子空间的直和PPT课件

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1、引入引入有有两种情形：两种情形：由维数公式由维数公式设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，的两个子空间，12,V V121212dimdimdim()dim()VVVVVV 12121)dim()dimdimVVVV此时此时 12dim()0,VV 即，必含非零向量即，必含非零向量.12VV 情形情形2）是子空间的和的一种特殊情况）是子空间的和的一种特殊情况直和直和12122)dim()dimdimVVVV此时此时 12dim()0,VV 不含非零向量，即不含非零向量，即 12VV 120VV 设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，若和的两个子空间，若和12,V V12VV 12112

2、,VV是唯一的，和就称为是唯一的，和就称为直和（直和（direct sum），12VV 若有若有,1212111222,VV 则则 1122,.1.分解式分解式 唯一的，意即唯一的，意即 12中每个向量的分解式中每个向量的分解式 12.VV 记作记作2.2.分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，例如，R3的子空间的子空间11222333(,),(,),()VLVLVL 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)这里，这里，在和中，向量的分解式不唯一在和中，向量的分解式不唯一.12VV 所以和所以和 不是直和，不是直和，12VV

3、 而在和中，向量而在和中，向量 的分解式是唯一的，的分解式是唯一的，13VV 是直和是直和.13VV 分解式唯一，分解式唯一，1211220,VV 1、和是直和的充要条件是零向量和是直和的充要条件是零向量12VV，则必有，则必有120.1211220,VV若若证：证：.12VV 是直和是直和,120,0.而而0有分解式有分解式 0=00,0=00,即若即若.故故 是直和是直和.12VV,1212111222,VV 有有11220,0.其中其中 111222,VV于是于是 1122()()0由零向量分解成唯一，由零向量分解成唯一，即即 1122,的分解式唯一的分解式唯一.2、和是直和和是直和 1

4、2VV 120VV.则有则有 12120VV 120,即即 12VV 是直和是直和.证：证：“”若若 1211220,.VV“”由于是直和，零向量分解式唯一，由于是直和，零向量分解式唯一，12VV 0.故故 120.VV 任取任取 12,VV .,),(021VV 证：证：由维数公式由维数公式3、和是直和和是直和 12VV 1212dim()dimdimVVVV121212dimdimdim()dim()VVVVVV 有，有，1212dim()dimdimVVVV12dim()0VV 120VV 12VV是直和是直和.（由（由2、得之）得之），设为线性空间，设为线性空间V V的子空间，的子空间

5、，12,V V则下面则下面四个条件等价四个条件等价:（2）零向量分解式唯一零向量分解式唯一（1）是直和）是直和 12VV（3）120VV （4）1212dim()dimdimVVVV4、设设U是线性空间是线性空间V的一个子空间，的一个子空间，为为U的一个的一个.则必存在一个子空间则必存在一个子空间W，使，使 称这样的称这样的W.VUW 证：证：取取U的一组基的一组基,12m 把它扩充为把它扩充为V的一组基的一组基,121mmn ,12(),mmnWL 令令则则.VUW余子空间余子空间 一般不是唯一的一般不是唯一的(除非除非U是平凡子空间是平凡子空间).如，在如，在R3中，设中，设121122(

6、,),(),(),ULWLWL 令令1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)31212,RUWUWWW 则则 但但5、设设 分别是分别是线性子空间线性子空间;1212,rs 12,V V的一组基，则的一组基，则是直和是直和12VV 1212,rs 线性无关线性无关.证：证：由题设，由题设，,1121(,),dimrVLVr 2122(,),dimsVLVs ,121212(,).rsVVL 若线性无关，若线性无关，1212,rs 则它是则它是 的一组基的一组基.12VV 从而有从而有“”1212dim()dimdimVVrsVV是直和是直和.12VV若若 直和，则

7、直和，则12VV 1212dim()dimdimVVVVrs从而的秩为从而的秩为rs.1212,rs 所以线性无关所以线性无关.1212,rs “”中每个向量的分解式中每个向量的分解式121sisiVVVV 都是线性空间都是线性空间V的子空间，若和的子空间，若和12,sV VV是唯一的，则和就称为直和，记作是唯一的，则和就称为直和，记作1siiV 12sVVV,121,2,siiV is四个条件等价四个条件等价:（2）零向量分解式唯一，即零向量分解式唯一，即（3）0,1,2,ijj iVVis （4）1dimdimsiiWV 设都是线性空间设都是线性空间V V的子空间，则下面的子空间，则下面1

8、2,sV VV（1）是直和）是直和 1siiWV 0,1,2,iis 必必有有,120,siiV例例1 1 每一个每一个n维线性空间都可以表示成维线性空间都可以表示成n个一维个一维子空间的直和子空间的直和.证：证：设是设是n维线性空间维线性空间V的一组基的一组基,12,n 则则,12(,)nVL 12()()()nLLL而而 dim()1,1,2,iLin 1dim()dimsiiLnV 故故12()()().nVLLL 得证得证.例例2 2 已知，设已知，设n nAP ,12,0nnVAX XPVX XPAX（2）当）当 时，时，12.nPVV 2AA 证明：证明：（1）12VV、nP的子空

9、间的子空间.是是证：证：（1）100,0AV 任取任取有有1,AAVkP 11(),()().AAAVk AA kV是是 的子空间的子空间.nP1V200,0AV 0,0,AA又对又对2,VkP 有有从而有从而有()000AAA()00A kkAk22,VkV故故 是是 的子空间的子空间.nP2V又又12.nPVV （2）先证）先证 任取任取,(),nPAA有有2()0AAAAAA2.AV12.nPVV12.VV 于于是是有有 其中其中1,AV 又是又是 的子空间，的子空间，12VV nP.21VVPn 120VV 2,0.VA由由有有1,.nVPA由由必必有有,使,使任取任取1212.VVVV,即,即且且2()0.AAA AA从而从而12.nPVV所以所以再证再证 12.nPVV