4.6.3中心极限定理

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1、 4.6.3 中心极限定理中心极限定理 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响.空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等.观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响

2、所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大.则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见.由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量它的标准化的随机变量nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限.nkknknkkknXDXEXZ111)()(

3、的分布函数的极限的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布.考虑考虑3.6.3 中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下面要介绍的绍的定理定理4.7（李亚普诺夫（李亚普诺夫（Liapunov）定理）定理）设设X1,X2,是相互独立的随机是相互独立的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,，再令，再令2iiniinB122,则则lim11xBXPnniniiinx-2t-dte212 lim1xnnXPniin定理定理4.8（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）x-

4、2t-dte212 它表明：它表明：当当n充分大时，充分大时，n个具有相同期望和方个具有相同期望和方差的独立同分布的差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.设设X1,X2,是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,，则，则2 ),(2nnNYn近似).1,0(NnnYn近似或者或者即即定理定理4.9(棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）)1(limxpnpnpYPnn 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n,p(0p1)的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，有nY 定理表明定理表明，若，若YnB(

5、n,p),z则当则当n很大，很大，0p1920)由题给条件知由题给条件知,诸诸Xi独立独立,16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为161kkXY解解:设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)40016001920(1-=1-0.7881=0.2119例例2.(供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在

6、生产期在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车换工件等常需停车.设开工率为设开工率为0.6,并设每并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应问应供应至少至少多少瓦电力就能以多少瓦电力就能以99.9%的概的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产率保证该车间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，解解：对每台车床的观察作为一次试验，：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，每次试验观察该台车床在某时刻是否

7、工作，工作的概率为工作的概率为0.6，共进行，共进行200次试验次试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设至少需设至少需N千瓦电力，千瓦电力，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.）由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理)1(pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)=P(0XN)这里这里 np=120,np(1-p)=48)48120()48120(N由由3准则，准则，此项为此项为0.)48120(N)4

8、812048120481200(NXP查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由 0.999，)48120(N从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142.也就是说也就是说,应供应应供应142 千瓦电力就能以千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产足而影响生产.999.0)1.3(48120N 3.1,故故例例4.23 设有一批种子良种率为设有一批种子良种率为1/6，从中任选，从中任选600粒，粒，求其中良种所占比例在求其中良种所占比例在1/60.02的概率的概率（1）用切）用切比雪夫不等式估计；（比雪夫不等式估计；（2）用中心极限定理

9、计算近）用中心极限定理计算近似值。似值。解解 设设X表示任选的表示任选的600粒种子中良种的粒数，则粒种子中良种的粒数，则X B(600,1/6)E(X)=np=6001/6=100,D(X)=np(1-p)=6001/65/6=250/3,.02.061600 XP所求概率为所求概率为（1）用切比雪夫不等式估计）用切比雪夫不等式估计1210002.061600 XPXPE(X)=100,D(X)=250/3,;4213.0123/25012 （2）用中心极限定理计算）用中心极限定理计算1210002.061600 XPXP3/250123/250100 XP3145.1 ZP3145.131

10、45.1 ZP3145.13145.1 ZP)3145.1()3145.1(1)3145.1(2 8114.0 例例4.24 多次测量一个物理量，每次都产生一个随机多次测量一个物理量，每次都产生一个随机误差误差 e ei (i=1,2,，n).假定这些误差服从均匀分布。假定这些误差服从均匀分布。问问n次测量的算术平均值与真值的差小于正数次测量的算术平均值与真值的差小于正数d d的概的概率是多少？若率是多少？若n 100100，d 0.1d 0.1，上述概率的近似值，上述概率的近似值是多少？对是多少？对d d=0.1，欲使上述概率值不小于，欲使上述概率值不小于0.95，至少应进行多少次测量？至少

11、应进行多少次测量？解解表示表示表示物理量的真值，表示物理量的真值，设以设以),2,1(niXi 测测量量值值，据据题题意意有有),1,1(,UXiiie ee e,3/112/2)(,0)(2 iiDEe ee e,3/1)()(,)(IiiDXDXEe e,1 niiXX设设,)(nXEXi 之间相互独立知，之间相互独立知，则由则由,3/)()(nXnDXDi 于是所求概率为于是所求概率为 d d niiXnP11 d d nXP d d nnXP 3/3/nnnnXPd d 3/3/nnnnXPd d d dnXP3 所以所以近似服从近似服从根据中心极限定理，根据中心极限定理，),1,0(

12、NX )3()3(3d d d d d dnnnXP .1)3(2 d d n则则若若,1.0,100 d dn d d niiXnP11 1.010011001 iiXP1)1.0300(2 .1)723.1(2 9168.019584.02 1.011 niiXnP欲使欲使,95.0，只需只需95.01)1.03(2 n，95.1)1.03(2 n，975.0)1.03(n 96.11.03 n05.128 n即即可可。取取129 n我们介绍了中心极限定理我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释的近似概率的简单方法，而且有助于解释为为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.