北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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1、东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 .1.已知集合A =x|x 1，B = x | ( x -2)( x +1) 0，那么A I B =（ ）A.C.x| -1x 2 x|1 x 2B.D.x|-1x 1 x|-1x 1【答案】D【解析】【分析】求得集合B = x | -1x 2，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合B = x | ( x -2)( x +1) 0 = x | -1x 2，所以A I B =x|-1

2、0时，函数y =ln x为(0,+)上的单调递增函数，符合题意；对于 C 中，函数y =2x为非奇非偶函数，不符合题意；对于 D 中，y =1-| x |为偶函数，当 x 0 时，函数y =1 -x为单调递减函数，不符合题意，故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证 能力，属于基础题.4.设a, b为实数，则“a b 0”是“ papb”的（ ）A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件【答案】A【解析】【分析】B. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件根据函

3、数f (x)=px为单调递增函数，结合充分条件和必要条件 判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数f (x)=px为单调递增函数，当a b 0时，可得f (a)f(b)，即 papb成立，a b m, n当 papb，即f (a)f(b)时，可得 a b ，所以a b 0不一定成立，所以“a b 0”是“ papb”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查 了推理与论证能力，属于中档题.5.设 ， 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列结论

4、中正确的是（ ）A. 若 m a， m n ，则 n / /a m nB. 若 a b， m a， n b ，则C. 若n / /a，m n，则m aD. 若a/ / b， m a ， n b，则m / n【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于 A 中，若 m a， m n ，则 n / /a或 n a，所以不正确；对于 C 中，若n / /a，m n，则 m 与 a 可能平行，相交或在平面 a 内，所以不正确；对于 D 中，若a/ / b， m a，n b，则 m 与 n 平行、相交或异面，所以不正确；对于 B 中

5、，若 a b，m a， n b ，根据线面垂直的性质，可证得m n成立，故选：B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.从数字 1，2，3，4，5 中，取出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 这样的三位数的个数为（ ）A. 7【答案】C【解析】B. 9 C. 10 D. 13a b【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2, 2, 2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字 1，2，3，4，5 中，取

6、出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之 和等于 6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有C 1 =33种排法；（2）当三个数为1,2,3 时，共有A33=6种排法；（3）当三个数为 2, 2, 2 时，只有 1 中排法，由分类计数原理可得，共有3 +6 +1 =10种不同排法，即这样的数共有 10 个.故选：C.【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.设 ， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A 若a+bp2，则 sina+sinb2B

7、. 若a+bp2，则cos a+cos bp2，则sina+sinb1D. 若a+bp2，则cosa+cosb1【答案】A【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于 A 中，因为a+bp2，则 0 a+b p p a-b p , - 2 4 4 2 4又由sina+sinb=2sina+b a-b p a-bcos 2sin cos2 2 4 2= 2 cosa-b2 2，所以 sina+sinb 2，所以 cosa+cosbp2，例如a =5p p, b=6 125p p 1 6 - 2时，sin +sin = + 1不正确；对于 D

8、 中，因为pa+b ，例如 a = 22p p, b=3 62p p 1 3时， cos +cos =- + 1不正确，故选：A.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家 Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于a 的上方和下方，并且与圆柱面和a 均相切.给出下列三个结论：两个球与 a 的切点是所得椭圆的两个焦点；若球心距

9、O O =41 2，球的半径为 3 ，则所得椭圆的焦距为 2；当圆柱的轴与a 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C22222 22 2tanaa【解析】【分析】设圆柱的底面半径为 R ，根据题意分别求得b =R，a =R R， OC =sin a tan a，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为 R ，根据题意可得椭圆的短轴长为2 R R2 a =，即 a =长轴长为，sin a sin a2b =2 R，即b =R，在直角DO OC1中，可得O C O C

10、R 1 =tan a，即 OC = 1 =OC tan a tan a，又由OC +b2=R 2tan 2a+R2=R2 1 R1 + = tan a sina，即 OC +b 2 =a 2 ，所以 OC=a 2 -b 2，又因为椭圆中 c2=a2-b2，所以 OC =c ，即切点为椭圆的两个交点，所以是正确的；由O O =4 ，可得 O O =2 1 2 1，又由球的半径为 3 ，即R = 3，在直角DO OC1中， OC = OO1-R2=22-( 3)2=1，由可知，即 c =1 ，所以 2c =2，即椭圆的焦距为 2，所以是正确的；RR R由可得 a = ， c = ，所以椭圆的离心率

11、为sin a tan ac sin ae = = = =cos a R tan aasina，所以当当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以不正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.若双曲线【答案】4【解析】【分析】x 2 x 2 y 2 -y 2 =1 与 - =1m 3 2有相同的焦点，则实数 m =_.结合双曲线的几何性质，得到

12、m +1 =3 +2，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线x 2 x 2 y 2-y 2 =1 与 - =1 有相同的焦点， m 3 2可得m +1 =3 +2 ，解得 m =4 .故答案为： 4 .【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线 的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知an是各项均为正的等比数列，Sn为其前 n 项和，若a =61，a +2 a =6 2 3，则公比 q =_， S =_.4【答案】【解析】【分析】(1).1 45(2).2 4根据等比数列的通项公式，得到2 q 2 +q -1 =0 ，求得 q

13、 =12再由等比数列的前 n 项和公式，求得 S ，得到答案. 4【详解】由题意，在数列an是各项均为正的等比数列，因为a =6 ， a +2 a =6 ，可得 a q +2 a q 1 2 3 1 12=6 q +12 q2=6，即2 q2+q -1 =0 ，解得 q =12或q =-1（舍去），4521 -又由等比数列的前 n 项和公式，可得S =416 1-( ) 4 =1 42.1 45故答案为： ， .2 4【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前 n 项和公式的应用，其中解 答中熟练等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与 运算能

14、力，属于基础题.11.能说明“直线x -y +m =0 与圆 x 2 +y 2 +4 x -2 y =0有两个不同的交点”是真命题的一个 m 的值为_. 【答案】0【解析】【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到-3+m 12 +( -1)2 5，求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆x 2 +y 2 +4 x -2 y =0的圆心坐标为 (-2,1) ，半径为 r =5 ，若直线x -y +m =0与圆x 2 +y 2 +4 x -2 y =0有两个不同的交点，则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即-3+m 12 +( -1)2 5，解得3 - 10 m 0)

15、 ，曲线 y = f (x)与直线 y =3相交，若存在相邻两个交点间的距离为【答案】2 或 10 【解析】【分析】p6，则 的所有可能值为_令 2sin(wx +j)=3 ，解得wx +j=2kp+p 2p, k Z 或 wx +j=2k p+3 3, k Z，p根据存在相邻两个交点间的距离为 ，得到6x -x =2 1p p 5p p = 或 x -x = =3 w 6 3w 6，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数f ( x) =2sin(wx +j)(w0) ，曲线 y = f (x)与直线 y =3相交，令 2sin(wx +j)= 33，即 sin(wx +j)= ，2解得wx

16、 +j=2k p+p3, k Z 或 wx +j=2k p+2 p3, k Z，p由题意存在相邻两个交点间的距离为 ，结合正弦函数的图象与性质，6可得2p p p p - +2 kp=w( x -x ), k Z ，令 k =0 ，可得 x -x = =3 3 3w 6，解得w =2.2 12 1或7p 2p- +2 k3 35p pp=w( x -x ), k Z ，令 k =0 ，可得 x -x = = ，解得 w =10 .3 w 6故答案为： 2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键

17、，着重考查了推理能力与计算 鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为 0C的物体放在室温恒定为30C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第 n 次测量得到的物体温度记为 t ，已知nt =0C 1.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一 个合理模型为_：（填写模型对应的序号）tn +1-t =nkt -30n；t -t =k (30-t n +1 nn)；t =k (30-t n +1n).在上述模型下，设物体温度从 5C升到10C所需时间为 a min ，从 10C上升到 15C所需时间为 b min ，从 15C

18、上升到 20C 所需时间为 C min ，那么 _（用“ ”，“ =”或“ 【解析】【分析】由 温 度 的 变 化 与 实 验 室 和 物 体 温 度 差 成 正 比 （ 比 例 系 数 为k）， 即 可 得 到tn +1-t =k (30-t nn)，再根据函数模型，分别求得k的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第 n 次测量得到的物体温度记为 t ，则两次的体温变化为nt -tn +1 n，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ），所以tn +1-t =k (30-t nn)，当物体温度从 5C升到10C所需时间为 a min ，可得10 -5 =k (

19、30-5)，可得k =5 1=25 5，当物体温度从 10C上升到 15C所需时间为 b min，可得15 -10 =k (30-10)，可得 k =14，当物体温度从 15C上升到 20C 所需时间为 c min ，可得20 -15 =k (30-15)，可得k =13，=可是a =1 1 1m, b = m, c = m, m 0 5 4 3，又由abb- =caa -baa2=1 1 1 1 1 1 1 m m -( m ) 2 m 2 - m 2 -5 3 4 15 16 15 16 1 1 1 1m m m 24 3 12 120，即abbbb 与 的大小关系是 .ccc故答案为：

20、，【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，属于中档试题.三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15.在DABC中，已知 c sin A + 3a cos C =0 .（1） 求 C 的大小；（2） 若 b =2 ， c =2 3 ，求 DABC 的面积.【答案】（1）C =2 p3（2） 3【解析】【分析】（1）由正弦定理可得 sin C sin A + 3 cos C sin A =0 ，求得 sin C + 3 cos C

21、 =0 ，即可求 解 C 的大小；（2）由正弦定理，可得sin B =12，得到B =p p ，进而得到 A =p-B-C =6 6，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因c sin A + 3a cos C =0 ，由正弦定理可得sin C sin A + 3 cos C sin A =0 ，又因为A (0,p)，所以sin A 0，所以 sin C + 3 cos C =0 ，即 tan C =- 3，又因为0 C p，所以 C =2 p3.（2）由正弦定理，可得sin B =b sin Cc=32 22 3=12，又因为0 B 1)的离心率是22.（1）求椭圆 C 的方程；（2

22、）已知 F ，F 分别是椭圆1 2C的左、右焦点，过 F 作斜率为2k的直线l，交椭圆C 于 A, B两点，直线 F A ， F B1 1围.分别交 y 轴于不同的两点 M , N .如果 MF N1为锐角，求k 的取值范x 2【答案】（1） +y2【解析】【分析】2 7 2 2 7 =1 （2） -,- - ,0 0, , + （1）由题意，列出方程组，求得 a2=2 ，即可得到椭圆的方程；x 2N 0, 212)() ()()=（2）设直线 l 的方程为y =k (x-1)，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量x 2【详解】（1）由题意，椭圆 C : +ya 22=1(a 1)2

23、 的离心率是 ，2可得 c 2=a 2a 2 =1 a 2 =b 2 +c 2解得 a2 =2 ，所以椭圆 C 的方程为 +y 2 =1 .2（2）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为y =k (x-1)，直线 l 与椭圆 C 的交点为A (x, y )，B(x, y1 1 2 2).y =k ( x -1) 由 x2+y 2 =1 2得(2k2+1)x2-4k2 x +2 k 2 -2 =0.由已知，判别式 D 0恒成立，且x + x =1 24 k 2 2 k 2 + 1， x x =1 22k 2 -2 2k 2 +1.直线F A1的方程为yy = 1 ( x +1) x

24、 +11，令x =0，则 yM 0, 1x +11. y 同理可得 x +12.所以uuuur uuuurF M FN =1 + 1 1(y y k 2 (x-1)(x-1) 1 2 =1 +x +1 x +1 x +1 x +1 1 2 1 2=1 +k2x x -(x+x )+1(1+k2)xx+(1-k2)(x+x)+1+k 1 2 1 2 1 2 1 2x x +x +x +1 x x +x +x +11 2 1 2 1 2 1 22将代入并化简，得uuuur uuuur F M FN =1 17k 2 -1 8k 2 -1.依题意，角MF N1为锐角，所以uuuur uuuur F M FN 01 1uuuur uuuur，即 F M FN =1 17k 2 -1 8k 2 -10 .解得k 2 1 1或 k 2 7 8. 7 4 4 7. 7 2 2 7 综上，直线 l 的斜