全国通用高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.3数学归纳法课件

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1、13.3数学归纳法第十三章推理与证明、算法、复数基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.知识梳理第一个值n0nk1题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学

2、归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()基础自测123456(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()123456题组二教材改编题组二教材改编2.P99B组T1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验n等于 A.1 B.2C.3 D.4答案解析123456解析解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3.P96A组T2已知an满足an1

3、 ，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案123456n1345解析答案题组三易错自纠题组三易错自纠4.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是 A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3123456解析解析当n1时，n12，左边1a1a21aa2.则上述证法 A.过程全部正确 B.n1验证得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确解析答案123456解析解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.解析答案1234566.用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)时，假设当nk时命题成立，则当nk1

4、时，左端增加的项数是_.2k解析解析运用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*).当nk时，则有1232k2k122k1(kN*)，左边表示的为2k项的和.当nk1时，则左边1232k(2k1)2k1，表示的为2k1项的和，增加了2k12k2k项.题型分类深度剖析1.用数学归纳法证明：题型一用数学归纳法证明等式自主演练自主演练证明证明证明(1)当n1时，左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk(kN*且k1)时等式成立，即有所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN*等式恒成立.证明求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).证明证明(1)当n2时，

5、左边f(1)1，(2)假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论成立.由(1)(2)可知当n2，nN*时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1.用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证当nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.思维升华思维升华题型二用数学归纳法证明不等式师生共研师生共研证明典

6、例典例 设实数c0，整数p1，nN*.(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；证明证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立.假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立.则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立.综合可得，当x1，且x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立.证明1pc1pc则当nk1时，1pc1pc1pc1pc1pka1pc1pc1pc1pc则xpc，1pc1pc1pc1pc1pc1pc1pa11pcap1pc1pc1pc1pc1pc1pc1pc数学归

7、纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.思维升华思维升华证明跟踪训练跟踪训练 (2018衡水调研)若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)(nN*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.证明证明当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3).

8、所以直线PQ1的方程为y4x11，即n1时结论成立.假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即2xkxk13.代入上式，令y0，即xk1xk2，所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立.由知对任意的正整数n，2xnxn11时，对x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)0(nN*).猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解答解解分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33，猜想：ann.a20，a22.()假设当nk(k2，kN*)时，akk，那么当nk1时，即ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak

9、1k1，即当nk1时也成立.ann(n2)，显然当n1时，也成立，故对于一切nN*，均有ann.命题点命题点3存在性问题的证明存在性问题的证明解答(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立.所以当nk1时结论成立.解答(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论.则an1f(an).下面用数学归纳法证明加强命题：a2nca2n11.假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，

10、即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立.先证：0an1(nN*).当n1时，结论显然成立.假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即0ak1.即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立.故成立.再证：a2na2n1(nN*).有a2a3，即n1时成立.假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2n2，(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是

11、“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 (2018西安模拟)已知正项数列an中，对于一切的nN*均有证明0an0，证明下面用数学归纳法证明：当n2，且nN*时猜想正确.当n2时已证；当nk1时，猜想正确.典例典例 (12分)数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.思维点拨思维点拨(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，观

12、察所得数值的特征猜出通项公式.(2)用数学归纳法证明.归纳猜想证明问题答题模板答题模板规范解答答题模板思维点拨规范解答规范解答(1)解解当n1时，a1S12a1，a11；当n4时，a1a2a3a4S424a4，(2)证明证明当n1时，a11，结论成立.5分假设当nk(k1且kN*)时，结论成立，那么当nk1时，7分ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.9分当nk1时，结论成立.11分答题模板答题模板归纳归纳猜想猜想证明问题的一般步骤证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的

13、通项或一般 结论；结论；第二步：验证一般结论对第一个值第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立；成立；第三步：假设当第三步：假设当nk(kn0，kN*)时结论成立，证明当时结论成立，证明当nk1时结论时结论 也成立；也成立；第四步：下结论，由上可知结论对任意第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立成立.课时作业1.(2018商丘周测)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是 A.若f(1)1成立，则f(10)100成立B.若f(2)右边，不等式成立.假设当nk(k2，且kN*)

14、时不等式成立，则当nk1时，12345678当nk1时，不等式也成立.由知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.123456785.求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).证明12345678证明证明(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以当nk1时等式也成立.由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立.123

15、45678(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；技能提升练证明12345678证明证明充分性：所以数列xn是递减数列.必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.故xn是递减数列的充要条件是c0.12345678证明1234567812345678这就是说当nk1时，结论也成立.12345678解答(1)求a的值；12345678解得a1.又因为a21，所以a1.所以a21.12345678证明12345678证明证明用数学归纳法证明：故当n2时，原不等式也成立.12345678所以当nk1时，原不等式也成立.12345678证明拓展冲刺练8.(2017浙江)已知数列xn满足：x11

16、，xnxn1ln(1xn1)(nN*).证明：当nN*时，(1)0 xn1xn；12345678证明证明用数学归纳法证明xn0.当n1时，x110.假设当nk时，xk0，那么当nk1时，若xk10，则0 xkxk1ln(1xk1)0，与假设矛盾，故xk10，因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1)xn1，因此0 xn1xn(nN*).12345678证明12345678证明证明由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xn记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，12345678证明12345678证明证明因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，12345678