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1、第 42讲 抽样方法与统计分析 【学习目标】 1 . 了解三种抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、 系统抽样 . 2 . 掌握 “ 一表三图 ” ：频率分布表、频率分布直方 图、折线图、茎叶图 . 3 . 会求 “ 六种数 ” ：众数、中位数、平均数、极差、 方差、标准差 . 【基础检测】 1 . (2015 福建 ) 某校高一年级有 900 名学生 ， 其中 女生 400 名 ， 按男女比例用分层抽样的方法 ， 从该年 级学生中抽取一个容量为 45 的样本 ， 则应抽取的男生 人数为 _ . 【解析】 根据总体中每个个体被抽到的可能性相 等列方程求解 . 设男生抽取 x 人 ， 则有 45 9
2、00 x 900 400 ， 解得 x 25. 25 2 . 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本 ， 当 选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法 抽取样本时 ， 总体中每个个体被抽中的概率分别为 p 1 ， p 2 ， p 3 ， 则 ( ) A . p 1 p 2 p 3 B.p 2 p 3 p 1 C . p 1 p 3 p 2 D.p 1 p 2 p 3 D 【解析】 根据三种抽样方法的特征求解 . 由于三种抽样过程中 ， 每个个体被抽到的概率都 是相等的 ， 因此 p 1 p 2 p 3 . 3 . 为了解 1 000 名学生的学习情况 ， 采用系统抽样 的方法
3、， 从中抽取容量为 40 的样本 ， 则分段的间隔为 ( ) A . 50 B.4 0 C.2 5 D.20 C 【解析】 根据系统抽样的特点求解 . 根据系统抽样的特点可知分段间隔为 1 000 40 25 ， 故选 C . 4 . (2015 重庆 ) 重庆市 2013 年各月的平均气温 ( ) 数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 ( ) A . 19 B.20 C.21.5 D.23 B 【解析】 由茎叶图知 ， 这组数据的中位数是 20 20 2 20. 5 . 为了研究某药品的疗效 ， 选取若干名志愿者进行临床试 验 . 所有志愿者的舒张压数据 ( 单位： kPa ) 的分组区
4、间为 12 ， 13 ) ， 13 ， 14 ) ， 14 ， 15 ) ， 15 ， 16 ) ， 16 ， 17 ， 将其按从左到右的顺序分别编号为第 一组 ， 第二组 ， ， 第五组 . 如图是根据试验数据制成 的频率分布直方图 . 已知第一组与第二组共有 20 人 ， 第三组中没有疗效的有 6 人 ， 则第三组中有疗效的人 数为 ( ) A.6 B.8 C . 12 D.18 【解析】 依据频率分布直方图及频率公式求解 .志 愿者的总人数为 20 （ 0.16 0.24 ） 1 50 ， 所以第三组 人数为 50 0.36 18 ， 有疗效的人数为 18 6 12. C 【知识要点】
5、1 抽样方法 (1) 抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对 样本的分析和研究更准确的反映总体的情况，常用的抽 样方法有 、 、 (2) 简单随机抽样是指一个总体的个数为 N ( 较小的 有限数 ) ，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个 体被抽取的概率相等简单随机抽样的两种 常用方法 为 简单随机抽样 分层抽样 系统抽样 抽签法和随机数表法 (3) 分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将 总体按差异分成几个部分，然 后 ，其中所 分成的各部分叫做 (4) 系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分 成几部分，按事先 在各部分抽取 按各部分所占的比值进行抽样 层 确定的规则 2 总
6、体分布的估计 (1) 作频率分布直方图的步骤： 求极差 ( 即一组数据中最大值与最小值的差 ) 决定组距与组 数 将数据分组 分组 频数 频率 累计频率 t 0 ， t 1 ) r 1 f 1 f 1 t 1 ， t 2 ) r 2 f 2 f 1 f 2 t k 1 ， t k r k f k f 1 f 2 f k 1 画频率分布直方图，将区间 a ， b ) 标在横轴上， 纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频 率除以组距 的商为高，分别画矩形，共得 k 个矩形，这 样得到的图形叫做 频率分布直方图 列频率分布表 (下图 ) 频率分布直方图的性质： 第 i 个矩形的面积等于 样
7、本值落入区间 t i 1 ， t i ) 的频率； 由于 f 1 f 2 f k 1 ，所以所有小矩形的面积的和为 1. (2) 连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点， 就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，折线图 会越来越近似于一条光滑曲线，称之 为 (3) 统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图， 茎是 ，叶是从 总体密度曲线 中格中间的一列数 茎旁边上长出来的数 用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计 图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎 叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便 记录与表示 3 平均数和方差的计算 (1) 如果有 n 个数据 x 1
8、， x 2 ， ， x n ，则 x 叫做这组数据的平均数， s 2 叫做这组数据 的方差，而 s 叫做标准差 (2) 公式 s 2 1 n ( x 1 x 2 x n ) 1 n ( x 1 x ) 2 ( x 2 x ) 2 ( x n x ) 2 1 n ( x 1 2 x 2 2 x n 2 ) n x 2 (3) 当一组数据 x 1 ， x 2 ， ， x n 中各数较大时， 可以 将各数据减去一个适当的常数 a ，得到 x 1 x 1 a ， x 2 x 2 a ， ， x n x n a ，则 s 2 4 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1) 中位数：在频率分布直方图中
9、， 中位数左边和右 边的直方图的面积应该相等 ， 由此可以估计中位数值 . (2) 平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积 乘以矩形底边中点横坐标之和 . (3) 众数：最高的矩形的中点的横坐标 . (4) 极差最大数最小的数 . 1 n ( x 1 2 x 2 2 x n 2 ) n x 2 一、频率分布直方图 例 1 (2015 全国新课标 ) 某公司为了解用户对其产 品的满意度 ， 从 A ， B 两地区分别随机调查了 40 个用 户 ， 根据用户对产品的满意度评分 ， 得到 A 地区用户 满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评 分的频数分布表 . B 地区用户满意度评分
10、的频数分布表 满意度评 分分组 50 ， 60 ) 60 ， 70 ) 70 ， 80 ) 80 ， 90 ) 90 ， 100 频数 2 8 14 10 6 (1) 在下图中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直 方图 ， 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散 程度 ( 不要求计算出具体值 ， 给出结论即可 ) . (2) 根据用户满意度评分 ， 将用户的满意度分为三个 等级： 满意度评 分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等 级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的 概率 大？说明理由 . 【解析】 (1 ) 如图所示 .
11、 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图 可以 看出 ， B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户 满意度评分的平均值； B 地区用户满意度评分比较集中 ， 而 A 地区用户满意度评分比较分散 . (2) A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大 . 记 C A 表示事件： “ A 地区用户的满意度等级为不 满意 ” ； C B 表示事件： “ B 地区用户的满意度等级为不 满意 ” . 由直方图得 P (C A ) 的估计值为 (0.01 0.02 0.03) 10 0.6 ， P (C B ) 的估计值为 (0.005 0.02) 10 0.25. 所以 A 地区用户的满意度等级
12、为不满意的概率大 . 【点评】 从直方图中估计 (1) 平均数：各组的平均数 ( 矩形底边的中点 ) 本组的 频率 ( 本矩形的面积 ) (2) 众数：最高矩形的底边的中点 (3) 中位数：以中位数为界把直方图分成左右两部份 ， 每部分的面积各为 0.5. 二、用茎叶图统计分析数据 例 2 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况 ， 随机 访问了 50 位市民 . 根据 这 50 位市民对这两部门的评分 ( 评分越高表明市民的评价越高 ) ， 绘制茎叶图如下： 甲部门 乙部门 3 59 4 4 0448 97 5 122456677789 976653321 10 6 01 1234688 988
13、77766555554443 332100 7 001 13449 6655200 8 123345 632220 9 01 1456 10 000 (1) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中 位数； (2) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高 于 90 的概率； (3) 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的 评价 . 【解析】 (1) 由所给茎叶图知 ， 50 位市民对甲部门 的评分由小到大排序 ， 排在第 25 ， 26 位的是 75 ， 75 ， 故样本中位数为 75 ， 所以该市的市民对甲部门评分的 中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序 ，
14、排在第 25 ， 26 位的是 66 ， 68 ， 故样本中位数为 66 68 2 67 ， 所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67. (2) 由所给茎叶图知 ， 50 位市民对甲、乙部门的评 分高于 90 的比率分别为 5 50 0.1 ， 8 50 0.16 ， 故该市的 市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别 为 0.1 ， 0.1 6. (3) 由所给茎叶图知 ， 市民对甲部门的评分的中位 数高于对乙部门的评分的中位数 ， 而且由茎叶图可以 大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的 评分的标准差 ， 说明该市市民对甲部门的评价较高、 评价较为一致 ， 对
15、乙部门的评价较低、评价差 异较大 . 【点评】 1. 茎叶图中数据排序后 ， 可求中位数 ， 近似估计平均数 . 2 . 数据集中与离散程度可估计数据一致性与差异 性 . 三、统计图表与概率综合 例 3 (2015 安徽 ) 某企业为了 解下属某部门对本企业职工的 服务情况 ， 随机访问 50 名职工 . 根据这 50 名职工对该部门的评 分 ， 绘制频率分布直方图 ( 如图 所示 ) ， 其中样本数据分组区间 为： 40 ， 5 0) ， 50 ， 60 ) ， ， 80 ， 90 ) ， 90 ， 100 . (1) 求频率分布直方图中 a 的值； (2) 估计该企业的职工对该部门评分不低
16、于 80 的 概率； (3) 从评分在 40 ， 60 ) 的受访职工中 ， 随机抽取 2 人 ， 求此 2 人的评分都在 40 ， 50 ) 的概率 . 【解析】 (1) 因为 (0.00 4 a 0.01 8 0.022 2 0.028) 10 1 ， 所以 a 0.006. (2) 由所给频率分布直方图知 ， 50 名受访职工评分 不低于 80 的频率为 (0.02 2 0.018) 10 0.4 ， 所以该 企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4. (3) 受访职工中评分在 50 ， 60 ) 的有： 50 0.006 10 3 ( 人 ) ， 记为 A 1 ， A
17、 2 ， A 3 ； 受访职工中评分在 40 ， 50 ) 的有： 50 0.004 10 2( 人 ) ， 记为 B 1 ， B 2 . 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人 ， 所有可 能的 结果共有 10 种 ， 它们是 A 1 ， A 2 ， A 1 ， A 3 ， A 1 ， B 1 ， A 1 ， B 2 ， A 2 ， A 3 ， A 2 ， B 1 ， A 2 ， B 2 ， A 3 ， B 1 ， A 3 ， B 2 ， B 1 ， B 2 .又因为所抽取 2 人的评分都 在 40 ， 50 ) 的结果有 1 种 ， 即 B 1 ， B 2 ， 故所求的概率 为 1 10
18、. 备选题例 4 汽车是碳排放量比较大的行业之 一 . 欧盟规 定 ， 从 201 2 年开始 ， 将对 CO 2 排放量超过 130 g/k m 的 M 1 型新车进行惩罚 ( 视为排放量超标 ) . 某 检测单位对甲、乙两类 M 1 型品牌车各抽取 5 辆进行 CO 2 排放量检测 ， 记录如下 ( 单位： g/km ) 甲 80 1 10 120 140 150 乙 100 120 x y 160 经测算发现 ， 乙品牌 CO 2 排放量的平均值为 x 乙 120 g/km. (1) 从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆 ， CO 2 排放量都不超标的概率是多少？ (2) 若 80
19、x 130 ， 试比较甲、乙两类品牌车 CO 2 排放量的稳定性 . 【解析】 (1) 从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆 ， 共有 10 种不同的 CO 2 排放量结果： (80 ， 1 10 ) ； (80 ， 120 ) ； (80 ， 140 ) ； (80 ， 150 ) ； (1 10 ， 120 ) ； (1 10 ， 140 ) ； (1 1 0 ， 150 ) ； (120 ， 140 ) ； (120 ， 150 ) ； (140 ， 150 ) ， 设 “ CO 2 排放量都不超标 ” 为事件 A ， 则事件 A 包含以下 3 种不同的结果： (80 ， 1 1
20、0 ) ； (80 ， 120 ) ； (1 10 ， 120 ) ； P( A) 3 10 . (2) 由题可知 x 甲 x 乙 120 ， x y 220. 5s 2 甲 (80 120) 2 (1 1 0 120) 2 (120 120) 2 (140 120) 2 (150 12 0) 2 3 000 ， 5s 2 乙 (100 120) 2 (120 120) 2 (x 120) 2 (y 120) 2 (160 120) 2 2 000 (x 120) 2 (y 120) 2 ， x y 22 0 ， 5s 2 乙 2 00 0 (x 120 ) 2 (x 100 ) 2 2x 2
21、 44 0 x 26 400. 5s 2 乙 5s 2 甲 2x 2 440 x 23 400 2(x 2 220 x 1 1 700) 2( x 90)( x 130) . 80x130 ， 当 80xs 2 甲 ； 当 x 90 时 ， s 2 乙 s 2 甲 ； 当 90x130 时 ， s 2 乙 s 2 甲 .又 x 甲 x 乙 120 ， 当 80x90 时 ， 甲类品牌车碳排放量的稳定性 好； 当 x 90 时 ， 两类品牌车碳排放量的稳定性一样 好； 当 90x130 时 ， 乙类品牌车碳排放量的稳定性 好 . 【点评】 本题是一道概率与统计的综合题 ， 解题 关键是要读懂题意
22、 ， 分清类型 ， 这是高考的一种常见 考 查方式 . 1 . 三种抽样方法易混淆 ， 请分清 . 系统抽样即均分 分组 ， 分层抽样例如分男、女层 ， 简单随机抽样例如 抽签 . 2 . 频率分布直方图中 ， 各组频率是求各矩形的面 积 . 3 . 理解记忆中位数、众数、平均数的估计方法 . (2015 广东 ) 某城市 100 户 居民的月平均用电量 ( 单 位：度 ) ， 以 160 ， 180 ) ， 180 ， 200 ) ， 200 ， 220 ) ， 220 ， 240 ) ， 240 ， 260 ) ， 260 ， 280 ) ， 280 ， 300 分组的频 率分布直方图如图
23、 . (1) 求直方图中 x 的值； (2) 求月平均用电量的众数和中位 数； ( 3) 在月平均用电量为 220 ， 240 ) ， 240 ， 260 ) ， 260 ， 280 ) ， 280 ， 300 的四组用户中 ， 用分层抽样的方法抽 取 11 户居民 ， 则月平均用电量在 220 ， 240 ) 的用户中应 抽取多少户？ 【解析】 (1) 由 (0.002 0.009 5 0.01 1 0.012 5 x 0.005 0.002 5) 20 1 得 x 0.007 5 ， 直方图中 x 的值为 0.007 5. (2) 月平均用电量的众数是 220 240 2 230. (0.
24、002 0 .009 5 0.01 1) 20 0. 4510 的事件的概率； (3) 设学校配备的校车每辆可搭载 40 名学生 ， 请根据 抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？ 【解析】 (1)600 50 12 ， 第一段的号码为 0 06 ， 第五段抽取的数是 6 (5 1) 12 54 ， 即第五段抽 取的号码是 054. (2) 第 4 组人数 0.00 8 10 50 4 ， 这 4 人分别设为 A 、 B 、 C 、 D ， 第 6 组人数 0.004 10 50 2 ， 这 2 人分别设为 x ， y ， 随机抽取 2 人的可能情况是： AB ， AC ， AD ， BC
25、， BD ， CD ， xy ， Ax ， Ay ， Bx ， By ， Cx ， Cy ， Dx ， Dy 一 共 15 种情况 ， 其中他们上学时间满足 | a b | 10 的情况有 8 种； 所以满足 | a b | 10 的事件的概率 P 8 15 . (3) 全校上学时间不少于 30 分钟的学生约有 600 (0.008 0.008 0.004) 10 120 人； 所以估计全校需要 3 辆校车 . 8. 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学 ， 测量他们的身高 ( 单位： cm ) ， 获得身高数据的茎叶图 ， 如图 . (1) 求甲乙两班身高的中位数并根 据茎叶图判断哪个班的
26、平均身高较 高； (2) 现从甲、乙两班 176 cm 以上 ( 不含 176 cm ) 的同学 中随机各抽取一名同学 ， 求身高为 181 cm 的同学被抽中 的概率 . 【解析】 (1) 甲班中位数： 169 ； 乙班中位数： 171.5 ； 由茎叶图可知：甲班身高集中于 1 60 179 之间 ， 而 乙班身高集中于 170 180 之间 .因此乙班平均身高高于甲 班 . (2) 设身高为 181 cm 的同学被抽中的事件为 A ； 从甲、乙两班 176 cm 以上 ( 不含 1 76 cm ) 的同学中随 机各抽取一名同学 ， 有： (182 ， 18 1 ) ， (182 ， 1 7
27、9 ) ， (182 ， 17 8) ， (179 ， 181 ) ， (179 ， 179 ) ， (179 ， 178 ) ， (179 ， 181 ) ， (179 ， 179 ) ， (179 ， 17 8 ) 共 9 个基本事件 ， 而事件 A 含有 3 个基本事件 ， P ( A ) 1 3 . 答：身高为 181 cm 的同学被抽中的概率为 1 3 . 9 . 从某校随机抽取 100 名学生 ， 获得了他们一周课外 阅读时间 ( 单位：小时 ) 的数据 ， 整理得到数据分组及频数 分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数 1 0 ， 2 ) 6 2 2 ， 4 ) 8 3 4
28、， 6 ) 17 4 6 ， 8 ) 22 5 8 ， 10 ) 25 6 10 ， 12 ) 12 7 12 ， 14 ) 6 8 14 ， 16 ) 2 9 16 ， 18 ) 2 合计 100 (1) 从该校随机选取一名学生 ， 试估计这名学生该周 课外阅读时间少于 12 小时的概率； (2) 求频率分布直方图中的 a ， b 的值； (3 ) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值 代替 ， 试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的 平均数在第几组 . ( 只需写出结论 ) 【解析】 (1) 根据频数分布表 ， 100 名学生中课外阅 读时间不少于 12 小时的学生共有 6 2 2 10( 名 ) ， 所 以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1 10 100 0.9. 从该校随机选取一名学生 ， 估计其课外阅读时间少 于 12 小时的概率为 0. 9. (2) 课外阅读时间落在组 4 ， 6 ) 的有 17 人 ， 频率为 0.17 ， 所以 a 频率 组距 0.17 2 0.0 85. 课外阅读时间落在组 8 ， 10 ) 的有 25 人 ， 频率为 0.25 ， 所以 b 频率 组距 0.25 2 0.125. (3) 样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组 .
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