第6章定量资料的统计描述

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1、第第6章章 定量资料的统计描述定量资料的统计描述学习目标v掌握集中趋势和离散趋势描述的常用统计量；v掌握正态分布的特征及其作用意义；v掌握利用PROC MEANS过程进行资料的统计描述；v掌握利用PROC UNIVARIATE过程进行资料的统计描述。数据的统计特征v在对一组统计数据的分布变化进行深入研究之前，我们首先研究一组数据的特征。为了比较精确地描述一组统计资料的特征，需要使用一些统计指标来描述它。一组数据的统计特征通常包括以下四个方面：v集中趋势 v离散趋势 v偏度 v峰度 集中趋势v集中趋势，也称作中心位置。即表示一组数据的中心位置的数据点是在什么地方，也就是数据集中分布的位置。v一组

2、数据的集中趋势通常用平均数、中位数和众数等来表示。这些统计量均称为平均指标。平均指标的特点是将一组数据中各个数据之间的差异抽象化，用一个指标来代表各个数据的一般水平，它反映了一组数据中各个数据的代表水平、中心位置或集中趋势。均数 v是算术均数的简称。常用表示样本均数，表示总体均数。均数用于反映一组同质观察值的平均水平，适用于正态或近似正态分布的数值变量资料。其计算方法有：v直接法 v加权法 均数（直接法）v用于样本含量较少时，其公式为：v式中，希腊字母（读作sigma）表示求和；X1，X2，Xn为各观察值；n为样本含量，即观察值的个数。NxNXXXXNiiN121均数（加权法）v用于频数表资料

3、或样本中相同观察值较多时，其公式为：v式中，X1，X2，Xn与f1，f2，fk分别为相同观察值与其对应的频数(或频数表资料中各组段的组中值和相应组段的频数)。几何均数 v适用于对数正态分布，即数据经过对数变换后呈正态分布的资料；等比级数资料，即观察值之间呈倍数或近似倍数变化的资料。如抗体滴度、平均效价等。其计算方法有：v直接法 v加权法 几何均数（直接法）v或几何均数（加权法）v注意：计算几何均数时观察值中不能有0，因0不能取对数；一组观察值中不能同时有正值和负值。中位数 v一组由小到大按顺序排列的观察值中位次居中的数值。中位数可用于描述：非正态分布资料（对数正态分布除外）；频数分布的一端或两

4、端无确切数据的资料；以及总体分布不清楚的资料。在全部观察中，小于和大于中位数的观察值个数相等。其计算方法也包括v直接法v频数表法百分位数 v用Px表示。一个百分位数Px将一组观察值分为两部分，理论上有X%的观察值比它小，有（100-X）%的观察值比它大，是一种位置指标。中位数是一个特殊的百分位数，即M=P50。百分位数的计算步骤与中位数类似，首先要确定Px所在的组段。先计算n*x%，累计频数中大于n*x%的最小值所在的组段就是Px所在组段。离散趋势描述 v计量资料的频数分布有集中趋势和离散趋势两个主要特征，仅仅用集中趋势来描述数据的分布特征是不够的，只有把两者结合起来，才能全面地认识事物。我们

5、经常碰到平均数相同的两组数据其离散程度可以是不同的。一组数据的分布可能比较集中，差异较小，则平均数的代表性较好。另一组数据可能比较分散，变异较大，则平均数的代表性就较差。描述一组计量资料离散趋势的常用指标有极差、四分位数间距、方差、标准差、标准误和变异系数等，其中方差和标准差最常用。极差v 极差又称全距，是指一组数据的观察值中的最大值和最小值之差。用公式表示为：v 极差最大观察值最小观察值v 极差的计算简单，但是它只考虑了数据中的最大值和最小值，而忽略了全部观察值之间的差异。两组数据的最大值和最小值可能相同，于是它们的极差相等，但是离散的程度可能相当不一致。由此可见，极差往往不能反映一组数据的

6、实际离散程度，极差所反映的仅仅是一组数据的最大的离散值。平均差v平均差是指一组数据中的各数据对平均数的离差绝对值的平均数。一组数据中的各数据对平均数的离差有正有负，其和为零，因此平均差必须用离差的绝对值来计算。平均差愈大，表示数据之间的变异程度愈大，反之则变异程度愈小。计算公式为：nxx方差v平均差用绝对值来进行度量，虽然避免了正负离差的相互抵消，但不便于运算。一般情况下，用方差来度量一组数据的离散性。其计算公式为：xxn2标准差v为了使统计量的单位同观察值的单位相一致，通常将方差开平方，即得到标准差，标准差也称为均方差。其计算公式为：xxn2方差和标准差v由定义可知，方差和标准差所反映的是一

7、组数据对其均值为代表的中心的某种偏离程度。从定义可知，标准差（或方差）较小的分布一定是比较集中在均值附近的，反之则是比较分散的。标准差的缺点是计算起来比较麻烦。标准差也是根据全部数据来计算的，但是它也会受到极端值的影响。标准差的计算要比平均差方便，因此，标准差是描述数据离散趋势最常用的统计量 方差和标准差v当总体中的个体数很大时，我们希望通过抽样，用样本标准差来估计总体的标准差时，就需要计算样本的方差和标准差。仅需要对总体方差和标准差的计算公式作一些调整。Sxxn22112nxxS变异系数v标准差是表示所有数据离散性大小的一个绝对值，其度量单位与原数据的度量单位相同。因此，标准差只能度量一组数

8、据对其均值的偏离程度。但若要比较两组数据的离散程度，用两个标准差直接进行比较有时就显得不合适了。例如，如果一个总体的标准差是10，均值是100。如果另有一个总体的标准差是20，均值是2000。如果直接用标准差来进行比较，后一总体的标准差是前一总体标准差的2倍，似乎前一总体的分布集中而后一总体的分布分散。但前一总体用标准差来衡量的各数据的差异量是其均值的1/10；后一总体用标准差来衡量的各数据差异是其均值的1/100，是微不足道的。变异系数v可见用标准差与均值的比值大小来衡量不同总体数据的分散程度更合理。统计上把这一比例称为变异系数。变异系数是一个表示标准差相对于平均数的大小的相对量，即标准差相

9、对于均值的百分比，其计算公式如下：v离散系数 1 0 0%正态分布 v在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布。正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。正态分布是概率论中最重要的一种分布，一般来讲，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正态分布。如测量的误差；人的身高、体重；农作物的收获量等都近似服从正态分布。正态分布v正态分布是可以用函数形式来表述的。若随机变量的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）v则称 服从正态分布，其中 、是两个不确定常数，是正态分布的参数，描述正态分布的集中位置，而 用来描述正态分布的离散程度，不同的和对应不同的正

10、态分布。v正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。)2()(2221)(XeXfX正态分布的特征v服从正态分布的变量的频数分布由 、完全决定。v是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以 为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于 。v 描述正态分布资料数据分布的离散程度，越大，数据分布越分散，越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，越大，曲线越扁平，反之，越小，曲线越瘦高。x标准正态分布v 标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的 v标准化变换：，此变换有特性：若 服从正态分布，则 就服从标准正态分布，故

11、该变换被称为标准化变换。012XuXu几个重要的面积比例 v 轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间内的面积为68.27%，横轴区间 内的面积为90.00%，横轴区间内 的面积为95.00%，横轴区间 内的面积为99.00%。X64.196.158.2正态分布的应用v某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。正态分布的研究有着广泛的应用价值：正态分布的应用v估计频数分布

12、 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式(6-16)估计任意取值范围内的频数比例。v制定参考值范围：适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。但是对于非正态分布（偏态分布）的指标，需要采用百分位数法制定其参考值范围。正态分布的应用v质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以 作为上、下警戒值，以作为 上、下控制值。这样设置的依据就是因为一般情况下测量（或实验）误差服从正态分布。v正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的

13、统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。SX2SX3统计描述分析 vSAS系统中进行定量资料的统计描述最常用的两个过程是PROC MEANS过程和PROC UNIVARIATE过程。vMEANS过程提供单个或多个变量的简单描述。和UNIVARIATE过程相比，它更倾向于描述已经明确样本所在总体符合正态分布的变量，因此它不提供百分位数，但可以提供95%可信区间。同时在多个变量输出时，它的输出格式紧凑，便于阅读。统计描述分析vUNIVARIATE过程对数值变量给出比较详细的变量分布的描述，其中包括：变量的极端值、常用的百分位数（包括四分位数和中位数）、

14、用几个散点图描绘变量的分布、频数表和正态分布的检验等。本章小节 v本章介绍了定量资料的统计特征描述，主要包括四个方面：集中趋势、离散趋势、偏度和峰度。本章重点讲解了集中趋势和离散趋势的描述指标。一组数据的集中趋势通常用平均数、中位数和众数等来表示。描述一组计量资料离散趋势的常用指标有极差、四分位数间距、方差、标准差、标准误和变异系数等，其中方差和标准差最常用。本章分别详细介绍了各种统计量的意义以及计算方法。我们应在学习的过程中掌握这些统计量并学会计算。本章小节v本章重点介绍了正态分布。正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布，而且它是很多统计理论的基础，在统计学领域有着广泛的应用。本章讲解了正态分布的定义、特征、正态曲线下面积分布、标准正态分布的定义以及意义，最后介绍正态分布的广泛应用价值，尤其是其在制定参考值方面的作用。本章小节v最后，阐述了SAS系统中进行定量资料的统计描述最常用的两个过程：PROC MEANS过程和PROC UNIVARIATE过程，并以实例演示了如何利用这两个过程进行定量资料的统计描述。这也是我们学习的重中之重。我们需要通过实例掌握这两个过程，并学会灵活运用。