高等代数课件：5-2 标准形

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1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵它的矩阵是对角阵 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成?2221122nnd xd xd x12120000(,)000nndddiag d ddd 证明：证明：对二次型变量个数对二次型变量个数n作归纳法作归纳法.假定对假定对n1元二次型结论成立元二次型结论成立.过非退化线性替换化成平方和的形式过非退化线性替换化成平方和的形式.1 1、（定理、（定理1 1）数域）数域P

2、 P上任一二次型都可经上任一二次型都可经n=1时，时，结论成立结论成立.21111(),f xa x 下面考虑下面考虑n元二次型元二次型12(,).nf x xx212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x2222222nna xax x2333332nna xax x2nnnax2111112222nnnjjijijjija xa x xa x x2111112222nnnjjijijjija xxa xa x x 这里，这里，2111111112112112()2njjjnjjjaxxaaaa xx 12121111111112222()()nnnnjjj

3、jijijjjijaxaa xaa xa x x1211121122()nnnijijijjjja xaaxax 12111111222()nnnjjijijjijaxaa xb x x 1211122222()nnnnnijijjjijijijjijb x xaa xa x x 是一个是一个.的的n1元二次型元二次型.23,nxxx配方配方法法它是非退化的，它是非退化的，111111222njjjnnyxaa xyxyx 令令111111222njjjnnxyaa yxyxy 或或112111111221,0100001nnnaaxyaaxyxy 即即,21211122(,).nnnijij

4、ijf x xxa yb y y且使且使使它变成平方和使它变成平方和 于是，非退化线性替换于是，非退化线性替换 22222332332233332233nnnnnnnnnnzc yc ycyzc yc ycyzcycycy 11222223322233nnnnnnnnzyzc yc ycyzcycycy 2222 23 3n nd zd zd z由归纳假设，对由归纳假设，对 有非退化线性替换有非退化线性替换22nnijijijb y y11221233nnxyyxyyxyxy 2221211 12 2(,)nn nf x xxa zd zd z就使就使 变成变成12(,)nf x xx2）但至

5、少有一个但至少有一个 0,(1,2,),iiain10(1)jaj不妨设不妨设 作非退化线性替换：作非退化线性替换：120,a 不为零不为零.由情形由情形1）知，结论成立）知，结论成立.2212112222a ya y1212122()()ayyyy12122a x x则则 121(,)2nijijij nf x xxa x x 这是一个这是一个 的二次型，且的二次型，且 的系数的系数 12,nyyy21y这是一个这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立元二次型，由归纳假设，结论成立.总之，数域总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式替换化

6、成平方和的形式.即即1222(,).nnnijijijf x xxa x x 213110.naaa3）由对称性，由对称性，111210.naaa2 2、二次型的标准形的定义、二次型的标准形的定义所变成的平方和形式所变成的平方和形式注注：1）由定理）由定理1任一二次型的标准形是存在的任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形）可应用配方法得到二次型的标准形.2221122nnd yd yd y二次型二次型 经过非退化线性替换经过非退化线性替换 12(,)nf x xx的一个的一个标准形标准形.称为称为 12(,)nf x xx则则 解：作非退化线性替换解：作非退化线性替换

7、2221332232()228yyyyy y221213232248yyy yy y1232()yyy121212123(,)2()()6()nf x xxyyyyyyy1122331 1011 00 0 1xyxyxy即即,11221233xyyxyyxy 例例1、求求123122313(,)262f x xxx xx xx x的标准形的标准形.222123322(2)6zzzz22221233322(2)82zzzzz或或 11223332zwzwwzw 最后令最后令 11223332wzwzzwz 则则 222121232 3(,)2228nf x xxzzzz z1122331 0 1

8、0 1 00 0 1yzyzyz 即即,或或 1132233yzzyzyz 再令再令 1132233zyyzyzy 所作的非退化线性替换是所作的非退化线性替换是 即即 11232123333xwwwxwwwxw 1231 101 0 11 0 011 00 1 00 1 20 0 10 0 10 0 1www1231 131110 01www1112223331 101 101 0 111 011 00 1 00 0 10 0 10 0 1xyzxyzxyz222123123(,)226f x xxwww则则 3 3、（定理、（定理2 2）数域）数域P P上任一对称矩阵合同于上任一对称矩阵合同

9、于证：证：对对A的级数作归纳法的级数作归纳法.假定对假定对n1级对称矩阵结论成立，考虑级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵级矩阵A，分四种情形讨论：分四种情形讨论：使使C AC为对角矩阵为对角矩阵 即即 若若 A A，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵,n nAP n nCP n1时，时，为对角阵为对角阵,结论成立结论成立.1111,AaE AEa 设设 ,.ijn nAaAA 一个对角矩阵一个对角矩阵.11111211111111110100001nnaaaaaCE 令令111,aAA 再再令令111)0a 12131naaa 这里这里22212,nnnnaaAaa 这里这里A1为为n1级对称矩阵级

10、对称矩阵.11111100aAa 1111111111100naaEAa 则则 11111111111111010nnaaC ACAaEE 111111111111AaAaAa 这里这里 是是n1级对称矩阵，级对称矩阵，1111Aa 为对角矩阵为对角矩阵.由归纳假设，存在可逆矩阵由归纳假设，存在可逆矩阵G，使，使 11111101 01 0000aGGAa 2112CC ACC 111111110000aaGAaGD 为对角矩阵为对角矩阵.1111GAaGD 令令 则则 21 0,0CG 令令 12,CC C 则则C可逆，且可逆，且 为对角矩阵为对角矩阵.C AC 其中其中 110.iiba归

11、结为情形归结为情形1，结论成立，结论成立.12211111122,0,0.jjjbbababa其其中中 112,2,n nijC ACPj APjbP 令令，则，则 12,CPj 3)但有一个但有一个 0,1,2,iiain10,1.jaj则则 111,1,n nijC ACPi APibP 令令 1(1,),CPi 显然显然 1(1,)CPi 2)但有一个但有一个 0,1iiai110,a 归结为情形归结为情形1）.则则 211211120.n nijjCC ACCdPda 中中,2110011 0000100001C 再再令令4)由对称性由对称性,有有10,1,2,jajn10,1,2,j

12、ajn于是于是 为为n1级对称矩阵级对称矩阵.110 0,0AAA 为对角矩阵为对角矩阵.为对角矩阵为对角矩阵.10 01 01 0000C ACAGG 1000 000G AGD 由归纳假设，有由归纳假设，有n1级可逆矩阵级可逆矩阵G，使，使 1G AGD 令则令则 1 0,0CG 例例2根据定理根据定理2，求例，求例1中二次型的标准形中二次型的标准形.情形情形3)情形情形1)123122313(,)262f x xxx xx xx x1111 100111 1011 010311 00 0 11300 0 1AC A C 令令11 1011 0,0 0 1C解：解：的矩阵为的矩阵为0111

13、03130A 123(,)f x xx202024240 200024042 情形情形1)22121 0 02021 0 10 1 00240 1 01 0 12400 0 1AC AC 令令31 0 00 1 2,0 0 1C 令令21 0 10 1 0,0 0 1C 33231 0 02021 0 00 1 00240 1 20 2 12420 0 1AC A C 20002 0006为对角矩阵为对角矩阵.1 131110 011231 101 0 11 0 011 00 1 00 1 20 0 10 0 10 0 1CC C C令令作非退化线性替换作非退化线性替换XCY，则则20002

14、0,006C AC 222123123(,)226.f x xxwww即得即得 的标准形的标准形123(,)f x xx（1）互换矩阵的互换矩阵的,i j两行，再互两行，再互 换矩阵的换矩阵的,i j两列两列;1.定义定义：合同变换合同变换是指下列三种变换是指下列三种变换 （2）以数以数 k（0k)乘矩阵的第乘矩阵的第 i 行；再以数行；再以数 k 乘乘ii（3）将矩阵的第将矩阵的第i行的行的k倍加倍加 到第到第 j行，再将第行，再将第 i列列 的的k倍加到第倍加到第 j列（列（).ij矩阵的第矩阵的第 i 列列.2.2.合同变换法化二次型为标准形合同变换法化二次型为标准形 又，又，设对称矩阵

15、设对称矩阵A与对角矩阵与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵合同，则存在可逆矩阵基本原理基本原理：C,使使.(,)(,),()(),p i jp i jp i kp i ks2112sC ACQQ Q AQ QQ s2112sQQQ AQQQ （）若若 为初等阵，则为初等阵，则 12,siCQ QQQ(,()(,()p i j kp j i k 对对E施行同样的施行同样的初等列变换初等列变换便可求得可逆矩阵便可求得可逆矩阵C满足满足就相当于对就相当于对A作作s次合同变换化为次合同变换化为D.所以，在所以，在合同变换合同变换化矩阵化矩阵A为对角阵为对角阵D的同时，的同时，又注意到又注意到12.SCEQ

16、 QQ 212(.().)SSQQ Q AQ QQD所以，所以，212(.().)SSC ACQQQ AQ QQ.C ACD 基本步骤基本步骤：对对A作合同变换化为对角矩阵作合同变换化为对角矩阵D 对对E仅作上述合同变换中的仅作上述合同变换中的初等列变换得初等列变换得C 作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY，则，则即即,12(,.,),nf x xxX AXAA 写出二次型写出二次型的矩阵的矩阵A12(,.,)nf x xx为标准形为标准形.12(,.,)nf x xxY DY DC AED为对角阵为对角阵,且且DC AC i）若若a110，作合同变换：将，作合同变换：将A的第一行的的第一

17、行的 倍倍111jaa 加到第加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到倍加到111jaa 第第 j 列列,j=2,3,.n则则1110.00.0aAA合同变换化对称矩阵合同变换化对称矩阵 为对角阵为对角阵D时时()0ijnnAa ii)若若a11=0，而有某个，而有某个aii 0，作合同变换：，作合同变换：互换互换1,i 两行，再互换两行，再互换1,i 两列，所得矩阵的第两列，所得矩阵的第1行行第第1列处元素为列处元素为aii 0，转为情形，转为情形i)，即，即.*.iiaA iii)若若aii=0,i=1,2,n.则必有某个则必有某个aij0(i j)，作，作

18、合同变换：合同变换：iv)对对 i）中）中A1重复上述做法重复上述做法.将第将第 j 行加到第行加到第 i 行，再将第行，再将第 j 列加到第列加到第 i 列，所列，所得矩阵第得矩阵第 i 行第行第 i 列处元素为列处元素为2aij 0.转为情形转为情形ii).例例3用合同变换求下面二次型用合同变换求下面二次型的标准形的标准形r r1 1+r+r2 2 c c1 1+c+c2 2（同例（同例1）123122313(,)262f x xxx xx xx x112103130100010001 011103130100010001AE 212103230100110001 解：解：的矩阵为的矩阵为

19、011103130A 123(,)f x xxr3+r1r2r112c3+c1c2c1122r22c220002404211111 1001 1221202022100110001 121212200020221111001 12122000140221111001 c3+2c2r3+2r220002 400611111 1001 20002 0006113111001 作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形则二次型化为标准形 222123123(,)226f xxxyyy令令1 13111,0 01C则则20002 0,006C AC对对A每施行一次合同变换后所得矩阵必

20、仍每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对（因为合同变换保持矩阵的对 称性称性可利用这一点检查计算是否正确可利用这一点检查计算是否正确.）对对A作合同变换时，无论先作行变换还是作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的先作列变换，结果是一致的.可连续作可连续作n次初等行（列）变换后，再依次次初等行（列）变换后，再依次作作n次相应的初等列（行）变换次相应的初等列（行）变换.说明说明：作非退化线性替换作非退化线性替换f 的标准形为的标准形为 求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换替性换.答案

21、：答案：22123411213142(,)4422f xxxxxx xx xx xx22324344222x xx xx xx1211013 1,00210001XCYC 其其中中22212322yyy的矩阵为的矩阵为详解：详解：AE100022312341111 0122101000010000121314122cccccc 1234(,)f xxxx1 2 2 12 2 1 12 1 0 11 1 1 1A 21314110002023120341011 01221010000100001rrrrrr 32421000020011032211012231211231011222001000

22、01cccc 3242100002003110022211100222121031012200100001rrrr 4310000200100021000212113011200110001cc 431000020010002000012113011200110001rr 令令则则作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY，则，则 f 的标准形为的标准形为3100002000010000012212013 100210001c 3100002000020200001211013 100210001r 1211013 1,00210001C 12.20C AC 22212322yyy三、小结三、小结1 1、二次型的标准形、二次型的标准形基本概念基本概念基本结论基本结论定理定理2、数域、数域P上任一对称矩阵合同于一上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵个对角矩阵.定理定理1、任一数域、任一数域P上的二次型上的二次型 f(x1,x2,xn)都可经过都可经过一适当的非退化线性变换一适当的非退化线性变换XCY化为标准形化为标准形2 2、合同变换、合同变换2221122nnd yd yd y