正四面体的外接球半径的求法

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正四面体的外接球半径的求法正四面体是一种比较灵活的多面体，而球又是高中教材中唯一保留下来的旋转体匕两种几何的组合无疑有着特殊的意义。现把求四面体外接球的半径的几种方法总结如下，本人认为很有代表意义，希望它对高三备考的师生能有启发作用。如右图：已知正四面体ABCD,H为底面的中心，O为外接球的球心，设棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r,试求R.方法一：易知R+r=AH=36a，由等积法得:V二V,V,V,VA-BCDO-ABCO-BCDO-CDAO-DAB所以:6a-4=41rS3ABCD3AH方法二：如图AAHMABNMHMONAMOAR，又由R+r=AH=36a可得R二46方法三：如图设延长AH交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形ABK中由射影定理得ab2AH-AK即a2=6a-2R古攵得R=6a.34方法四：如图正四面体可补成一个边长为2a的正方体，显然正方体2的外接球即为正四面体的外接球，而3(2a)2R故可得R6a.24小结:此四种方法立体交叉，思想性、艺术性各有千秋,对培养学生的空间想象能力以及综合解题能很有帮助。