区间个区间M M上具有上具有 .区间区间M M称为称为 .单调性单调性单调区间单调区间【拓展延伸拓展延伸】1.1.判断判断(或证明或证明)函数单调性时函数单调性时,通常要经过下列步骤通常要经过下列步骤:取值取值作差作差变形变形定号定号判断判断.(1)(1)取值取值.即设即设x x1 1,x,x2 2是

4、该区间内的任意两个值且是该区间内的任意两个值且x x1 1xx2 2.(2)(2)作差、变形作差、变形.求求f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1),),通过因式分解、配方、有理化等方法通过因式分解、配方、有理化等方法,向向有利于判断差的符号的方向变形有利于判断差的符号的方向变形.(3)(3)定号定号.根据给定的区间和根据给定的区间和x x2 2-x-x1 1的符号确定的符号确定f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)的符号的符号,当符号不当符号不确定时确定时,可以进行分类讨论可以进行分类讨论.(4)(4)判断判断.根据单调性定义作出结论根据单调性定义作出结论.2.2.函数单调性定

5、义中的函数单调性定义中的x x1 1,x,x2 2有三个特征有三个特征:一是任意性一是任意性,即即“任意取任意取x x1 1,x,x2 2”,“任意任意”二字决不能丢掉二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二二是有大小是有大小,通常规定通常规定x x1 1x0a0时时,函数函数y=af(x)y=af(x)与函数与函数y=f(x)y=f(x)的单调性相同的单调性相同;当当a0a0,g(x)0,f(x)0,g(x)0,且在公共区间上都是增且在公共区间上都是增(减减)函数函数,则则y=f(x)g(x)y=f(x)g(x)在在此区间上是增此区间上

6、是增(减减)函数函数;若若f(x)0,g(x)0,f(x)0,g(x)0,且在公共区间上都是增且在公共区间上都是增(减减)函函数数,则则y=f(x)g(x)y=f(x)g(x)在此区间上是减在此区间上是减(增增)函数函数.(7)(7)在公共区间内在公共区间内,增函数增函数+增函数增函数=增函数增函数,减函数减函数+减函数减函数=减函数减函数,增函数增函数-减函数减函数=增函数增函数,减函数减函数-增函数增函数=减函数减函数.7.7.判断复合函数判断复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)单调性的步骤单调性的步骤:(1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域;(2)(2)将复合函数分解成将复合函

7、数分解成y=f(u),u=g(x);y=f(u),u=g(x);(3)(3)分别确定这两个函数的单调性分别确定这两个函数的单调性;(4)(4)若这两个函数在对应的区间上若这两个函数在对应的区间上“同增或同减同增或同减”,则则y=f(g(x)y=f(g(x)为增函数为增函数;若这两个函数为若这两个函数为一增一减一增一减,则则y=f(g(x)y=f(g(x)为减函数为减函数,即即“同增异减同增异减”.判断方法如下表判断方法如下表:u=g(x)u=g(x)y=f(u)y=f(u)f(g(x)f(g(x)增增增增增增增增减减减减减减增增减减减减减减增增自我检测自我检测1.1.函数函数f(x)=-xf(

8、x)=-x2 2+1+1的单调递增区间是的单调递增区间是()(A)(-1,1)(A)(-1,1)(B)(-1,0)(B)(-1,0)(C)(-,0)(C)(-,0)(D)(0,+)(D)(0,+)C C解析解析:二次函数二次函数f(x)f(x)的图象开口向下的图象开口向下,对称轴为对称轴为x=0,x=0,所以所以f(x)f(x)的单调递的单调递增区间是增区间是(-,0).(-,0).故选故选C.C.2.2.下列说法正确的是下列说法正确的是()(A)(A)定义在定义在(a,b)(a,b)上的函数上的函数f(x),f(x),若存在若存在x x1 1xx2 2,有有f(xf(x1 1)f(x)f(x

9、2 2),),那么那么f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上为增函数上为增函数(B)(B)定义在定义在(a,b)(a,b)上的函数上的函数f(x),f(x),若有无穷多对若有无穷多对x x1 1,x,x2 2(a,b),(a,b),使得当使得当x x1 1xx2 2时时,有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),那么那么f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上为增函数上为增函数(C)(C)若若f(x)f(x)在区间在区间I I1 1上为增函数上为增函数,在区间在区间I I2 2上也为增函数上也为增函数,那么那么f(x)f(x)在在I I1 1II2 2上也一定为增函数上也一定为

10、增函数(D)(D)若若f(x)f(x)在区间在区间I I上为增函数上为增函数,且且f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)(x)(x1 1,x,x2 2I),I),那么那么x x1 1xf(1).f(-2)f(1).答案答案:f(-2)f(1)f(-2)f(1)类型一类型一 用定义证明函数的单调性用定义证明函数的单调性课堂探究课堂探究素养提升素养提升思路点拨思路点拨:利用定义证明函数单调性的关键是对利用定义证明函数单调性的关键是对f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)进行合理进行合理的变形的变形,尽量变为几个简单因式的乘积形式尽量变为几个简单因式的乘积形式.方法技巧方法技巧 (1)(

11、1)定义法证明函数的单调性主要步骤是取值、作差、定号、定义法证明函数的单调性主要步骤是取值、作差、定号、判断判断.(2)(2)定义法证明函数单调性步骤的核心是判断差的符号定义法证明函数单调性步骤的核心是判断差的符号,为了确定符号为了确定符号,一一般是将般是将f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)尽量因式分解出含有尽量因式分解出含有x x2 2-x-x1 1的因式的因式,再将剩下的因式化成再将剩下的因式化成积、商的形式积、商的形式,或化成几个非负实数的和的形式或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于该因式符号的这样有利于该因式符号的确定确定.(3)(3)涉及根式的差时涉及根式的差时,常用

12、分子有理化方法常用分子有理化方法,涉及分式的差常用通分的方法涉及分式的差常用通分的方法.类型二类型二 求函数的单调区间求函数的单调区间【例例2 2】求函数求函数y=-(x-3)|x|y=-(x-3)|x|的单调区间的单调区间.思路点拨思路点拨:化简函数解析式化简函数解析式,画出函数图象求解画出函数图象求解.方法技巧方法技巧 (1)(1)求函数的单调区间时求函数的单调区间时,若函数不是常见的一次函数、二次若函数不是常见的一次函数、二次函数、反比例函数函数、反比例函数,则需作出函数图象则需作出函数图象,利用函数图象直观得到函数的单调利用函数图象直观得到函数的单调区间区间.(2)(2)含绝对值号的函

13、数解析式含绝对值号的函数解析式,作其图象时要先利用绝对值的性质去掉绝对作其图象时要先利用绝对值的性质去掉绝对值号值号,化简函数解析式化简函数解析式.变式训练变式训练2 2-1:1:画出函数画出函数y=xy=x2 2-2|x|-3-2|x|-3的图象的图象,并指出函数的单调区间并指出函数的单调区间.类型三类型三 函数单调性的应用函数单调性的应用答案答案:(1)B(1)B(2)(2)若函数若函数f(x)=|2x+a|f(x)=|2x+a|在在6,+)6,+)上是增函数上是增函数,则则a a的取值范围是的取值范围是.答案答案:(2)-12,+)(2)-12,+)方法技巧方法技巧 (1)(1)解决此类

14、与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性利用单调性“脱去脱去”函数符号函数符号“f f”,从而转化为关于自变量的不等式从而转化为关于自变量的不等式,常常见的转化方法为若函数见的转化方法为若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是增函数上是增函数,对任意对任意x x1 1,x,x2 2D,D,且且f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),则有则有x x1 1xx2 2;若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是减函数上是减函数,对任意对任意x x1 1,x,x2 2D,D,且且f(xf(x1 1)f(x

15、)xx2 2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域但需要注意的是不要忘记函数的定义域.变式训练变式训练3 3-1:(1:(1)1)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+1,+ax+1,若若f(x)f(x)在在-4,+)-4,+)上是增函上是增函数数,求求a a的取值范围的取值范围;若若f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是-4,+),-4,+),求求a a的取值的取值;(2)(2)已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在-2,3-2,3上的减函数上的减函数,且且f(4-2x)f(x-1),f(4-2x)f(x-1),求求x x的取值范围的取值范围.类型四类型四 易错辨析易错辨析答案答案:(-,0(-,0点击进入点击进入 课时作业课时作业