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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2(-1), r3(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r33. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (2); 解 (下一步: r22+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r12. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2(-4), r3(
2、-3) , r4(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1r2, r2(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ) . 2. 设, 求A. 解 是初等矩阵E(1, 2), 其逆矩阵就是其本身. 是初等矩阵E(1, 2(1), 其逆矩阵是 E(1, 2(-1) . . 3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1); 解 故逆矩阵为. (2). 解 故逆矩阵为. 4. (1)设
3、, , 求X使AX=B; 解 因为 , 所以 . (2)设, , 求X使XA=B. 解 考虑ATXT=BT. 因为 , 所以 , 从而 . 5. 设, AX =2X+A, 求X. 解 原方程化为(A-2E)X =A. 因为 , 所以 . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2阶子式, 是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问A, B的秩的关系怎样? 解 R(A)R(B). 这是因为B的非零子式必是A的非零
4、子式, 故A的秩不会小于B的秩. 8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1); 解 (下一步: r1r2. ) (下一步: r2-3r1, r3-r1. ) (下一步: r3-r2. ) , 矩阵的, 是一个最高阶非零子式. (2); 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) (下一步: r3-3r2. ) , 矩阵的秩是2, 是一个最
5、高阶非零子式. (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) (下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) (下一步: r216r4, r3-16r2. ) , 矩阵的秩为3, 是一个最高阶非零子式. 10. 设A、B都是mn矩阵, 证明AB的充分必要条件是R(A)=R(B). 证明 根据定理3, 必要性是成立的. 充分性. 设R(A)=R(B), 则A与B的标准形是相同的. 设A与B的标准形为D, 则有AD, DB.由等价关系的传递性, 有AB. 11. 设, 问k为何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1
6、)当k=1时, R(A)=1; (2)当k=-2且k1时, R(A)=2; (3)当k1且k-2时, R(A)=3. 12. 求解下列齐次线性方程组: (1); 解对系数矩阵A进行初等行变换, 有 A=, 于是 , 故方程组的解为 (k为任意常数). (2); 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有 A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). (3); 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有 A=, 于是 , 故方程组的解为 . (4). 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有 A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). 13. 求解下列非齐次线性方程组: (
7、1); 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程组无解. (2); 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k为任意常数). (3); 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数). (4). 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数). 14. 写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得 , 与此等价地可以写成 , 或 , 或 , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组. 15. l取何值时, 非齐次线性方程组. (1)有
8、唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解 . (1)要使方程组有唯一解, 必须R(A)=3. 因此当l1且l-2时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解, 必须R(A)R(B), 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)20. 因此l=-2时, 方程组无解. (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R(A)=R(B)3, 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0. 因此当l=1时, 方程组有无穷多个解. 16. 非齐次线性方程组当l取何值时有解？并求出它的解. 解. 要使方程组有解, 必须(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 当l=1时, ,
9、方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 当l=-2时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 17. 设. 问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解 B= . 要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须 (1-l)(10-l)0,所以当l1且l10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R(A)R(B), 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)0, 所以当l=10时, 方程组无解. 要使方程组有无穷多解, 必须R(A)=R(B)3, 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以当l
10、=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为 B,方程组的解为 ,或 (k1, k2为任意常数). 18. 证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 证明 必要性. 由R(A)=1知A的标准形为 , 即存在可逆矩阵P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, , 0)Q-1, 则a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因为a与bT是都是非零向量, 所以A是非零矩阵, 从而R(A)1. 因为 1R(A)=R(abT)minR(a), R(bT)=min1, 1=1, 所以R(A)=1. 19. 设A为mn矩阵, 证明 (1)方
11、程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m; 证明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩阵(A, Em)的最高阶非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=n. 证明 注意, 方程YA=En有解的充分必要条件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要条件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=R(AT)=n. 20. 设A为mn矩阵, 证明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 则X=Y. 证明 由AX=AY, 得A(X-Y)=O. 因为R(A)=n, 由定理9, 方程A(X-Y)=O只有零解, 即X-Y=O, 也就是X=Y.
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