近世代数复习

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1、第一章集合 A 的一个分类决定 A 的元间的一个等价关系集合A元间的一个等价关系决定A的一个分类。第二章群的定义a. 设G是一个非空集合，“是其上一个二元运算，若满足1.“满足结合律；2.G,沖有单位元；3.G,海个元都与逆元 则称G，是一个群，简称G是一个群。b. 若 G 是 一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。群的性质1.单位元唯一； 2.逆元唯一；3. 若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解注：可以推广到无限：Va , a ,124. 若G是群，则对任意G中的两个元素a、b,有(ab)-i=b-ia-i.,a ,e G n (a a .a )t

2、= a-ia-1 a-ia-1m12mm m-12 15. 单位元是群中唯一的等幂元素(满足 x2= x 的元叫等幂元)证：令 x 是等幕元，.x=ex=(x-ix)x=x-i(xx)=x-ix=e。6. 群满足左右消去律。推论：若 G 是有限群，则其运算表中的每一行(列)都是 G 中元的一个排列，而且不同行 (列)的排列不同。7. 若群G的元a的阶是n (有限)，则ak = en |k。8. 群中的任意元素a和他的逆元a-i具有相同的阶。9. 在有限群G中，每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。元素的阶：G的一

3、个元素a，能够使am = e的最小正整数m叫做a的阶，记为 o(a)。若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无 限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。 定理：一个有乘法的有限集合 G 若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对 于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b和ya = b5 变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换。若是对于上述乘法来说 G 做成一个群，那么 G 只包含 A 的一一变换。定理 2：一个集合 A 的所有一一变换做成一个变换群 G。定理 3：任何一个群都同一个变换群同

4、构。（凯莱定理）6 置换群置换：一个有限集合的一个一一变换；置换群：一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群；n 次对称群：一个包含 n 个元的集合的全体置换做成的群。定理1 : n次对称群Sn的阶是n!k阶循环置换可用符号（ij2ik）表示。定理 2：每一个 n 元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的（不相连的） 循环置换的乘积。定理 3：每一个有限群都与一个置换群同构。7循环群定义：若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘方，我们就把 G 叫 做循环群；也说，G是由元a所生成的，并且用符号G=（a）表示，a叫做生成元。 定理：假定 G 是一个由元 a 所生成

5、的循环群。那么 G 的构完全可以由 a 的阶来 决定：的阶若是无限，那么G与整数加群同构；的阶若是一个有限整数n,那么 G 与模 n 的剩余类加群同构。8 子群定义:一个群 G 的一个子集 H 叫做 G 的一个子群，假如 H 对于 G 的乘法来说做成 一个群。定理1:一个群G的不空子集H做成G的一个子集o a,b g H n ab g H ；a g H n a-i g H推论：H u G,且H不空,eh = eg, ah-1二 ag-1定理2： 个群G的不空子集H做成G的一个子群o a,b g H n ab-iG H定理 3：一个群 G 的不空有限子集 H 做成 G 的一个子群的充要条件是：a

6、,bgH n abgH 生成子群： p649子群的陪集定义：设G为一个群，H是G的一个子群。而Va g G那么 形如Ha = ha | h g H的子集，叫做子群H的一个右陪集，a称为Ha的 代表元。 形如aH= ah | h g H的子集，叫做子群H的一个左陪集，a称为aH的 代表元。指数：一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指 数，记为G:H.定理1： 一个子群H的左右陪集个数相同，或都是无穷大、或都是一个有限相等 整数。定理 2(Lagrange 定理)：假定 H 是一个有限群 G 的一个子群，那么 H 的阶 n 和它在G里的指数j都能整除G的阶N,且N = nj

7、;注：子群H的陪集Ha(aH)所含元素个数与H的元素个数相同推论：G是有限群，Va g G,若o(a) = m，那么m必是|G|的因子定理 3：一个有限群 G 的任一个元 a 的阶都整除 G 的阶。陪集的性质定理1：设H是G的一个子群，Va,b g G，于是有a g Hb o Ha二Hb o ab -i g H推论：设H是G的一个子群，Va, b g G,于是有a g Hb o b g Ha o Ha = Hb o ab -1e H o ba e H-i定理1设H是G 的一个子群，Va, b & G,于是有：a e bH o aH二bH o b1 a e H; b e aH o aH 二 bH

8、 o a * 定理2：设H是G的一个子群，设a,b e G，那么 且匚血； 对于陪集H且和Hb而言，只有二种关系：Ha二Hb或HaoHb二 G=u Ha oxG定理2设H是G的一个子群，设比bEG,那么 aeaH; 对于陪集aH和bH而言只有二种关系：aH二bH或aBnbH二0; G=UaH o3G群的陪集分解定理3：设H是G的子群，在G中定义关系“: Va,b e G,ab o ab -ie H ,那么“”必是等价关系证：1）Va e G, aa -1一 丘日=。2）若 a b n ab -1e H _ ba -广（ab -1）-1e H _ b a3）若 a b且b c n ab -1e H=0的整数集合的映射0存在；2. 给定了 I的一个不等于零的元a,I的任何元b都可以写成：b = qa + r(q,r e I)的形式，这里或是r=0或是0(r) 0(a)定理1：任何欧式环I 一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。定理 2：整数环是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。