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1、正方形中常见辅助线例谈、截长补短法例1：如图1,四边形ABCD是正方形，E,F是AD,DC上的点，且ZEBF=45,则EF与CF+AE相等吗？说明理由.分析：可考虑将FC延长至P,使CP=AE，这样，只需说明EF=PF即可.解：延长FC到P，使CP=AE，连接BP，四边形ABCD是正方形，.AB=BC,ZA=ZBCD=ZBCP=9Oo， AE=CP,ABE9ACBP.BE=BP,ZABE=ZCBP,/ZABC=ZABE+ZEBC=9Oo,.ZCBP+ZEBC=9Oo，即ZEBP=9Oo.*ZEBF=45o,ZPBF=ZEBP-ZEBF=9Oo-45o=45o.ZEBF=ZPBF=45o. BE
2、=BP,BF=BF,/.EBFPBF,.EF=PF. PF=PC+CF，CP=AE，.EF=CF+AE.说明:想说明一条线段等于两条线段的和,有两种方法：截取法和延长法.截取法是在长线段中截去一短线段,再说明剩余部分等于另一短线段;延长法是将一短线段延长,使整条线段等于两短线段的和,再说明整条线段等于长线段.通过全等说明两线段相等是常用方法.、有以正方形一边中点为端点的线段时,常把这条线段延长构造全等三角形例2：如图2,在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC,P在BC上，且AP=CD+CP.求证：AQ平分ZDAP.分析：由AP=CD+CP通常选用截长补短的方法即在PC的延长线上截一条线段
3、等于CD,但若延长AQ交BC的延长线于E,可达到同样效果，即也可得证CD=CE.图1证明：延长AQ交BC的延长线于E.四边形ABCD为正方形,.AD=CD,ADBC,DC丄BC,ZD=9Oo,ZD=ZDCE=9Oo.又VZ1=Z2,DQ=CQ.adqaecq.AD=EC,ZDAQ=ZE.AP=PC+CD,AP=PC+AD=PC+CE=PE.AZPAQ=ZE.AZDAQ=ZPAQ.AQ平分ZDAP.说明：有以正方形一边中点为端点的线段时，常把它延长构造全等三角形，为证题创造条件.三、有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形例3：已知：如图3,在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN丄MD,BN平
4、分ZCBE并交MN于N.求证：MD=MN.分析：要证MD=MN,可证它们所在的三角形全等，而它们所在AMD与氐MBN不可能全等，而由M为AB中点，想到如取AD中点，则有DP=MB,再连接PM,这时可证厶DPM与厶MBN全等.证明：取AD的中点P,连结PM,则DP=PA=-AD.图32四边形ABCD为正方形，AD=AB,ZA=ZABC=9Oo,Zl+ZAMD=9Oo,Z2+ZAMD=9Oo Z1=Z2. M为AB中点，.AM=MB=丄AB.2.DP=MB，AP=AM./.ZAPM=ZAMP=45o./.ZDPM=135o. BN平分ZCBE,ZCBN=45o.ZMBN=ZMBC+ZCBN=9Oo+45o=135o.ZDPM=ZMBN.DPM9AMBN,MD=MN.思考：若把M为AB中点改为M为AB上任一点（不与A、B重合）其他条件不变,原结论是否成立呢？提示：（成立）在AD上取点P,使DP=BM.连结PM,可证DPM9AMBN即可.-4-
正方形中常见辅助线例谈
