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1、专题三 三角函数与平面向量第 1讲 三角函数的图象与性质主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.以图象为载体以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力重点考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点是高考的必考点考情解读主干知识梳理1三角函数定义、同角关系与诱导公式三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单
2、位圆交于点P(x，y)，则，则sin y，cos x，tan .各象限角的三角函数各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)同角关系：同角关系：sin2cos21，tan.(3)诱导公式：在诱导公式：在 ，kZ的诱导公式中的诱导公式中“奇变偶不变，奇变偶不变，符号看象限符号看象限”2三角函数的图象及常用性质三角函数的图象及常用性质函数函数ysin xycos xytan x图象图象单单调调性性在在2k，2k(kZ)上单调递增；上单调递增；在在2k,2k(kZ)上单调递减上单调递减对对称称性性对称中心：对称中心：(k，0)(kZ)；对
3、称轴：对称轴：x k(kZ)对称中心：对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：对称轴：xk(kZ)对称中心：对称中心：(，0)(kZ)3.三角函数的两种常见变换三角函数的两种常见变换ysin(x)yAsin(x)(A0，0)(2)ysin x yAsin(x)(A0，0)热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角 热点二 函数yAsin(x)的图象及解析式 热点三 三角函数的性质热点分类突破三角函数的基本关系热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系思维启迪 准确把握三角准确把握三角函数的定义函数的定义解析设设Q点的坐标为点的坐标为(x，y)，答案A思维启迪 利用三角函数定义和诱导公式
4、利用三角函数定义和诱导公式根据三角函数的定义，根据三角函数的定义，(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天如钟表、摩天轮、水车等轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁定的原则，如切
5、化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等为简等思维升华变式训练1解析由三角函数定义，由三角函数定义，所以所以为第四象限角且为第四象限角且0,2)，答案D热点二 函数yAsin(x)的图象及解析式思维启迪 先根据图象确定函先根据图象确定函数数f(x)的解析式，再将的解析式，再将得到的得到的f(x)中的中的“x”换成换成“x ”即可即可所以所以2，又函数图象过点，又函数图象过点(，1)，代入解析式中，代入解析式中，答案D思维启迪 将零点个数转换成函数图象的交点个数将零点个数转换成函数图象的交点个数解析由题意可知由题意可知y2sin(2x )a，该函数在该函数在0，上有两个不同的零点，上有两个不同的零点
6、，结合函数的图象可知结合函数的图象可知1a2，所以，所以20，0)的图象的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；由函数的周期确定；确定；确定常根据常根据“五点法五点法”中的五个点求解，中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置象的升降找准第一个零点的位置思维升华(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变还是先周期变换变换只是相
7、对于其中的自变量量x而言的，如果而言的，如果x的系数不是的系数不是1，就要把这个系，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向数提取后再确定变换的单位长度和方向思维升华变式训练2(1)如图，函数如图，函数f(x)Asin(x)(其中其中A0，0，|)与坐标轴的三个交点与坐标轴的三个交点P、Q、R满足满足P(2,0)，PQR ，M为为QR的中点，的中点，PM2 ，则，则A的值为的值为()解析由题意设由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0).答案B答案D例3设函数设函数f(x)2cos2xsin 2xa(aR).(1)求函数求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；的最小正周期和单调递增区间
8、；热点三 三角函数的性质思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图可结合函数简图).解f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xa sin(2x )1a，则则f(x)的最小正周期的最小正周期T ，(2)当当x0，时，时，f(x)的最大值为的最大值为2，求，求a的值，并的值，并求出求出yf(x)(xR)的对称轴方程的对称轴方程.函数函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成公式把待求函数化成yAsin(x)B
9、的形式；的形式；第二步：把第二步：把“x”视为一个整体，借助复视为一个整体，借助复合函数性质求合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题偶性、最值、对称性等问题.思维升华变式训练3已知函数已知函数f(x)2sin xcos x2 sin2x (0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)求函数求函数f(x)的单调增区间；的单调增区间；(2)将函数将函数f(x)的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度，再向上平个单位长度，再向上平移移1个单位长度，得到函数个单位长度，得到函数yg(x)的图象；若的图象；若yg(x)在在0，b(b0)上至少含有上至少含有10个零点，
10、求个零点，求b的最小值的最小值.解将函数将函数f(x)的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度，个单位长度，再向上平移再向上平移1个单位长度，得到个单位长度，得到y2sin 2x1的图象的图象,所以所以g(x)2sin 2x1，所以在所以在0，上恰好有两个零点，上恰好有两个零点，若若yg(x)在在0，b上有上有10个零点，个零点，则则b不小于第不小于第10个零点的横坐标即可，个零点的横坐标即可，1.求函数求函数yAsin(x)(或或yAcos(x)，或，或yAtan(x)的单调区间的单调区间(1)将将化为正化为正.(2)将将x看成一个整体，由三角函数的单调性求看成一个整体，由三角函数的单调性求
11、解解.本讲规律总结2.已知函数已知函数yAsin(x)B(A0，0)的图象求的图象求解析式解析式(3)利用与利用与“五点法五点法”中相对应的特殊点求中相对应的特殊点求.3.函数函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高的对称轴一定经过图象的最高点或最低点点或最低点.4.求三角函数式最值的方法求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为将三角函数式化为yAsin(x)B的形式，进而的形式，进而结合三角函数的性质求解结合三角函数的性质求解.(2)将三角函数式化为关于将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解式，进而借助二次函数的性质求解
12、.5.特别提醒特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身变换都是变换变量本身.真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟12真题感悟12真题感悟答案B真题感悟21真题感悟21真题感悟21答案押题精练121.函数函数f(x)2sin(x)(0)的部分图象如图，其的部分图象如图，其中中M(m,0)，N(n,2)，P(，0)，且，且mn0，则，则f(x)在下在下列哪个区间中是单调的列哪个区间中是单调的()押题精练12解析mn0，所以当左右移动图象，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即当图象过原点时，即M点在原点时，此时
13、点在原点时，此时T，则则2，押题精练12答案B押题精练12押题精练12押题精练12(2)将函数将函数f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度后，再个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，倍，纵坐标不变，得到函数纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于的图象，若关于x的的方程方程g(x)k0在区间在区间0，上有且只有一个实数解，上有且只有一个实数解，求实数求实数k的取值范围的取值范围.押题精练12解将将f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度后，得到个单位长度后，得到ysin(4x )的图象，的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，倍，纵坐标不变，纵坐标不变，得到得到ysin(2x )的图象的图象.所以所以g(x)sin(2x ).押题精练12g(x)k0在区间在区间0，上有且只有一个实数解，上有且只有一个实数解，即函数即函数g(t)sin t与与yk在区间在区间 上有且只有一个交点上有且只有一个交点.如图，如图，押题精练12
专题三 第1讲 三角函数的图象与性质
