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1、第十章 排列、组台、二项式定理 10.1 分类计数原理和分步计数原理 高考要求 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并 能用它们分析和解决一些简单的应用问题 . 2.分类计数原理与分步计数原理是计数问 题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的 两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决 . 1. 电视台在 “ 欢乐今宵 ” 节目中拿出两个信箱，其 中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱 中有 30封，乙信箱中有 20封现由主持人抽奖确定幸运 观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一 名幸运伙伴，有多少种不同的结果？ 一 .课前热身训练 : 2. 从集合 1， 2， 3， ， 1
2、0中， 选出由 5个数组成的子集，使得这 5个 数中的任何两个数的和不等于 11，这 样的子集共有多少个 ? 一 .课前热身训练 : 3. 如图，一个地区分为 5个行政区域，现 给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色 现有 4种颜色可供选择，则不同的着色方法共 有 _种 .（以数字作答） 一 .课前热身训练 : 1. 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n类办法， 在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法， ，在第 n类办法中有 种不同的方 法那么完成这件事共有 种不同的 方法 . 二 .知识点归纳 12 nN m m m 2. 分步计数原理：做一件事情，完 成它需
3、要分成 n个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不 同的方法， ，做第 n步有 种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 . 1m 2m nm 1m 2m nm 12 nN m m m 原理浅释 分类计数原理 (加法原理 )中 ， “ 完成一件事 ，有 n类办法 ” ，是 说每种办法 “ 互斥 ” ，即每种方法都可以独立地完成这件事， 同时他们之间没有重复也没有遗漏进行分类时，要求各类办 法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法， 都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理， 否则不可以 . 分步计数原理 (乘法原理 )中 ， “ 完成一件事 ，需要分成
4、n个步 骤 ” ，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间 也不能有重复和遗漏 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要 依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即 相对于前一步的每一种方法，下一步都有 m种不同的方法，那 么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理 可以看出 “ 分 ” 是它们共同的特征，但是，分法却大不相同 例 1. 五名学生报名参加四项体育比 赛，每人限报一项，报名方法的种 数为多少？又他们争夺这四项比赛 的冠军，获得冠军的可能性有多少 种？ 解：（ 1） 5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有 4种报名方法， 5名学生都报
5、了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为 4 4 4 4 4= 种 . （ 2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可 能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军 的可能性有 5种故有 n=5 = 种 . 54 45 三 .例题品味 例 2. a,b,c,d排成一行，其中 a不排第一， b 不排第二， c不排第三， d不排第四的不同排法 共有多少种？ 解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排 b,c,d中的某一个， 共 3类，每一类中不同排法可采用画 “ 树图 ” 的方式逐一排出： 所以符合题意的不同排法共有 9种 . 三 .例题品味 例 3 某城市在中心广场建造一个花圃， 花圃分为 6个部分（
6、如右图）现要栽 种 4种不同颜色的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有 _种 .（以 数字作答） 6 5 432 1 解法一：从题意来看 6部分种 4种颜色的花，又从图 形看知必有 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类 求 （ 1）与同色，则也同色或也同色，所 以共有 N1=4 3 2 2 1=48种； 所以，共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种 . （ 2） 与同色，则或同色，所以共有 N2=4 3 2 2 1=48种； （ 3） 与且与同色，则共有 N3=4 3 2 1=24种 三 .例题品味 解法二：记颜色为 A、 B、 C、 D四色，
7、先安排 1、 2、 3有 种不同的栽法，不妨设 1、 2、 3已分 别栽种 A、 B、 C，则 4、 5、 6栽种方法共 5种， 由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理， 不同栽种方法有 N= 5=120 34A 6 5 432 1 D D C C D C B D 654 C B D 34A 弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个 原理的前提和条件 , 这两个原理都是指完成一件事而言的 ,其区别在于： 四 .课堂小结 （ 1）分类计数原理是 “ 分类 ” ，每类办法中的每一 种方法都能 独立 完成一件事， （ 2）分步计数原理是 “ 分步 ” ；每种方法都只能做 这件事的一步， 不能独立
8、完成这件事 ! 1. 用六种不同颜色把右图中 A、 B、 C、 D四块区 域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域 不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法 . A C B D 2.（ 2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是 一个 4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为 十位、个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积 为一位数时，十位上数字选 0，千位、百位上都能取 0. 这样设计出来的密码共有 ( ) A.90个 B.99个 C.100个 D.112个 五 .课堂练习 : 3. 将标号为 1， 2， ， 10的 10个球放入标号为 1， 2， ， 10 的 10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有 2个球的标号与 其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为 _.（用数字作答） 4.从 1， 3， 5中任取 2个数字，从 0， 2， 4， 6中任取 2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有 _个 .（用数字作答） 再 见
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