集合知识点总结及典型例题

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1、集合知识点总结及典型例题合一、【课标要求】1、集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体 会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语 言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集 合语言的意义和作用；2、集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含 义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空 集的含义；3、集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含 义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一 个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 二、【

2、命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系， 近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考 查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观 性，注意运用 Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题， 加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择 题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形 式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三、【要点精讲】1、集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的 对象称元素，若 a 是集合 A 的元素，记作；若 b 不是集合 A 的元 素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性

3、、互异性与无序 性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或 者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一 种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互 不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元 素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于 元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或 图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号 内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个

4、集合 中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应 该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素 较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记 法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或 N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2、集合的包含关系：(1)集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A是B的子集(或B包含A),记作AB (或)；集 合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于 B,记作A=B；若AB且AHB,则称A是B的真子集，记作A B；(2)简单性质：1) AA； 2) A； 3)若AB,

5、BC，则AC； 4)若集合 A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n1个真子 集)；3、全集与补集：(1)包含了我们所要研究的各个集合的全 部元素的集合称为全集，记作U；(2 )若5是一个集合，AS， 则，二称S中子集A的补集；(3)简单性质：1) ()=A； 2) S二， =S4、交集与并集：(1) 一般地，由属于集合A且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。(2) 般 地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为 集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本 运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有

6、关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼 出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言 表达，增强数形结合的思想方法。5、集合的简单性质：(1)(2)(3)(4)；(5) (AQB) = (A)U(B)，(AUB) = (A)Q(B)。四、【典例解析】题型1：集合的概念(xx湖南卷理)某班共30人，其中15人 喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜 爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_答案 ： 12解析 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱 乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。例1、已知全集，集合和的关系的韦

7、恩(Venn )图如图1所示， 则阴影部分所示的集合的元素共有( )A、3个B、2个C、1个D、无穷多个答案 B 解析 由得，则，有2个，选B、例2、集合,若,则的值为 ( )A、0B、1C、2D、4答案D解析，故选D、【命题立意】:本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题、题型2：集合的性质例3、集合,若,则的值为 ( )A、0B、1C、2D、4答案D解析，故选D、【命题立意】:本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素， 从而求得答案，本题属于容易题、随堂练习1、设全集 U二R,A二xWN|lWxW10,B= xR| x2+ x 6=0，

8、则下图中阴影表示的集合为 ( )A、2B、3C、3,2D、2,32、已知集合 A二y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,B二y|y2- 6y+8W0，若AQBH巾，则实数a的取值范围为()、分析：解 决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出 发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时 会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑、从反面考 虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想、本题若直接求 解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反 面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答、解：由题知可解 得 A二y|ya2+l 或 ya, B二y|2

9、WyW4,我们不妨先考虑当 AQB =巾时a的范围、如图由，得.或、即AQB=d时a的范围为 或、而AQBH巾时a的范围显然是其补集，从而所求范围为、评 注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先 考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”、 例4、已知全集，A=1,如果，则这样的实数是否存在？若存 在，求出，若不存在，说明理由解：；，即=0,解得当 时，为A中元素；当时，当时，这样的实数x存在，是或。 另法：，二0且.或。点评：该题考察了集合间的关系以及 集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素 的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已

10、知 集合，,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解 （2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运 算例5已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B （1）求 集合A、B （2）若AB=B，求实数的取值范围、解（1） A=B=（2） 由AB = B得AB,因此所以，所以实数的取值范围是例6、已知集合,则（ ）A、B、C、D、答案A解析易有，选A点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例7、（xx年广西北海九中训练）已知集合M二，N二，则（）A、B、C、D、答案C例8、1、设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有2个元 素，求a的取值集合。解：时，.

11、A，AA当时，在此区间上恰 有2个偶数。2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，、其中是有 序数对，集合和中的元素个数分别为和、若对于任意的，总有， 则称集合具有性质、（I）对任何具有性质的集合，证明：；（II）判断和的大小关系，并证明你的结论、解：（I）证明：首 先，由中元素构成的有序数对共有个、因为，所以；又因为当 时，时，所以当时，、从而，集合中元素的个数最多为，即、（II）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而、如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也 至少有一个不成立、故与也是的不同元素、可见，中元素的个数 不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，且

12、，从 而、如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与 中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素、可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，、例9、向 50 名学生调查对A、B 两事件的态度，有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分 之三，其余的不赞成，赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞 成；另外，对A、B 都不赞成的学生数比对A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。问对A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A 的人数为 50=30，赞成 B 的人数为 30+3=33，如上图，记 50 名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体

13、为集合A；赞成事件B 的学生全体为集合Bo设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30 x,赞成B而不赞成A的人数为33 X。依题意（30 x） + （33 x）+x+（+1）=50,解得 x=21。所以对A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8人。点评：在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等, 需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的 闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出 来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头 绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数

14、量关系间的联 系。例10、求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是 3的 倍数，也不是 5 的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出 Venn 图，不难看出不符合条件 的数共有(2002)(2003) (xx) - (20010) - (xx) - (20015) + (20030) =146 所以，符合条件 的数共有200-146 = 54 (个)点评：分析200个数分为两类，即 满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这 一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型 7：集合综合题例11、(1999 上海，17)设集合 A=x|x-a|2，B=x|1， 若AB,求实数a的

15、取值范围。解：由|x a|2，得a2xa+2, 所以 A=x a2xa+2。由1，得0，即一2x0, 0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标 均为正，另外，由于a1=1H0如果AQBH，那么据(2)的结论， AQB中至多有一个元素(xO,yO),而x0=0,y0=0，这样的 (xO,yO)A,产生矛盾，故a1=1,d= 1时AQB二，所以a1H0时，一定 有AQBH是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程 的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题:(I )设集 合，求实数m的取值范围、分析：关键是准确理解 的具体意 义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题

16、的 具体方法。解：的取值范围是UM二m|m-2、(解法三)设这是开 口向上的抛物线，则二次函数性质知命题又等价于注意，在解 法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么 简单。(II)已知两个正整数集合A二a1,a2,a3,a4,、B、分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、 并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的 运用，（111）分析：正确理解要使，由当k=0时，方程有解，不合 题意；当又由由，由、得Tb为自然数，：b=2，代入 、得k=1点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问 题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内 容，才能由

17、此寻求解决的方法。题型 6：课标创新题例13、七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位 置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排 法？解：设集合A=甲站在最左端的位置, B=甲站在最右端的位 置, C=乙站在正中间的位置, D=丙站在正中间的位置，则集 合A、B、C、D的关系如图所示，.不同的排法有种、点评：这是一道 排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容 易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子 说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应 用的经验。例14、A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对 任意，都有；存在

18、常数，使得对任意的，都有（1）设，证 明：（2）设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的;（3）设，任取， 令证明：给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式H。解：对任 意，所以对任意的，所以0，令=，所以反证法：设存在 两个使得，。则由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以+。 点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数 的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖五、【思维总结】 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语 言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数 学问题。1、学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用 集合的各种符号，如、=、A、U

19、, Q等等；2、强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素 的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解 题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集 合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问 题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来 加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先 化简（或求解）；3、确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学 习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学 内容来寻求方法。区别三与、与、a与a、巾与巾、 （1,2）与1,2；AB时，A有两种情况：A=d与AH巾若 集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有 真子集的个数是1, 所有非空真子集的个数是区分集合中元素 的形式：口；。空集是指不含任何元素的集合。、 和的区别；0 与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。 符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与 直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立 体几何中的体现面与直线（面）的关系。逻辑是研究思维形式及其 规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为 了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力