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1、极化恒等式与矩形大法、知识清单1.极化恒等式：如图，ABAC=2ADAB-ACCB，则:2+2得:AB2+AC2=4A2+BC2；2-2得:ABAC=4DBC22推广：AB-AC=AB-AC-cosA=ABBAC2_BC2速记方法：ab=（ab）2，（ab）2,ax2+ib,2(a+b)2+(ab)2.矩形大法：如图，由极化恒等式可得PD2+PB2占02士畦P2+PC23p02ACr2因为BD=AC，所以PD2+PB2=PA2+PC2,速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。推广1：若ABCD为平行四边形，则有PA2+PC2-（PD2+PB2）=一2推广2：若P为平面外一点，上述性质仍
2、成立。、典型例题1.(2012浙江文在ABC中,M是BC的中点，AM=3,BC=10，则ABA42A解析：由极化恒等式有：AB-AC二4AM；2=,2.（2013浙江理7）在ABC中,*是边AB上一定点，满足P。B=4AB，且对于边月恒有PBPCPBPC。贝y()00A.ZABC=90B.ZBAC=90C.AB=ACD.AC=BC4PD2-BC2解析：D为BC中点，由极化恒等式有PBPC=则当PD最小时,厂0所以过D作AB垂线，垂足即为P0，作AB中点E，则CE丄AB,即AC=BC。3.已知向量a,b,e是平面向量，e是单位一3,a-b-e(aIb)I10,求|a-b|的范围?十十亠解析：由a
3、b，e(a+b)+10,得(a，e)(b，e)0.如图，OA-3Bb,OEey构造矩形戶cbe，由矩形大法有OE2+OC2OA2+OB2,OC2打，所以章”，b|ABCE匚0C-OE,OC+0E2护1,2.；3+1a-b范围?4.向量a,b,e是平面向量，e是单位向量.I=2,|b=3,abe(a+b)+2=0,求ab|,解析：由题得(a-e)-(b-e)=_1,OA=a,OB=b,OE=e，构造平行四边形ACBE,由极化恒等式:，1e)(be艮EAEC2AE2由平行四边形大法：(OE2+OC2)-(OA2+OB2)=EC2_AB2=-2,即OC=*102a-b=I址AB了EC2+4；(;10，1)2+4-(nin23+J7a+c，fain27点P是底边长为2、込高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PMPN的取值范围是8.向量a,b,e是平面向量，e是单位向量.若，向，2,（a一一e），0,则a一b的最小值是（）AC.3D.3-、訐9如图，已知圆0的半径为2,P是圆内一定点，OP=1,圆0上的两动点A,B满足PA丄PB,存在点C使PACB构成矩形，则OCOP的取值范围是10.向量a,b,c满足b
极化恒等式(矩形大法)
