大学线性代数习题册答案详解

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1、大学线性代数习题册答案详解习题参考答案第一章行列式1.1二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、1；2,0；3、4；二、1、xl l,x232, xl 1, x221.2 n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、0；2、2000；3、-8；4、-58；5、-192；6、512；二、计算下列行列式1、4abcdef;2、x4 y4；3, x4 y4；4 a2a3 b2b3 ala4 bbl4；5,0；三、计算下列n阶行列式1、an 1 n Ibn；2、 n 11 n 1；3,n 1!；4、12；3；四、解下列方程：1、 xl x2 x30,x410；2、 xl 2,x23；3、 xl 1,x22

2、,x33；*五、计算下列行列式1、按某行(列)展开行列式解:按第一列展开xy 00y000 Ox OOxy 00Dx(1)1 n xn (1)1 nynn y 00 xyOO yO 000x00 xy 2、化为上(下)三角形行列式计算 n(n 1)223 n In解：把Dn的各列加到第1列上去得010D 00n022000000(n 1)n(n 1)223 n In01000100200( l)n 12(n 1)!0000(n 1)n(n 1)223 n In解：把Dn的各列加到第1列上去得010D 00n 022000000(n 1)n(n 1)223 n In010000000( l)n

3、13、212(n 1)!递推法解：按第一行展开得Dn 3Dn 12Dn 2(1)设 Dn xDn 1 y(Dn 1 xDn 2)(2)比较(1)与(2)系数得 x 1 x 2 x y 3,所以1或2。y 2y lxy 212n 2n D D 2(DD)2(DD)2nn InIn221分别代入(2)得(3)D 2D (D 2D)(D2D) InInIn 221n其中 DI 3, D27,消去(3)中 Dn 1得 Dn 2n 114、用范德蒙行列式计算解：此式不是范德蒙行列式.将第n+1行，第n行，第2行分别向上与相邻行交换 n次，n-1次，1次，共交换了 n(n 1)次；将列也作同样的变换。这样

4、一共交换了 n(n 1)次，即偶数次，得21a n(a n)(a n)n 121a n 1(a n 1)(a n 1)n 12la 1(a 1) n 121aa2 an lanDn 1(a 1)(a n)n(a n l)n(a l)n由范德蒙行列式的计算公式得Dn 112 n 12(n 1)212n 13n 2(n 1)2 n5、拆为多个行列式的和解：利用性质3把行列式拆为两个行列式的和(最后一列拆项)x alDn alalala2x a2a2 a2a3a3x a3 a3 OO+Oxx alalal ala2x a2a2 a2a3a3 a3 an an anx a3 an等号右边第一个行列式按

5、最后一列展开，第二个最后一列提出an后，第i列减去最后一列的ai倍(i 1,2,n 1),即得xOOOxODn=xDn 1+aOOxn000 In Inn In lai l=xDn 1+anx=二 x xi 116、解：先对Dn的第1列提出公因数al,然后将第j列减去第1列的aj倍(j=2,3, n),即得PP倾情制作2blb2Dn alb3bn 1bnalb2 a2bl00alb3 a3bla2b3 a3b20 albn anbl a2bn anb3 a3bn anb30000 an Ibn anbn 10(l)n lalbn(alb2 a2bl)(a2b3 a3b2)(an Ibn anb

6、n 1).(1)1.4克莱姆法则一、解线性方程组1、xl二、f x n lalbn (aibi 1 ai lbi). i In 111, x22, x32、 xl l,x22, x3122121x x 2三、2且1四、=2或=1有非零解；2且1有唯一解22第二章矩阵2.1矩阵定义及其运算一、填空题1、12、AB BA 二、1、C 2、C3、C 4、B三、25511四、1、126911166202、21604:2501423、23168723119919314、1;015、 k0;11；31五、A2 AA 211111B22B II22442B22BB22BB2 I513*六、1、8032、21

7、*七、设A2.2逆矩阵一、填空题1、4,4,PP倾情制作1111TTTA A AAA AAAT是反对称矩阵21222722221162、1、1）可逆,110102222、1119-83、充要4、I3122）、015、二、1、可逆，1,是对称矩阵，B 2、 C 427310, AT 0A* 0, A 11B B2 0 得 A2 AB B2 即 A (A B) B2B2 1 nB23、xll2, x322,x32四、A 可逆，A 0 kAA 10kA(k 0), AT, A*, A 1可逆； A*1AA kA11A 1, AT 1 A 1 T,A*1k1 1AA,A1A五、1、证明：由A2两边取行

8、列式AA B A (A B)又B可逆，B 0,从而A 0, A B 0； A, A B都可逆。2、证明：将方程改写为A23A 21则1A23A A(1A 31)2222A可逆，且A 1A232I 3、证明：将方程改写为 A 31 A I 71则A 31, A I都可逆，A I 117 A 31, A 31117A I*六、解：由(3A)11A 1, A* AA 1132A 1得(3A)12A*1A 1 A 12A 1(2)38116333A 127 A27*七、解：由题设得 C(2E C IB) AT E,即(2C B)AT E.234由于,|2C-B =170,故2C-B 可逆，001200

9、110001000于是 A (2C B)1T (2C B)T121001032102101204321101212. 3初等变换与初等矩阵PP倾情制作411111001 110101 9 2 三、1、99 29192 901 k1210091 4 391 211642 、001 ,1 一、021010 , k 000121022、101 2填空题1、22000 0 二、1、B 2、C1 5 331 al4001a2000000001an111001000100an0260 001五、9300七、03021 A 102六、1283002.5矩阵的秩一、填空题 1、0； 2、3；3、R4、-3 5

10、、1 二、1、A 2、C 3、A4、 C 5、 A四、1)3 2、2； 3、 4 ；五、k当1,R111且2)当 k 1,R A0,或1,或1,当k,R A1,R2,A 2,当k 1,且其它情况，R A 3 22第三章向量3.1向量的概念及其运算914、71)15122、43717613、2)145 14 75、R192153,563,所以可以线性表示,3.2线性相关与线性无关5 PP倾情制作一、判断向量组的线性相关性，并说明原因1、线性相关，2、线性无关3、线性无关4、线性相关5、线性相关二、1、2；2、abc 0；3、三、1、C；2、C；四、1、解：考察向量方程kl 1 k2( 23) k

11、3 ( )12 3 即(kl k2 k3 )1 (k3k)2k23 3向量组1, 2, 3线性无关,kl k2 k3 k3 k2 k3 0 kl k2 k3 01, 12, 123线性无关。2、解：考察向量方程kl 12)k2( 23) k3(3 1 即(k)l (kl k3 21k )2 k k32向量组1, 2, 3线性无关,kl k3 k2 kl k3 k2 0 kl k2 k3 有非零解12,(23),( 31)线性相关。3、解：考察向量方程kl(2) k2( 23)km 1 ( m 1 m) km ( m1)即(kl km) 1 (kl k2) 2(km 1 km) mkm 1 km

12、 0(1)向量组1,2, m线性无关，kl km kl k2HD 0010001000这是一个含有m个未知数m个方程的线性方程组，其系数行列式为0m为偶数m 101(1)2 Om为奇数00011(1)只当m为偶数时，(1)有非零解，则向量组12,23, m 1 m, m 1线性相关；当m为奇数时，有零解，向量12,23, m 1 m, m 1线性无关。五、R 1233, R 1233,所以可以唯一线性表示,3121能由2,3线性表示。2,又因为1,故证得1能由2, 3事实上：因为已知2,3,4线性无关，所以线性无关。2,3线性相关，3六、解(1)线性表示,且表示式唯一。(2)4不能由1,2,3

13、线性表示。事实上：反证法。设4可由1,2,3线性表示,即4112233,由(1),可设1122133,代入上式得：4(2112)2(3113)3,即4可由2,3表出，从而2,3,4线性相关,与已知矛盾。因此，4不能由1,2,3线性表示。3.3向量组的秩一、1、无关；2、rl r2二、1、B 2、B 3、C 三、1、R 1233PP倾情制作6al12300a2 a当 aO 且 al,R 1233；当 a OR 1232；当a 1R 123110119四、1、1 230151191与2为极大无关组，=3-152000990001021212 、123450103211与2为极大无关组。3=2102

14、00000000001332122,3=121232五、011012340011 k 91,2与3为极大无关组。43123六、解：n维单位向量1,2, n可由n维向量组1,2, n线性表出，n 维单位向量1,2, n可由n维向量组1,2, n线性表出，所以两个向量组等价，故1,2, n线性无关。七、证明：因为R 1233所以123线性无关考察向量方程kl 1 k22k330kl2132k2(243)k3(153)即(2klk3)13(lkk2)24k25k33向量组1,2,3线性无关，2k1 k33k1 k24k25k302013100, kl k2 k300451, 2,3线性无关。PP倾情

15、制作7*八、证：R I R II 34可由123唯一线性表示，设4112233R III 41235线性无关 kl1k22k33k4540kl 1 k22 k33 k451122330kl k411 k2k422k3k433 k450因为 kl k410, k2 k420, k3 k430, k40所以 kl 0, k2=0, k3=0, k4=0, R 1,2,3,544向量组1,2,3,54的秩为4。3.4向量空间一、VI是向量空间，V2不是向量空间，二、1、322、分析：按定义求由基1,2,3到基1, 2,3的过渡矩阵时，先求i(i 1,2,3)在基1,2,3下的坐标2, 3以列构成的i

16、 (cil,ci2,ci3)T。考虑向量方程i cil 1 ci22 ci33,对应的线性方程组的系数矩阵恰好是1,1方阵A ,常数项构成的列向量恰好是i(i 1,2,3)以列构成的，解i (ci 1, ci2, ci3)T 恰好等于 A乘以列向量i(i 1,2,3)。设1,2,3以列构成的方阵为B,i (cil,ci2,ci3)T(i 1,2,3)以列构成的矩阵为C,则C恰好是由1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵。此时，C=A IBo解设由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为C,则1,2,3=1,2,3C,故基C 1,2,311,2,3001=110221112 2123234234010

17、143101三、1、1021四、10娓x/6210310212、72V29020003五、1234为四维向量，而R 12344,V x|x kl1k22k33k44所以1234可以为向量空44间V的一组基，dim V dimR 4,所以V RPP倾情制作8第四章线性方程组一、(1)=4;=3;(2)A E 0;(3)2;(4)k(32)114(12) k(l,0,0,1)T (,1,0,2)T (5);(6)x k(12)223二、(DC;(2)B;(3) B.(4)A;三、(1)1111111130222选x3为自由未知量并令x31,得该齐次方程的基础解系为112 34解系为14510014

18、5选x3, x4为自由未知量可得该齐次方程的基础01四、B并令x373 330 3 2 3 4 选x3, x4为自由未知量34512345120, x40,解得111113474x1,x2,于是该齐次方程的一个特解为0011201120五、(1) B 21610121由R(A) R(B)23知原方程组有无穷多组解。11620000其同解方程组为 xl x22x30,选x3为自由未知量并令x30,解得xl 1, x21,于是该方程组的一个特x 2x 1321解为1xl x22x30其导出组的同解方程组为，选x3为自由未知量并令x31,解得 xl 4, x22,于是导出组的x 2x 032Pp倾情

19、制作9312 143一个基础解系为1012 14312 142 31110 73 7 50 73 7 54 12 140 96 17 80015 8 112 o故原方程组的通解为(2)77由R(A) R(B)34知原方程组有无穷多组解。5,选x4为自由未xl 2x2 x34x43其同解方程组为7x23x37x4知量并令x41,(注意此处特解的取法)解得15x 56x113401 x33, x2 l,xl 0,于是该方程组的一个特解为31xl 2x2 x34x40其导出组的同解方程组为7x23x37x40,选x4为自由未知量并令x41,解得15x 56x 03422153 56322x3 , x

20、2 , xl于是导出组的一个基础解系为51551556151故原方程组的通解为x k其中k为任意常数。(3) B 1200101010由R(A) R(B)24知原方程组有无穷多组解。先求原方程组一个特解，选x3,x4为自由未知量并令x30, x40,得x20,xl 1,于是该方程组的一个特解为1000 PP倾情制作10在其导出组中选x3,x4为自由未知量并令x31 xl 0得，,x40 x2001x30 xl 101令得，于是导出组的一个基础解系为，1 x 1 x 1120,4201故原方程组的通解为x kl 1 k22,其中kl,k2为任意常数。六、1）解：因为AX b为三元方程组而R（A）

21、1,所以AX 0的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，12221,13002均是AX 0的解，显然它们线性无关，可以构成AX 0的一个基础解系。由解的结构知AX b的通解为x kl 12 k2131,其中kl,k2为任意常数。2）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解。由11 21 0o可得L所以当 1时原方程组有非零解。11当 1时，原方程组变为xl x2 x2 1 x2 0 1x30 x3x3 0,选x2,x3为自由未知量并令并令x 1得，得 1xl lo于是方程组的一个基础解系为通解为kl 1 k2 2,其中kl,k

22、2为任意常数。3）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为。时方程组2有非零解。由1322310328142可得1或3时原方程组有非零解。132132当1时，原方程组系数矩阵为172040,选x3为自由未知量，取x31,得，xl方程组的一个基础解系为，0通解为x k ，其中k为任意常数。PP倾情制作111 3 21 3 21 3 23时，原方程组系数矩阵为1 5 21 ,选x3为自由未知量，当 0 8 402214604 2 0001 xl 11 ， x取x3 2,得,1,方程组的一个基础解系为其同解方程组为xl x2 2x3 0,xl l,x

23、2 1,于是该方程组的一个特选x3为自由未知量并令x3 0,解得 x2 2x3 11 解为 1其导出组的同解方程组为 xl x2 2x3 0, xl 4, x2 2,于是导出组的x2 2x3 0选x3为自由未知量并令x3 1,解得一个基础解系为2 o故原方程组的通解为k 4)解：B 11 k 31kllk 2 Ilk2 k3 k2Ok 11 k 0k2 31 k22k k110300 kl k21 k 1 k2 431 k 1 2 k 23 2k (2 k3)12 3 k 1 k 40当 R(A) R(B),即2时，原方程组无解。1212当R(A) R(B)3,即k 1 k 40, k 1,2

24、,2时，原方程组有唯一解。12 k Ik 4程组有无穷多解。120 3 当 R(A) R(B) 2 3,即k 1或者k 2时，原方11111110量，在对应的B当k 1时，原方程组中B 0303,选x3为自由未知0300中令x31得00000000PP倾情制作1211x1，导出组的一个基础解系0201在11111B 0303 xl 1中令x31得0000 x1,一个特解121,其中k为任意常数。于是方程组的通解为x k112411当k 2时，原方程组中B03310选x3为自由未知量，在对应的B03000000x1x3，导出组的一个基础解系31211在 B 112403310中令x x 2222

25、330得310000 x,一个特解10,2 1033 0,其中k为任意常数。于是方程组的通解为x5）解：Blbl302b06313bl901 abl a ObO4 3a 01 abl a43albl30b03lbl3Oil a4Oil a4 OOab b34b当 R(A)R(B),即 ab b 0, b0或33 4b Oa 1, b 4时，原方程组无解。当R(A)R(B)3,即ab b 0, al,b 0时，原方程组有唯一解。当R(A) R(B)23,即 ab b 0, a 1且34 4b 0b 4时，原方程组有无穷多解。PP倾情制作2030中令x31得001313当a 1且b时，原方程组中B

26、 05 0341013104,选x3为自由未知量，在对应的B04101000中令 x31001 x 11得0，导出组的一个基础解系0, x21在1 B 003410130x 1004中令x30得4，一个特解4, x2000于是方程组的通解为x k ，其中k为任意常数。6）将增广矩阵化为上阶梯形11123111234011231 行变换0 1 1B3 1 1 2a00 3 27a 323 lb 6000b 52 2a 2讨论：1)当 b 520,而 a 10,即 a l.b 52时，R A 3R B 4故方程组(1)无解；2)当b 520,即b 52时，R(A) R(B)4,方程组有唯一解，由阶

27、梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为：4(a 1)xl a xl 2x23x3 x41 x x 4x 026(a l)a 3x 2342回代求解得18(a 1)3 a 3x327x4 a 3 x3 a 1) x42( b 52 x42 a 13)当 b 520, a 10,即 a -l,b -52时，R(A) R(B)3 n 4,方程组有无穷多组解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为：xl 2x23x3 x41ITx2 x34x40令x40得原方程组的一个特解为0314403x327x44将上述方程组中常数项都改为0,得原方程组导出组的一个同解方程组为：2 xl 2x23x3 x4013

28、 x2 x34x40令x41得其基础解系为93x 27x 0341所以原方程组的通解为x0 k ,k为任意常数。7)证明：由于 A xl 2x3 Axl 2Ax3000.同理可以验证 x22x3, xl 2x2也是Ax 0的解，由题设知Ax 0的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明xl 2x3, x22x3, xl 2x2是线性无关的。PP倾情制作14设 kl xl 2x3k2x22x3 k3xl 2x20整理得 kl k3xlk22k3x22k 12k2x30kl k30由于 xl,x2,x3线性无关，故有 k22k302k 2k 021101又系数行列式D 01230,故kl k2 k

29、30110从而xl 2x3, x22x3, xl 2x2线性无关，是方程组Ax 0的一个基础解系。llb3 b34328b 1111111b23b38)证明：B 3417b20124b23b301241111b0124b 4b 0048b b 7b 313123由于R(A) R(B)34,故对任意实数bl, b2,b3原方程组都有解。b3111111110b23b3,选x4为自由未知量，在对应的B01240中令 x41对 B 01240048b b 7b 004801233 xl 30得 x20,导出组的一个基础解系为 ，2x2313b 1 b25b34b31111 xlb3 b2 bl b2

30、3b3中令x40得 x2在B 0124,原方程组的一个特解20048b b 7b x 1237b3 bl b2343bl b25b34 b b b 321,于是方程组的通解为x k ,其中k为任意常数。27b3 bl b2409)解：因为R(A) n 1,所以AX 0的基础解系中只含有一个解向量。由解的性质，1 2是AX 0的非零解，又题设中是AX 0的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数kl,k2满足 kl12k20, PP倾情制作15整理得kl 1 kl 2 k20,从而向量组，1,2线性相关。10)解：考虑向量方程xl 1 x22 x33 x44,x2 x3 x41 xl x2

31、x32x41即4x4 b 32x13x2(a 2)x3x3(a 8)x453x15x2对其增广矩阵进行初等变换，把其化成阶梯形矩阵得：1 02 31111111111111112101121011201a 00a 13a 24b 32b 1051a 850a 1022a 520011b 0所以：当a l.b 0时，不能表示成1,2,3,4的线性组合：当a 1时，表示式唯一，且2ba b lb 12304. a la la 1第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1矩阵的特征值与特征向量一、填空题(1)3;(2)1, n维基本单位向量组的所有非零线性组合；(3) A 1的特征值为1,11, kA的

32、特征值为k,2k,4k A22A 31的特征值为6,3,1124AT的特征值为-1,2,4 A*的特征值为8,-4,2;(4)0或1;二、(1)(C);(2)(B);(3)(B);(4)(D);(5) D;三、1)解：特征方程为05特征植为14,2211111当14时，41 A 1,对应的特5500,对应齐次方程组为xl x20,基础解系为征向量x k ,其中k为非零常数。21 A ,对应齐次方程组为, 5 10015151当12时,基础解系为5x1 x205,对应的特征向量x k ,其中k为非零常数。2）解：特征方程为特征植为10,0,332011111。时，对应齐次方程组为xl x2 x3

33、,基础解系01 A1,2x2 x302000对应特征向量xk ,其中k为非零常数。PP倾情制作1600112时,21 A111应特征向量x,其中k为非零常数。1013时,31 A12应特征向量x,其中k为非零常数。10xl x2001,对应齐次方程组为，基础解系x30000基础解系1,对011x2 x30xlx301,对应齐次方程组为，003）解：特征方程为410023412特征植为1021 A122104202010000,对应齐次方程组为2x12, x20基础解系对应特征向量x kl 1 k2 几何重数）。2,其中kl,k2为不全为零的常数（此题中代数重数大于4）解：特征方程为I A 51

34、201102233030357特征植为123122I Ax2 x3 052 30111010001312101xl x30对1,对应齐次方程组为，基础解系应特征向量x k ，其中k为非零常数。（此题中代数重数大于几何重数）。四、解：由于 B AA* AI,故 I B I AI A nB的特征植为1A2A,又 il B AI AI 0,对应方程组为oX 0,可选一个基础解系为基本单位向量组1,2, n,故B的特征向量为x kl 1 k22 kn n,其中kl,k2,kn为不全为零的常数。五、证：（1）设为A的任一特征值，x为对应于的特征向量，则Ax x所以 Ax A （Ax） A（ x） Ax

35、x2又 A2x Ax x, x x ,即（）x ,222但x ,所以10,即0或1.（2）因T不是A的特征值，故0 I A （1）1 A,即I A 0, I A可逆。In六、证：（1）由条件知有非零向量，满足A；= N 两端左乘以A,得；=入（A &）,由于，为非零向量，故X W0,于是有A 1PP倾情制作1117据特征值的定义，数(2)由于A 11-1为矩阵A的特征值。|A|A|111*,故数为A的特征值。A*,故(1)中的结论可写为A*,即A*|A|A|(3)取A的关于X的特征向量为X,则AX=、X,于是有A2X A(AX) A X 2X.七、证：必要性：因AX=O有非零解，故|A|=0,

36、又因|0E A| A|( l)n|A 0入=0是A的特征值。充分性：因0为A的特征值，故0E A| A ( l)n|A|0A IA |=0,因而AX=0有非零解。xl八、解：(1)设 xl 1 x22 x33123 x2,x3把此方程组的增广矩阵作初等行变换111111111123 123101200149303820得唯一解(2,-2,1),故有 B=2口-2$2+&3(2)由于 Agi二入 i&i,故 An i ni i；因此An An(21223)2(An1)2(An 2) An 31 1122n 13n14922n 33n 25.2相似矩阵、矩阵的对角化一、填空题2,-1,4,-3,2

37、4;(2)1二、(1)(B;(2)(C);(3)(A);(4)(C);三、1) A 1(1)2212)由于 P 1AP 1,故 P 12A35A23IP 042 1即 P IBP 04,所以B的特征值为0,-4,-1。13) A 5115(15)25721 10四、1)解：特征方程为I A 0210003特征值为11,22,33PP倾情制作11112001118故A可对角化，A22）解：特征方程为I A2特征值为1232010对21 A X 0,系数矩阵001 ，秩为2,说明A只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，000不相似与所给的对角矩阵。23）解：特征方程为I A110312112

38、11211032000对31 A X 0,系数矩阵000,秩为1,说明A有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似111与所给的对角矩阵。五、1）解：特征方程为3I A76111073623015624103 2特征值为14,232001对21 A X 0,系数矩阵661,秩为2,说明此时A只有一个线性无关的特征向量，故它不可对660角化。2）解：特征方程为I A 333160356336特征值为14,232423024333111对21 A X 0,系数矩阵333000,秩为1,说明A有两个线性无关的特征向量，66600011故它可对角化。对此齐次方程组取一个基础解系11200133311

39、1对41Ax 0,系数矩阵393021,秩为2,说明A有一个线性无关的特征向量，PP倾情制作191取一个基础解系31 o1112取 P 1,2,3101,有 P 1AP 201243）解：特征方程为3I A 441002102182特征值为12,231210特征向对I21020A X 0,系数矩阵000,秩为2,说明此时A只有一个线性无关的44830103量，故它不可对角化。六、解：由于A有3个互不相同的特征值，故它可对角化。1221001取P pl,p2,p3221,有PAP 00021001210030611从而 A P 000 P 03690016605.3实对称矩阵的对角化一、填空题（

40、1）线性无关，正交；（2）3二、解：特征方程为424242特征值为14,424212方程组取一个基础解系424510000,系数矩阵212000,对应的齐次4124152X0,2系数矩阵1,对应的齐次方程组取一个基础解系28200 PP倾情制作20正交化:21,211,单位化:112111150321425213P 2211,2,3取5350052121,有 PAP 0500213004100100002020三、解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故011002101122解方程组得11,21四、解：1）由于相似矩阵有相同的特征值，A的特征值为0,1,2从而有0 A 0,1 A 0,21 A

41、 00 A2即0I A 20,解得021 A20010101101110 A 01001010,其一个基础解系01010001I A 001000 ，其一个基础解系00000101100100010110121 A 0101010,其一个基础解系301010001PP倾情制作21220单位化：11PAP1022000 P01010200221,2,3010五、解：特征方程为1111特征值为14,2111对I A X 0,系数矩阵000,对应的齐次方程组取一个基础解系11100011112001121111212101141 A X 0,系数矩阵 ，对应的齐次方程组取一个基础解系31111200

42、0111100100P1,2,3101,有P 1AP010,故AP 010P 1011004004100100100Ik 11AP010PP010PP010从而P0040040044k24k 14k 110011 kkk P010 P 4142413 k kk004k414142六、证明：1）设A为幕零矩阵，有特征值，即Ax x, x 0Akx Ak 1 Ax Ak 1 x Ak lxkx,又Ak 0,带入上式得Ox kx,即0 k x 0,又x 0,只有k 0从而0足P 1AP B,有A PBP 1 POP 10,与题设A为非零矩阵矛盾，假设错误A不能相似于对角矩阵。第六章二次型PP倾情制作

43、222)反证法：假设A相似于对角矩阵B,由于相似矩阵有相同的特征值，故B为零矩阵，且存在可逆矩阵P满6.1二次型及其矩阵表达式6.2化二次型为标准形110012222一、填空题110;(2)103,3;(3)2;(4)x1,12x1x2 tx23x3023000二、(1) D;210 xl三、解：(1) xl,x2, x3120 x2003 x 3(2)特征方程为2I A 1100130223特征值为11,233110110对31 A X 0,系数矩阵110000 ,对应的齐次方程组取一个基础解系101120011110110I A X 0,系数矩阵110002,对应的齐次方程组取一个基础解系

44、310000002由于1,2,3相互正交，只需对它们单位化：1 011111,220,3单位化：1 11, 1220101 102 211 xl P 1,2,3022取，作正交变换x Py,即010 x222则x Py将f化为标准形f 3yl23y2 y3四、2222解：(1) f (xl, x2, x3)xl x2 x3 x2 x32x2x32x27x36x2x3222 xl x2 x3 x26x34x2x322xl x2 x3 x22x32x322121yl yl11y3y322x3 y2PP倾情制作23yl xl x2 x3 xl yl y2 y3令 y2 x22x3,显然它是一个可逆变

45、换，它的逆变换x2 y22y3也是可逆线性变换，这个线性变 y3 x3x3 y3222换将f化为标准形f yl y22y3该二次型是一个秩为3的二次型。22(2) f (xl,x2, x3) xl x22x34x28x34x2x322 xl x22x32x2 x39x32215 x y y y3121 yl xl x22x3221令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将fy 2x x 223 x2 y2 y32 y3 x3 x3 y322化为标准形f yl2 y29y3该二次型是一个秩为3的二次型。22(3) f(xl,x2,x3) xl 2x22x24x2x33x

46、322 xl 2x22 x2 x35x322yl xl 2x2 xl yl 2y22y3令y2 x2 x3,显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将f化x2 y2 y3yx x3 y333222为标准形f yl 2y25y3该二次型是一个秩为3的二次型。2(4) f(xl,x2, x3) xl 2x24x28x2x322 xl 2x24 x2 x34x322yl xl 2x2 xl yl 2y22y3令也是可逆线性变换，这个线性变换将f化 y2 x2 x3,显然它是一个可逆变换，它的逆变换x2 y2 y3yx x3 y333222为标准形f yl 4y24y3该二次型是

47、一个秩为3的二次型。xl yl y2(5)令 x2 yl y2x y332f(xl, x2,x3) yl2 y22yly310y2y322 yl y3 y2 y310y2y322 yl y3 y25y324y322zl yl y3 yl zl z3 xl yl y2令，它的逆变换，带入z y 5yy z 5z 22 x2 yl y22323 z y y z x y333333 PP 倾情制作24xl zl z26z3222得 x2 zl z24z3,这个线性变换将f化为标准形f zl z224z3 x3 z3该二次型是一个秩为3的二次型。(6) f(xl, x2, x3) xl 2x22x32

48、x1x22x1x34x2x3222yl xl x2 x3令y2 x2 x3xl yl即x2 y2 y3显然是可逆的线性变换，y3 x3x3 y322且在该可逆变换下有f (xl, x2, x3) yl y2该二次型是一个秩为2的二次型。lai xl lai五、解：(1) f xl, x2, x3 alb x2,该二次型的矩阵为Aalb , lb3 x lb3322它可经过正交变换X QY化为标准形f y2,故0,1,2是矩阵A的三个特征值。从而有2y30 A0,1A0,21A00 A a b 20 BP I A 2ab 0,解得a b 021Aab 201 a 11六、解：该二次型的矩阵为A

49、10b ,由题设1是矩阵A的特征向量，故存在特征值满足A ,0 Ibla 1即 A 1，可得 a 0, bl,11 b 0011此时A 101,特征方程I A 0解得特征值为11,23,33111222二次型f的标准形为f yl y23y36.3二次型的规范形、惯性定律6.4正定二次型一、填空题(1)不是，不是，不是；(2) a 7;(3)2 t二、(1) A;(2)A;(3)C;(4)C;(5)D;(6)D.2 PP倾情制作25三、(1)该二次型的矩阵为A 2111121(1)该二次型的矩阵为A 13032096,13619I 1因为al 0,12II 1320,13060,2091121A

50、 13032096240,二次型f正定。1 3619la 1四、(1)该二次型的矩阵为Aal2,125要使得二次型f正定，只有：la2all 10, laal 1 a20, al25a24a 0同时成立,2252 1(2)该二次型的矩阵为A125 11 la要使得二次型f正定，只有：al21211110,2510,251 a 20同时成立，1 la所以二次型f正定可得a 2222(3)二次型f的矩阵为A2t0,其顺序主子式分别为20tAl 2A22(t 2)A32t(t 4)由于f正定，得2(t 2)02t(t 4)0, t 4.五、证明：设A的特征值为1,2, n, xi为i对应的特征向量(

51、i 1,2, n) Axi ixi,又(A tl) xi ixi txi ( i t)xi, PP 倾情制作26 A tl的特征值为1 t,2 t, n t。取t max1,2, n,则A tl的所有特征值均大于0,又A为n阶实对称矩阵，有A tl也为n阶实对称矩阵，所以，当t充分大时，A tl 为正定矩阵。线性代数试题(三)答案一、填空题(每小题4分，共20分)1、82、103、唯一4、a 0,b 150a /2二、选择题（每小题4分，共20分）1、C 2、B 3、A 4、C 5、Dx yxxxyOOx三、（8分）解：Dxx 2yxx02yxxxx 2yx 0002yx xxxx 3y 3y

52、00x 3yyOOx 02y0x002yx4y32x 3y 8xy312y40002x 3y四、（10分）212411122112解：111212124128120141220121412114012142111220148122,于是400692312230000423所以：1,2,3,4的一个极大线性无关组为：1,1,3,4),且40123(或3020134)五、(12分)1 110111111解：1I 13II 1303III 1110003231）当0时，方程组无解；2）当0且3时，方程组有唯一解；3）当当3时，方程组为：2, 3 (或 1, 2, 4,124,3时，方程组有无穷多解.

53、xl x22x32 x32Pp倾情制作27令：x得特解为：12 1（或令：x3 020得特解为：0）021导出组 xl x22x30x的基础解系为：x23011所以，方程组有无穷多解时其通解为：x k （其中k为常数）.六、（12分）一11解： I-A 020220,贝I10,23210 1将。代入 I A X得基础解系为：111 0（这里 x20,01 (这里x3, 2将 A X得基础解系为：232代入120,31 x30)1 0令：T2 21,0,1,33 0,1,0 T2,220将正42721,2,3单位化得：10,V2了7?20,3100令：P 001，则 P 1AP 0202七、（1

54、0分）解：（1）二次型的矩阵表达式为A=f x, x 220 xl1, x2, x3 xl,x23212x2020 x3（2） f x,x2212, x3=2x1 x24x1x24x2x3=2 x2222212x1x2 x2 x24x2x34x34x3PP 倾情制作28=2 x2 x221 x222x34x3yl=xl-x2 xl=yl y22y3令yx2=22x3,易验证它是个可逆变换，其逆变换：x2=y22y 3 y3 x3 x3 y3这个线性变换化f x222I,x2,x3为标准型：2yl y24y32 20(3)令：A212,则A的顺序主子式为：0202010,2222120,21280,所以此二次型不是正定二次型.020八、(8分)证明：考虑向量方程kkl 1 k22,则 A k kl 1 k22，即：kA klA 1 k2A 2因为：A , A 1 b, A 2 b,所以： kl k2 b ,得:kl k2