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1、第四章弹性杆横截面上的切应力分析4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力,又有切应力T。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1. 矩形截面梁对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力FQ。现分析距中性轴z为y的横线aai上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa两端的剪应力必与截面两侧边相切，1即与剪力F的方向一致。由于对称的关系，横线aa中点处的剪应力也
2、必与F的方向相同。Q1Q根据这三点剪应力的方向，可以设想aa线上各点切应力的方向皆平行于剪力FQ。又因截面iQ高度h大于宽度b，切应力的数值沿横线aa不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基i于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj力Fq。2）切应力沿截面宽度均匀分布。图4-15图4-16基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16c所示，现欲求距中性轴z为y的横线aa1处的切应力P。过aq用平行于中性层的纵截面aaf自dx微段中截出一微块（图4-16d
3、）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力T,。微块左右侧面上正应力的合力分别为N和N,其中12J,dAJMy1dAMIA*(4-29)A*zJ,dAIIA*J(M+dM)ydA(M+dM)(4-30)A*cAII)为面积A式中，A*为微块的侧面面积，S*JydA。z1A*由微块沿x方向的平衡条件X0，得中距中性轴为y1处的正应力,(4-31)N+N-Tbdx012将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31）,得dMS*-Tbdx0Izz,dMS*Tzdxblz因dMF,T=T，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力T为dxQFS*(4-32)TQzblz式（4-
4、32）也适用于其它截面形式的梁。式中，Fq为截面上的剪力为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；S*为面积A*对中性轴的静矩。y对于矩形截面梁（图4-17），可取dAbdy1，于是这样，式（4-32）可写成S*JydAJ2zy1dAby1dy1yb(h22(4-y2)FQ21zy2)上式表明，沿截面高度剪应力T按抛物线规律变化（图4-17）。h在截面上、下边缘处，y=2,T=0；在中性轴上，y=0,切应力值最大，其值为图4-1713FTQ(4-33)max2A式中A=bh，即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的32倍。2. 圆形截面梁在圆形截面上(图4-18),任一平行
5、于中性轴的横线aa两1端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力FQ,设为均匀分布，其值为最大。由式(4-32)求得4QT(4-34)max3A图4_18式中A：d2，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的43倍。433工字形截面梁如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式(4-32)的计算结果表明，在翼缘上切应力很小,在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，值为F(S*)TQzmaxmaxdI式中(S*)为中性轴一侧截面面积对中性轴zmax的静矩。对于轧制的工字钢，式中的Iz“*、(S*)zmax可以从型钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为(0.950.97)Fq,因此也可用下式计算t的Qmax近似值FTQmaxhd图4-191式中h为腹板的高度，d为腹板的宽度。15
材料力学切应力计算
