非正弦周期函数的有效值和平均功率

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1、2.非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率重点重点3.非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1.周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数第十三章第十三章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路下 页4.滤波器电路滤波器电路 在实际应用中不一定都是正弦电路，经常会遇到非正在实际应用中不一定都是正弦电路，经常会遇到非正弦周期的电源和信号。在电子技术、自动控制、计算机和弦周期的电源和信号。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。波形。非正弦周期交流信号的特点非正弦

2、周期交流信号的特点(1)不是正弦波不是正弦波(2)按周期规律变化按周期规律变化)()(kTtftf 如果电路存在非线性元件，即使电源或信号源是正弦如果电路存在非线性元件，即使电源或信号源是正弦信号，电路中也将产生非正弦的周期电压和电流。信号，电路中也将产生非正弦的周期电压和电流。13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号下 页上 页例例2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波例例1半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号下 页上 页脉冲电路中的脉冲信号脉冲电路中的脉冲信号 Tt例例3下 页上 页基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2 2倍频）

3、倍频）高次谐波高次谐波)cos()(110 kkkmtkAAtf )cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1nnmtnA 周期函数展开成付里叶级数：周期函数展开成付里叶级数：13.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数直流分量直流分量下 页上 页)sin()cos()(1110tkbtkaatfkkk 也可表示成：也可表示成：)arctan(2200kkkkkkmabbaAaA 系数之间的关系为系数之间的关系为)cos()(110 kkkmtkAAtf kkmkkkmkAbAaAa sincos00 下 页上 页 TdttfTaA000)(1求

4、出求出A0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数 f(t)的展开式。的展开式。系数的计算系数的计算 2011)()sin()(1tdtktfbk 2011)()cos()(1tdtktfak下 页上 页利用函数的对称性可简化系数的确定利用函数的对称性可简化系数的确定（1）偶函数）偶函数 T/2t T/2f(t)0 )()(kbtftf T/2t T/2f(t)0 )()(katftf（2）奇函数）奇函数（3）奇谐波函数）奇谐波函数0 )2()(22 kkbaTtftftf(t)T/2T下 页上 页周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例解解图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周

5、期内的表达式为：的表达式为：TtTTtItiS2 020 )(m21)(102/00mTTmSIdtITdttiTI 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量：20)()sin()(1tdtktibSkK为偶数为偶数K为奇数为奇数 kItkkImm20)cos(0tT/2TSimI下 页上 页0)sin(2)()cos()(2020 tkkItdtktiamSkSi的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 下 页上 页t基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解tt)5sin513sin3

6、1(sin22 tttIIimmS 下 页上 页)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波直流分量直流分量+基波基波直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波下 页上 页5sin513sin31sin22 tttIIimmS tT/2TSimI1Si3Si5Si0SI下 页上 页5Si等效电源等效电源3Si1Si0SI矩形波的频谱图矩形波的频谱图5sin513sin31sin22 tttIIimmS tT/2TSimIAkmo 3 5 7 为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含哪为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含哪些频率分

7、量以及各分量所占的比重，可用长度与各次谐些频率分量以及各分量所占的比重，可用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，成为幅度频谱（线频谱）。次排列起来，成为幅度频谱（线频谱）。下 页上 页 TTtdtktdtk000)()cos(,0)()sin(1.三角函数的性质三角函数的性质（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。K为整数为整数（2）正弦、余弦信号的平方在一个周期内的积分为）正弦、余弦信号的平方在一个周期内的积分为 。)()(cos ,)()(sin0202tdtktdtkT

8、T13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率下 页上 页2)(cos ,2)(sin0202TdttkTdttkTT （3）三角函数的正交性三角函数的正交性 Ttdtptk00)()sin()cos(pk Ttdtptk00)()cos()cos(0)()sin()sin(0 tdtptkT 下 页上 页2.非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值)cos()(10kkmktkIIti 若若则有效值则有效值:TdttiTI02)(1dttkIITTkkmk 0120)cos(1 积分项中包含积分项中包含:20I2)cos(kmktkI )cos(20kmktkII 下 页上

9、 页)cos()cos(2pkmpmktptkII 1220 kkIII利用三角函数的性质：利用三角函数的性质：200201IdtITT 2220221)(cos1kmkkTmkIIdttkIT 0)cos(2100 dttkIITkTmk 0)cos()cos(210 dttptkIITpkmpTmk 222120 III 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。量有效值平方和的平方根。下 页上 页)(pk 3.非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值 TavdttiTI0)(1则其平均值为：则其平均值为：)cos()(10kk

10、mktkIIti 若若 400)cos(4)cos(1TmTmavdttTIdttITI 下 页上 页IItTImTm898.0637.0)sin(440 4.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率 TdtiuTP01)cos()(10ukkmktkUUtu )cos()(10kikmktkIIti 利用三角函数的性质，得：利用三角函数的性质，得：)(cos100ikukkkkkkIUIUP 22211100cos cos IUIUIU 210PPP下 页上 页平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 1.计算步骤计算步骤（2）对各次谐

11、波信号分别应用相量法进行分析计算；对各次谐波信号分别应用相量法进行分析计算；（1）利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干项不利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干项不同频率的谐波信号；同频率的谐波信号；（3）将以上计算结果转换为正弦量；将以上计算结果转换为正弦量；13.4 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路的计算的计算（4）对时域正弦量进行迭加。对时域正弦量进行迭加。（a）对于直流分量作用时）对于直流分量作用时 C 相当于开路、相当于开路、L 相于短路相于短路;（b）在各次谐波频率单独作用下的）在各次谐波频率单独作用下的 XL、XC 不同。不同。注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压

12、相量注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量直接相加是没有意义的。直接相加是没有意义的。下 页上 页2.计算举例计算举例例例1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u,已知：已知：sTAIpFCmHLRm 28.6 1571000 1 20 、解解（1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为：)5sin51 3sin31(sin22 tttIIimmS s.TA,Im286157 代入已知数据：代入已知数据：RLCuSitT/2TSimI下 页上 页直流分量直流分量A5.78215720IIm A 10014.3157221 mmII基波最大值基波最大值AIImm205115

13、 五次谐波最大值五次谐波最大值rad/s101028.614.32266 T 角频率角频率三次谐波最大值三次谐波最大值AIImm 3.333113 A5.780 SI 电流源电流源各频率的谐波分量为：各频率的谐波分量为：A10sin10061 tiS A)103sin(3.3363 tiS A)105sin(2065 tiS 下 页上 页mV57.1105.7820600 SRIU（2）对对各种频率的谐波分量单独计算各种频率的谐波分量单独计算（a）直流分量）直流分量 IS0 作用作用电容断路，电感短路电容断路，电感短路:A5.780 SI（b）基波作用）基波作用AtiS)10sin100(61

14、 k11010001011126C k50)()()()(RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRRIS0U0 k1101036L RLC1u1SimVZIUS 9025000105090210100)(3611 下 页上 页（c）三次谐波作用）三次谐波作用AtiS)103sin(310063 19.895.374)()()3(3333CLCLXXjRjXjXRZ k33.0101000103131126C 19.895.374902103.33)3(633 ZIUSmV 2.179247.12k310103336 L RLC3u3Si下 页上 页（d）五次谐波作用）五次谐波作用A

15、)105sin(2065 tiS 53.893.208)()()5(5555CLCLXXjRjXjXRZ k2.0101000105151126C 53.893.2089021020)5(655 ZIUSk510105536 L mV53.1792166.4 RLC5u5Si下 页上 页（3）各）各谐波分量计算结果化成正弦量并迭加谐波分量计算结果化成正弦量并迭加5310uuuUu mVU57.10 mVU 2.179247.123mVU 90250001mVU 53.1792166.45)90cos(500057.1 t)2.1793cos(47.12 t)53.1795cos(166.4 t

16、 下 页上 页例例2已知已知 u(t)是周期函数，波形如图，是周期函数，波形如图，L=1/2 H，C=125/F，求理想变压器原边电流求理想变压器原边电流 i1(t)及输出电及输出电压压 u2 的有效值。的有效值。2410.5u/Vt/ms12解解sradT/102/23 )cos(1212)(ttu Ai5.18/1210 当当u=12V作用时，电容开路、作用时，电容开路、电感短路，有：电感短路，有：020 u*C1i2i2u2:18 Lu下 页上 页AjjjUI25.1426411 VUU 021211VUnU 02611121VU243.4262 Ati)90cos(35.101 作用时

17、作用时当当)cos(12 tu 410125102163 CXC 1102110233 LXL21U 0212*11I2:18 4j j21I11U 021211I8 4j 4j下 页上 页例例3求求 Uab、i 及功率表的读数。及功率表的读数。VttutVu)303cos(2100cos2220,cos2220021 已知已知解解一次谐波作用时：一次谐波作用时：VUab 0440)1(AjjI 4.1896.63222060440)1(三次谐波作用时：三次谐波作用时：VUab 30100)3(AjjI 1518.133305606030100)3(VUab22.45110044022 Att

18、i)153cos(218.1)4.18cos(296.6 WP92.14524.18cos96.6220 I60 j20 1UWab2U*,20 L 下 页上 页 45cos18.11004.18cos96.6440P6018.16096.622 RP3滤波器滤波器 利用电感和电容元件的感抗和容抗对各次谐波的反应利用电感和电容元件的感抗和容抗对各次谐波的反应不同，组成含有电感和电容的各种不同电路，将其接在输不同，组成含有电感和电容的各种不同电路，将其接在输入和输出之间，让某些所需频率分量顺利通过而抑制某些入和输出之间，让某些所需频率分量顺利通过而抑制某些不需要的频率分量，这种电路为滤波器。不需

19、要的频率分量，这种电路为滤波器。低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。低通低通高通高通下 页上 页图示电路中，激励图示电路中，激励 u1(t)包含包含 1、2 两个频率分量，且两个频率分量，且 1 2，要求响应，要求响应 u2(t)只含有只含有 1 频率电压，如何实现？频率电压，如何实现？可由图示滤波电路实现：可由图示滤波电路实现：CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)2121CL )(13211CCL 并联谐振

20、，相当于开路并联谐振，相当于开路串联谐振，相当于短路串联谐振，相当于短路例例1解解+_u1(t)u2(t)下 页上 页电路如图所示，已知电路如图所示，已知=1000 rad/s，C=1F，R=1，在稳态时，在稳态时，uR(t)中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波电压相同，求：电压相同，求：（1）us(t)的有效值；的有效值；（2）电感）电感 L1和和 L2；（3）电源发出的平均功率。）电源发出的平均功率。VtttuS)2cos(216)cos(21512)(VUS25161512222 :,)(,)(1即即中中不不含含基基波波时时并并联联谐谐振振与与tuCL

21、R 11LC HCL1101000116221 例例2解解CRL1+_+_uR(t)L2us(t)1()2(下 页上 页02122122112 CjLjCjLjLj ARUI1200 ARUI1622 WIUIUP400cos22200 HL312 CRL1+_+_uR(t)L2us(t)2cos(216)cos(21512)(tttuS 下 页上 页例例3L=0.1H，C31 F，其中，其中C1中只有基波电流，中只有基波电流，C3中只有中只有三次谐波电流，求三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。和各支路电流。AttiS)3000cos(210)1000cos(2205 已已知知1i100

22、LC3C2C1200 Si2i3i解解FLC5221091)3(1 0111221 CjLjCjLjCj C1 中只有基波电流，说中只有基波电流，说明明 L 和和 C2 对三次谐波发对三次谐波发生并联谐振。即：生并联谐振。即：C3中只有三次谐波电流，说明中只有三次谐波电流，说明 L、C1、C2 对于基波发生对于基波发生了串联谐振。即：了串联谐振。即：FC511098 下 页上 页Atti 1000cos220)(2 基波基波直流直流三次谐波三次谐波 4823.210930310200100101003)3(3jjI 1167.81093010)3(3)3(1jIIISAtti)113000cos(267.85)(1 Atti)483000cos(223.2)(3 1i100 LC3C2C1200 Si2i3i1i100 Si2iSi1i100 C3200 Si3iFCAttiS 1,)3000cos(210)1000cos(22053 上 页