小升初奥数知识汇总-小升初奥数常考内容

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1、第一讲计算综合【内容概述】1.2.nX (n+l)=nX (n+1) X (n+2)-(n-l) XnX (n+1)4-3；从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：12+22+32+3.平方差公式：a2-b2=(a+b) (a-b).【典型问题】虢四级数：*1.试比较a、b的大小.【分析与解】1,1a =：,b =：2+2+98 H98 HAB其中 A=99,B=99+一.因为 A98+,100A B96 +9798 + - B97+2+3+98+- B所以有a 63h + c + d 61a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82.评注：不能把不等式列为，如果这样将+崛+得

2、到a + b + c)60a+b+d60a+c+d)60(3)b+c+d603(a+b+c+d)240, a+b+c+d80,因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2 .用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCXDE-FGHXIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCXDE-FGHXIJ尽可能的大，ABCXDE尽可能的大，FGHX IJ 尽可能的小.则ABCXDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所

3、以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751,93.贝IJFGHXIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468X20.所以 ABCXDE-FGHX IJ 的最大值为751X93-468X20=60483.评注：类似的还可以算出FGH X IJ-ABC X DE的最大值为640 X 82-379 X 15=46795.3 .将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少？【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10,为

4、了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9,9显然只能放到图中的位置，最后是8,8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.8X7+7X10+10X6+6X 9+9 X 8=312;9X7+7X 10+10X 6+6 X 8+8 X 9=313.所以，最小值为31最4 .一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析与解】设这个两位数为ab=10a+b,它们的数字和为a+b,因为10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b三9a (mod a+b),设最大的余数为k,有9a三k (mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=

5、k+18m,因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18,即最大为17时，为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；悌二种情况I：余数其次为15,除数a+b只能是17或16,除数a+b=17时，有9a=15+17m,有一 ，（t为可取0的自然数），a是一位数，a=13+17t显然也不满足；39 t除数a+b=16时，有9a=15+16m,有/一一（t为可取0的自然数），因为a是一位数,a=7+16t所以a只能取7,对应b为16-7=9,满足；所以最大的余数为15,此时有两位数79+（7+9）=415.5.用1,2

6、,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百9 x x一 X X位为9,减数的百位为1,如果差的百位为8,那算式就是如下形式：8 x x剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2,因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：97X97X97X97X96X-15X-14X-13X一12X-14X8XX，8XX8XX，8XX8XX96X96X95X95X94X-13X

7、-12X-13X-12X-12X8XX8XX8XX8XX8XX *得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1,可能的算式形式如下97一15XX97-14XX9-174XX9-173XX-917 x2 x82X，82X，83X，84X，85 X97 x96 x96X96x95X95X-12 x-13 x -12X -12X -13X -12X84 x 82 x 83X，84x 82x 83X .但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8,因此，算式可能的形式为：92 x 92 x 93

8、x 93 x 94 x-13x -14 x -14 x -15 x-15x78x*78 x-78 x*-78 x _78x 94x 95x-16x -16x78x f -78x,再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：-152-162784783,所以差最大为784.6.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？12a+l（其中m、n、a, b均为非 2b+l【分析与解】设这四个分数为上1_、2m 2n零自然数）有+-+

9、,贝！有=-,2m 2n 2a+l 2b+l 2m 2b+l 2a+l 2n我们从m=l, b=l开始试验：1111111111=+=+-,=+-=+,263443124661111111111+_+_+=+420588,53061010,11111=+=+,65101212我们发现，和5分解后具有相同的一项而且另外两项的分母是满足一奇一偶,5610满足题中条件：+-+,所以最小的两个偶数和为6+10=16.5156107.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】13个整数的和为100,即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为

10、12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136,显然不满足:当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3

11、+5+7+9+11：36,满足，如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.第四讲几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.典型问题1.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积

12、为多少图 30-2平方厘米?【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG的边长为X,有：1 I Ox x2Swcd=10x 10=100, S正方形的G=x2, S叩=5DGxGF=(10-x)x=-y-,Ii10x+x2又 Saab。=万 x 10 x 10=50, SMef =5(10+X)X=-.阴影部分的面积为：S正方形ABC。+ SE方形CEFG + SadgF -BEF2 10%-X2“10X+X2 UC/F4.LW、=100+三+50=50(平方厘米).22方法二：连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、AD

13、BC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,4DBC的面积-x!OxlO =5O (平方厘米).2阴影部分4DFB的面积为50平方厘米.2 .如图30-4, ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI 等于多少度?图30-4【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有NI=18O-(N1+N2),而Nl=180-N3, N2=180-N4,有NI=N3+N4-1800同理，ZH=Z4+Z5-180, ZG=Z5+Z6-180, ZF=Z6+Z7-180, Z E= Z 7+ Z 8-180,ZD=Z8+Z9-180, ZC=Z9+Z 10-180, ZB=Z1O+Z1

14、1-18O0, ZA=Z11+Z 3-180则NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+NI=2X (Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+ Z11)-9X180而N 3+N 4+N 5+N 6+N 7+N 8+N 9+N 10+N 11正是9边形的内角和为(9-2) X 180=1260.所以 NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+NI=2X 1260-9 X 180=9003 .长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形

15、拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1,2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设ai=la2aKa/a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a a%&, a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.图30-6【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出.第一类情况：以为特征的有7组:第1种情况第谢情况第7种情况为特征的有6组:第10种情况第8种情况第9种情况第二类情况：以第12种情况第13种情况第三类情况有如下三组:第14种情况第16种情况第15种情况共有16

16、组解，它们是：(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).13102514W 78131014 .如图30-8, ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E, F分别为边AB, BC的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？图 30-8【分析与

17、解】如下图所示，连接EC,并在某些点处标上字母,因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2,所以：Sadcg =1：4,S“GD X SAECG = SmeG X SgcG，且有 SMGD = SaecG，所以 SmeG S&ADG =12,而这两个三角形高相同，面积比为底的比,即EG： GD=1:2,同理FH： HD=1:2.有 SmeD = SgEG + SGD 而 SgEQ 二万 X / X S ABCD =18（平方厘米）有 EG: GD= Smeg : S“gb 12所以=6（平方厘米）Smgd =_xSga =12（平方厘米）同理可得S.c=6（平方厘米），

18、S皿-12（平方厘米），S3；=4Smeg =4x6=24（平方厘米）乂 S&GHD =MX：G NDCH =24T2=12（平方厘米）所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的阴影部分面积为72-24=48（平方厘米）.5.图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？图30-10【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.DC设4AEG的面积为x,显然aEBG、BFG、4FCG的面积均为x,则ABF的面积为3x, Smbf=x20x10=100即x =那么正方形内空白部分的面积为4%=酬所A

19、ABF 233以原题中阴影部分面积为20x20-&=%（平方厘米）.336.如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部分的面积.【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为B.119乃大半圆的面积为3A +38+3上小圆的面积=x32x%=.222而小圆的面积为万，则A+B=7T 7T 5原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为一+=一万7.如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4, BC=3, A

20、C=5,求AD边扫过部分的面积.（乃取3.14）图30-14【分析与解】如下图所示,如下图所示，端点A扫过的轨迹为端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD, AD所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分.显然有阴影部分面积为S直角+ S扇形ACT S直角认CD S扇形CD，D 而直角二角形A!D C、ACD面积相等.所以篝心-篝5=*田苧=7峥平方厘米）即AD边扫过部分的面积为7.065平方厘米.第五讲数论综合【内容概述】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.1 .如果

21、把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少？【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。所以n小于5.I第二种情况:当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为。或5),显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0：如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1,2,3,4或6,7,8,9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能.i第二种情词:当n为3时，有IX2X3的个位数字为6,2X3X4的个位数字为4,3X4X5的个位数字为0,，不满足

22、.；第三种情当n为2时，有1X2,2X3,3X4,4X5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满足.至于n取1显然不满足了.所以满足条件的n是4.2 .如果四个两位质数a, b, c, d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d.那么，(l)a+b的最小可能值是多少？(2)a+b的最大可能值是多少？【分析与解】两位的质数有11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.可得出，最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.3 .如果某

23、整数同时具备如下3条性质：这个数与1的差是质数；这个数除以2所得的商也是质数；这个数除以9所得的余数是5.那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.【分析与解】条件也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件，除以9余5,在两位的偶数中只有14,32,50,68,86这5个数满足条件.其中86与50不符合，32与68不符合，三个条件都符合的只有14.所以两位幸运数只有14.4.在555555的约数中，最大的三位数是多少？【分析与解】555555=5X 111 X 1001=3X5X7X11X13X37显然其最大的三位数约数为777.5.从一张长2002毫米，宽84

24、7毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米？【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：20024-847=2308,847+308=2231,3084-231=177.2314-77=3.不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米.6 .已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请写出所有可能

25、的答案.【分析与解】设这三个数为a、b、c,且abb.第一种情况|.当.72时，b可取小于72的11种约数，a+b272+l=73；第二种情况|：当a=36时.b必须取8或24, a+b的值为44或60,均不同第一种情况中的值；;第三种情况|：当a=24时，b必须取9或18, a+b的值为33或42,均不同第一、二种情况中的值：第四种情猊1：当a=18时,b必须取8, a+b=26,不同于第一、二、三种情况的值：i第五种情况|：当a=12时，b无解;|第六种情闻:当a=9时,b必须取8, a+b=17,不同于第一、二、三、四情况中的值.总之，a+b可以有11+2+2+1+1=17种不同的值.（

26、2）60=2X2X3X5,有12个约数：1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. a、 b为60的约数，不妨设ab.腐一种情况|：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a-b可取H 种不同的值：59,58,57,56,55,54,50,48,45,40,30；i第二种情况|.当a=30时，b可取4,12,20,于是a-b可取26,18,10；1第三种情况|：当a=20时，b可取3,6,12,15,所以a-b可取17,14,8,5；|第四种情况I:当a=15时,b可取4,12,所以a-b可取11,3；1竟五种情况i：当a=12时，b可取5,10,所以a-

27、b可取7,2.总之，ab可以有11+3+4+2+2=22种不同的值.10 .狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳44米，黄鼠狼每次跳2。米，它们每秒24钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12,米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进8陷阱时，另一个跳了多少米？3111339【分析与解】由于i2+4+=,12+21=二.8248423一3所以狐狸跳4个12-米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个12米的距离时，将掉进88陷阱.又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9义4=40.5（米）.211.在小于100

28、0的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）【分析与解】我们知道18,33的最小公倍数为18,33=198,所以每198个数一次.1198之间只有1,2,3,，17,198（余0）这18个数除以18及33所得的余数相同,而9994-198=59,所以共有5X 18+9=99个这样的数.12.甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数.即603+A=ak；(2X939)

29、4-A=bk；(4X393)+A=ck.于是有(1878603)+A=b-a；(1878-1572)4-A=b-c；(1572-603)-?A=c-a.所以 A 为1275,306,969的约数,(1275,306,969)=17X3=51.于是，A可能是51,17(不可能是3,因为不满足余数是另一余数的4倍).当 A 为51时，有603+51=1142；9394-51=1821；3934-51=736.不满足:当 A 为17时,有603+17=358；9394-17=554；393+17=232；满足.所以，除数4为17.13 .证明：形如11,111,1111,11111,的数中没有完全平

30、方数.【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1,偶数的完全平方数能被4整除.现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数.评注：设奇数为2n+l,则它的平方为42+4n+l,显然除以4余1.14 .有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块.甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍.八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+

31、33+44=216.从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6.观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31.因此甲取走的一盒中有31块奶糖.15 .在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？【分析与解】10,12,15的最小公倍数10,12,15=60,把这根木棍的-作为一个长60度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位.不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9,11,

32、14（相应于10,12,15等份），共计34个.由于5,6的最小公倍数为30,所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1.又由于4,5的最小公倍数为20,所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2.同样，6,4的最小公倍数为12,所以15与10等份的等分点在12,24,36,48单位处相重，必须再减去4.由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1,再减去2,再减去4,得27个刻度点.沿这些刻度点把木棍锯成28段.第六讲列方程解应用题内容概述列方程解决问题是一种很重要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每

33、一类问题的解法.而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题.方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃.下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力.典型问题1.有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的1，第二人拿走2个和余下9的1，第三人拿走3个和余下的1，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，99问：共有多少鸡蛋?分给几个人？【分析与解】设原有x个鸡蛋，那么第一人拿了 l +：(x-l)个鸡蛋，第二人拿了1 ri11 r o2+x (x-l)-2个鸡蛋. l +(x - l)=2+x (x-l)-2解得x =64,则第一人拿了 l +x(64-1)=8个鸡蛋，所以共有64+8=8人