第十章 曲线曲面积分

《第十章 曲线曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十章 曲线曲面积分（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十章 曲线曲面积分101对弧长的曲线积分一、选择题1.设曲线弧段Ab为，则曲线积分有关系(A) J f (x, y )d s = -f f (x, y )d s ；( BAbBa(C )J f ( X, y) d击 J f ( x, y=ds ； 0Ab口 ba(D) Jf(x,y)ds=J f(-x,-y)dsAbBa).)Jf ( x, y ) d=s JA B口 B Af ( x, y )； ds答 (B) .(0 t 1),其线密度为32.设有物质曲线C : x = t, y =空z =2的质量M =().(A) J 1 八1 + t2 + 14dt ；0(C) J 1 1 + t2

2、 + 14dt ；0(b )J 112 ：i +12 +1 dt;0(D) J 1 gl + t2 + 14dt .0不相等的积分是().OM(A ) J 1 e 2x、：2d x ；0(C) J 2erdr ；0(B )J 1 /2 y d y ；0(D )J 1 e小 2d r0答(D)3.设OM是从O(0,0)到M (1, 1)的直线段,则与曲线积分I = Je x 2 + y2 d s4 .设L是从A(0, 0)到B(4,3)的直线段，则曲线积分J (x - y)ds =().L(3(A)(C)(B)(D)(3 ) x - x 4丿5. 设L为抛物线y = x2上从点(0,0 )到点(

3、1 , 1)的一段弧，则曲线积分J 、： y ds = ()L(B) J 1 节 y C + y d y ；(A ) J 1 呼1 + 4 x2 d x ；0(C) J 1 x、；1+ 4 x2 d x ；06. 设L是从A(1,0)到B (- 1, 2)的直线段，则曲线积分J (x + y )d s =().(A) 2 ；(B) 2；(C) S ；(D) 2*2 答(D).填空题1.设L是圆周x2 + y2 = 1,则I =由x3ds与I =亦x5ds的大小关系是1L2L答: I =I.122. 设L是连接A(1,0)与B(0,1)两点的直线段，则J (x + y)ds =._L答：迓3.

4、设 L: x = a cos t, y = a sin t (0 t 2兀),贝U J (x2 + y2)nds =L-答4.2 兀 a 2 a +1 .设 L: x = a cos t, y = a sin t (0 t 2兀),贝U J (x2 - y2)ds =0.答5.设L是圆周x2 + y2 = 1,则I =由x2ds =LL答：兀.6. 设r: x = et cos t,y = etsin t,z = et ，上相应于t从0变到2的这段弧,则曲线积分 J (x2 - y 2)d s = .L _ 答：(1 - e-2).27. 设L为曲线y 2 = 4x上从点A(0, 0)到点B(

5、1, 2)的弧段，则 J y 1 + x d s =.L答： 3 .、解答题(1)1. 计算下列对弧长的曲线积分：xds其中为由直线y = x与抛物线y = x2所围区域的整个边界.L答：丄(5、：5 + 6弋2 - 1) 12(2)e x2 + y2 ds其中L为圆周x2 + y2 = a2，直线y = x及x轴在第一象限内L所围成的扇形的整个边界.-2.答：J x2yzds，其中r为折线ABC D，这里A, B, C, D依次为点(0,0,0)、r(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).L答： 32a 3(5) (x2L答：9.(4) y2ds 其中 L 为摆线一拱 x a(t s

6、int),y a(1 cos t)(0 t 2 ).4 25 3 x a (cos t tsin t) y2)ds其中L为曲线(0 t 2 )y a (sint tcos t)答： 2 2a3(1 2 2 ).102 对坐标的曲线积分1.设AB为由A (0,)到8( ,0)的直线段，则 sinydx AB(D) 1(A ) 2;(B) 1 ;(C) 0 ;2. 设c表示椭圆竺芒a 2 b2(A) ab ;(B) 0;3. 设C为由A (1,1到B (2,3)的直线段，则,其方向为逆时针,则(C) ab 2;sin xd y (答(0 y2)dx(xC(D) 1 答 (B) ).)一、选择题(x

7、 3y)dx (y 2x)dy ()C(A)2 (x 2 x) (2x 3 x)dx ；1(B)2 (x12x1) (2x 1 3 x)dx(C)2 (7x13) 2(5 x 1)dx ;(D)4.设曲线C的方程为x cos t, y2 (7x1 sint3)(0 t(5x1)dx 答(C) x2 ydyy 2 xd x()(A)2 cos t：sint0sint； cos t)dt ；(B)2 (cos2 t sin2 t)dt0(C)2 cos fsint0dt2 丫 sint2 sint0dtcos t；(D)2 ：cos t2 dt 答(D) 0)5.设f(u)连续可导,L为以原点为心

8、的单位圆，则必有(A) f(x2 y2)(xdx ydy) 0 ； (B)f(x2y2)(xdy ydx) 0(C)由 f (x2 + y2)(dx + ydy) = 0 ； (D)由 f (x2 + y2)(xdx + dy) = 0 答(A).LL6.设c是从O (0,0沿折线y = 1 -I x - 1丨到A (2, 0)到的折线段,则答(C) (A) 0 ;(B) -1;(C) -2 ;(D) 2 .二、填空题1. L为xoy平面内直线x = a上的一段，则J P(x,y)dx =L答：0.2. 设 L 为 y = x2 上从 O (0, 0)到 A(2, 4)的一段弧，则 J (x2

9、 - y 2)dx = L答：56153.设L为y = x2上从O (0, 0)到A(2, 4)的一段弧，则J ( x 2 - y 2 )d y =L答：4034. L为圆弧y = 4x - x2上从原点到A(2, 2)的一段弧，则J xydy =L答：5设L为圆周(x a)2 + y2 = a2 (a0)及x轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)，则J xy d y = L答：兀a3.26.设由(x 2y)dx + (2x + 3y)dy = 9 ,其中L为xoy平面上简单闭曲线，方L向为逆时针.则L所围成的平面区域D的面积等于答：三、解答题1.计算 J (x + y)dx

10、 + (y x)dy ,其中 L 为:(1) 抛物线y = x2上从(1,1)到(4, 2)的一段弧；(2) 从点(1,1)到点(4, 2) 的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线； 曲线X = 212 + t + 1, y = 12 + 1上从点(1,1)到点(4, 2)的一段弧.答案：34；3(2) 11；32 14；(4).32.计算J ydx + xdy其中L为圆周 x=Rcost,y= Rsint 上对应t从0到-的 L2 一段弧.答： 0.3. 计算由(X + y)d X (X y)d y，其中l为圆周x 2 + y 2 = a

11、2(方向按逆时针). lx设L是圆周x2 + y2 = a2,方向为负向， + y2答： 2- .4. 计算 J xdx + ydy + (x + y - 1)dz 其中 r 为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直r线段.答： 13.5. 计算 J (x2 - 2xy )dx + (y2 - 2xy )dy ,其中 L 是 y = x2 上从点(-1,1)到点L(1,1)的一段弧.答：141510.3 格林公式一、选择题1. 设C是圆周x 2 + y 2 = R 2,方向为逆时针方向，则舟 -x2ydx + xy 2dy 用格C林公式计算可化为().(A) J 2 d0 J R r3dr

12、;(B) J 2 d0 J R r2dr ；0 0 0 0(C) J 2-d0 J R -4r3sin0cos 0dr ； (D) J 2-d0 J RR2rdr .答(A).00 0 0则J (X3 x2 y )d x + (xy2 y 3)d y = ()L(A)2兀 a3 ；(B)兀 a4；(C)；3兀(D) a24.答 (D) .3.设 l 是从 O (0,0 沿折线 y = 2 - I x - 2 | 到 A (4, 0)到的折线段,则J x d y y d x =()C(A) 8 ;(B) 8 ;(C) 4;(D) 4 .4. 设 P(x,y),Q(x,y) 在单连通区域 D 内具

13、有一阶连续偏导数,则 J Pdx + Qdy在D内与路径无关的充分必要条件是在D内恒有(L答 (B) .).d Q d P(A)+= 0 ；d xd yd Pd Q(C) = 0 ；d x d yd Qd P(B) = 0 ；d xd yd P d Q(D)+= 0 d xd y答 (B) .5.设L为一条不过原点，不含原点在内的简单闭曲线,则由 xdy - ydx =().L(A ) 4兀；(B)兀；(C) 2 兀；(D) 0 .答 (D) .6.设l为一条包含原点在内的简单闭曲线，则I =由xdy ydx( ).(A )因为些=空.,所以i = 0 ;(B)因为些，型不连续，所以I不存在；

14、d xd yd x d y(D)因为墜工竺,所以沿不同的L , I的值不同.答(C). d xd y(C) 2 兀；7.表达式P(x, y)dx - Q(x, y)dy为某函数U (x, y)的全微分的充分心要条件 是().d P d Q(A)=；d xd yd Pd Q(C)=-； d xd yd P d Q(B)=；d yd xd Pd Q(D)=-d yd x答 (D) .8.已知(x + ay )dx + ydy为某函数U (x, y)的全微分，则a = ()(x + y )2(A) 0 ；(B) 2；(C) -1 ；(D) 1.答(B).9.设L是从点A(1,1)到点B(2, 3)的

15、直线段，贝叮 (x + 3 y )d x + (y + 3 x )d y =().L(A) f 2(x + 3)dx + f 3(y + 6)dy ；11(B)f 2(x + 6x) + (2 x + 3x)dx ；1(C) f 2(3x + 1)dx + f 3(y + 3 - )dy ；(D) f 2(3x - 1) + (5x + 1)dx 1 1 2 1答(A) 10*. 设 f (x) 连续可导,且 f (0) = 1 ,曲线积分冗 冗I = f (4,3)yf (x) tan x d x - f (x )d y 与路径无关，则 f (x) = ()( 0 ,0 )(A ) 1 +

16、cos x ;(B) 1 - cos x ；(C) cos x ；(D) sin x .答(C).二、填空题1. 设区域D的边界为L，方向为正向，D的面积为b 则由 x d y y d x =L答: 2b .2.设f (x, y)在D : x2 + y 2 1上具有二阶连续偏导数，L是D的边界正向,4则舟 f (x, y )d yLy-3 y + f (x, y )d x =x答：6 n .3. 设L是圆周x2 + y2 = 9 ,方向为逆时针,(2 xy y )d x + (x2 4 x )d y = .L答: -27 n .4. 设L为闭曲线I x 1+ I y 1= 2方向为逆时针,a,

17、b为常数,则由莓d厂by ；x =.l x + y I答: 4( a + b ) .5. 设 ABC DA 为以点 A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0, -1) 为顶点的正方形逆时 针方向一周，则舟,d x+d yi =.l|x|+|y I答: 0 .6. 设L为圆周x2 + y2 = 1上从A(1, 0)到B(0,1)再到C( 1, 0)的曲线段，则ey2 dy =答: 0 .7. j (2,2)2xydx + (x2 3)dy = .(0,0)答: 2 .8. 设L为直线y = x从O(0, 0)到A(2, 2)的一段，贝Ij ey2dx + 2xye y2dy =.

18、L答: 2e 4.9*.设L为抛物线上一段弧，试将积分j P (x, y )dx + Q (x, y )dy 化为对弧长 L的曲线积分，其中P(x, y), Q (x, y)在L上连续.答：j p2xe ds.l 1 + 4 x210*.设f (x)连续可导，且f (0) = 0,曲线积分j f (x) exsin ydx f (x)cos ydy 与路径无关，则 f (x) = .L答.ex 一 e x2三、解答题1. 计算由ydx xdy，其中L为圆周(x - 1)2 + y2 = 2的正向.L 2(x2 + y2)答：一兀.2. 计算由(2x - y + 4)dx + (5y + 6)y

19、，其中L是顶点分别为(0, 0)、L(3,0) 和(3,2) 的三角形正向边界.答： 12 .3. 计 算 j (2x y3y2cos x) chb(2s i:n2x32y,)其中 L 为抛物线L2x = n y2上由点(0, 0)至U ,1的一段弧.I 2丿答:“ 2 .44. 计算 J (x2 - y )d x - (x + sin 2 y )d y ，其中 L 是圆周 y = 2 x - X 上由L(0, 0到) (1,1)的一段弧.7 sin 2答:-+.645. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: J (2,3) (x + y )dx + (x - y )d y .(1,1)

20、答：5.2(2) J (2,1) (2 xy 一 y4 + 3)d x + (x2 一 4 xy3 )dy .(1,0 )答: 5.6. 验证下列p (x, y )dx + Q (x, y )dy在整个xoy平面内是某函数u (x, y)的全 微分，并求函数u (x, y).(1) (x + 2 y )d x + (2 x + y )d y (2) 2xydx + x2dy (3) (2 x cos y + y2 cos x )d x + (2 y sin x - x2 sin y )d y 答：(1)+ 2 xy +；(2) x2 y ； x2 cos y + y2 sin x 227. 用

21、格林公式计算J (x -x2y)dx + (xy2 - y3 + 2)dy，其中 L 是圆周Ly Ux - x2 上由 A(2, 0)到 O(0, 0)的一段弧.答：彳兀2 .48. 用格林公式计算J (2xy - y4 + 3)dx + (x2 + x - 4xy 3)dy，其中L是圆周Ly = V1 - x2 上由 A(1,0)到 B(1,0)的一段弧.答:-6.2104 对面积的曲面积分、选择题1.设工是xoy平面上的一个有界闭区域D ,则曲面积分JJ f (x, y, z)dS与 xyz重积分JJ f (x, y )dxdy的关系是()Dxy(A) JJ f (x, y ,0)d S

22、= JJ f (x, y )d xdy ； (B) JJ f (x, y ,0)d S = - JJ f (x, y )d xdy ；zDzDxyxy(C) JJ f (x, y ,0)d S JJ f (x, y )d x dy z答(A).DxyzDxy2. 设Z是抛物面z = x2 + y2(0 z 4),则下列各式正确的是()(A) JJ f (x, y, z )d S = JJ f (x, y, x2 + y 2)d xdy ；Zx 2 + y 2 4(B) JJ f (x, y, z )d S = JJ f (x, y, x2 + y2+ 4x2dxdy ；Zx 2 + y 2 4

23、(C) JJ f (x, y, z )d S = JJ f (x, y, x2 + y 2)1 + 4 y 2d x d y ；Zx 2 + y 2 4(D) JJ f (x, y,z)dS = JJf (x, y,x2 + y2)*1 + 4x2 + 4y2dxdy 答(D) Zx 2 + y 2 0) ,Z1是Z在第一卦限中的部分，则有(A) JJ xdS = 4 JJ xd S ；( B )JJ yd S = 4JJ xd S；ZZ 1ZZ 1(C) JJ zdS = 4 JJ z d S ；( D )JJ x y d * 4Jx y z S答 (C) zz 1zz 14.设 Z 是锥面

24、 z = x2 + y2 (0 z h(0 h a) 的部分.答: an (a2 h2) 105 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设工是球面 x2 + y2 + z2 = a2外侧，D : x2 + y2 a2 ,则下列结论正确的xy是().(A) 曲 z2dxdy = ff (a2 x2 y2 )dxdy ;工Dxy(B) 曲 z2dxdy = 2 ff (a2 x2 y2 )dxdy ;工Dxy(C) 册 z2dxdy = 0；( D ) (A) (B) (C)都不对.答(C).z2. 设Z为柱面x2 + y 2 = a2被平面z = 0及z = 3所截得的部分外侧，则ff zdxdy +

25、 xdydz+ ydxdz = ().z(A) 3ff zdxdy ;z(C) 3ff ydxdz 0;z(B) 3ff xdydz ;z(D) ff xdydz + ydxdz .答 (D) .卦限内的部分，则ff zdxdy + x d y d z + y d x d z =()z(A) 3 f 3d y f 1 一 x2dx；00(C) f 3dzf 700(B) 2 f 3dz f00(D) f 3dzf Wl- y004-设 Z : x2 + y2 + z2 = a2, Z : z =，a2 - x2 - y2 , Z 取外侧,i列结论正确的是().(A) 曲 (x2 + y2 +

26、z 2)dx dy = a2 ff dx d y ；z z1(B)曲(x2 + y2 + z2 )dx dy = 2 a2 ff dx dy ；z1z(C) 曲 (x2 + y2 + z2 )dx dy = 2 a2ffdx dy ；(D) 0 .答 (D) .Zx 设Z是xoy平面上的闭区域/ 0 1的上侧，0 y 1 + y 2 a 25.已知Z为平面x + y + z = 1在第一卦限内的下侧，则ff zdxdy =().Z(A) -f答：dxf 1 x (1 - x - y)d y ；(B)f 1 dx f 1 x (1 - x - y)d y ；0 0 0 0(C)f 1dyf1 x

27、(1- x -y)dx；(D)-f1dyf1-x(1- x -y)dx.答(A).0 0 0 06. 曲面积分 ff z2dxdy 在数值上等于().(A)向量z2i穿过曲面Z的流量;(B)密度为z2的曲面Z的质量;(C)向量z2k穿过曲面Z的流量;(D)向量z2 j穿过曲面Z的流量.答(C).二、填空题1. 设Z是xoy平面上的闭区域| 0 1的上侧，、0 y 1则 ff (x + y + z )d y d z = .Z答: 0.则(x + y + z )d x d y =z答: 1.3.设Z 为球面 x2 + y 2 + z2 = a2 取外侧，则曲(x2 + y2 + z2 )dxdy

28、=.z答: 0.4.设Z为球面x2 + y 2 + z2 = a2取外侧，则曲zdxdy = .答:5. 设Z为球面(x - a) + (y - b) + (z - C) = /取外侧，则曲面积分曲 zdxdy = .Z答：n R3 .36. 设Z 为球面 x2 + y 2 + z2 = a2 取外侧，则曲(x2 + y2 + z2)dxdy = .Z答：0.三、解答题1.计算ff x2 y 2zdxdy ,其中Z是球面x2 + y 2 + z2 = R2的下半部分的下侧.Zf 42642 )2答：一R7=冗R74I 53753丿1052. 计算ff zdxdy + xdydz + ydzdx

29、 ,其中Z是柱面x2 + y2 = 1被平面z = 0及Zz = 3 所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答：n .23. 计算曲 xzdxdy + xyd yd 汁 yd d x其中 Z 是平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 ,及Z4*. 把对坐标的曲面积分ff P (x, y, z)dydz+Q(x,y,z)dzd*R( x, y, z)dxdyx + y + z = 1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. *化成对面积的曲面积分,其中:工是平面3x + 2y + 23z = 6在第一卦限部分的上侧. 工是抛物面z = 8 - (x2 + y2)在xoy面上方部分的上侧.答:

30、R5丿2 xP + 2 yQ + R： 1 + 4 x2 + 4 y2dS106 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域Q的边界是分片光滑的闭曲面工围成，工取外侧，则Q的 体积 V = ().(A)+ zdzdx + xdxdy ;yd zd+ xdz ;dx y(C)丄血 z d y d z3z+ zdzdx + ydxdy ;(D)z d z d x + y dx d y 答(B)2. 设工是长方体Q : (x, y, z)|o x a,0 y b,0 z c, 的整个表面的外LU x2dydz + y2dzdx + z2dxdy =().z(A) a 2bc ；(B) ab 2c ；(C)

31、 abc 2 ；(D)(a + b + c)abc 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是().(A)ff (a pa qa r )JJ +- + dxdydz =、a xa ya z .a、丿LJ (P cos a + Q cos P + R cos y )d S ；z(B)LJJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =zff (a p a qa r )JJ +dxdydz ；、a xa ya z .a(C) LJ P dy d z + Q d z dx + R dx dy = JJJ + dx d y d z ；、a xa y a z 丿za(D) LJJ P dy

32、 dz + Q dzdx + R dxdy = LJ (P cos a + Q cos P + R cos y )d S .答(C).zz4. 若工是空间区域a的外表面，下述计算用高斯公式正确的是().答:2兀 a5 .5(A)血 x2dydz + (z + 2 y )dxdy = JJJ (2 x + 2)d xdydz ；(B)z曲(x3 - yz )d y d z - 2 xy d z dx + z dx dy = fff (3 x2 - 2 x + 1)d x dy d z ；Q.(C)z曲 x2dydz + (z + 2y)dzdx = JJJ (2 x + 1)dxdydz ；(D

33、)血 x2dxdy + (z + 2 y )dydz = JJJ (2 x + 2)d xdydz 答(B) z二、填空题1.设z是球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2外侧,Q.则曲zdx dy =2. 设Z是球面x2 + y2 + z2 = a2外侧,则曲 x3dydz + y3dzdx + z3dxdy =3. 设Z是长方体Q : (x , y ,z ) 0 x a , 0 y b , 0 z c,的整个表面的外侧，则曲 xdydz + ydzdx + zdxdy =答:3abc .4. 设Z是长方体Q : (x , y ,z ) 0 x a , 0 y b , 0 z c,的整

34、个表面的外侧，则曲x2dydz+ y 2d z d x + z 2d x d y =z答：(a + b + c) abc .5. 向量 A = yzi + zxj + xyk穿过圆柱 x2 + y2 = a2 (0 z h ) 全表面 Z 流向外侧的通量= .答:0 .6向量 A = (2 x + 3z)i - (xz + y) j + (y2 + 2z)k 穿过球面(x - 3)2 + (y + 1)2 + (z 2)2 = 9 Z 流向外侧的通量=答：108兀.三、解答题1. 计算曲 x 2d y d z + y 2d z d x + z 2d x d y，其中工为平面 x = 0, y

35、= 0, z = 0 及zx = a , y = a , z = a所围成的立体的表面外侧.答: 3a 4.2. 计算曲 x3dydz + y3dzdx + z3dxdy ,其中工为球面x2 + y2 + z2 = a2 外侧.z答：a5 .53. 计算曲 xz2dyd z +(x2y-z5 )d zdx(2xyky Rdxd ,y其中 Z 为上半球体zx2 + y2 a2,0 z a2 x2 y2 的表面外侧.答：na5 .54. 计算曲xdydz + ydzdx + zdxdy ,其中Z是界于z = 0和z = 3之间的圆柱z体x2 + y 2 0 ),则由 (z - y )dx + (x

36、 - z)dy + (y - x)dz = ()(A) 3a2；( B )6a2；( C )2a2；(D) a2 .答(A).3. 设为圆周x 2 + y 2 + z 2 = 9, z = 0 ,若从z轴正向看去，r为逆时针方向 则由 2 y d x + 3 x d y z div(grad u) =答： 0 . rot(grad u) =答： 0 .3. 设向量场 A = (2 z 3 y) i + (3 x z) j + (y 2 x) k，则 rot A = 答： 2i + 4 j + 6 k .4. 设向量场A = x2 sin yi + y2sin( xz) j + xy sin(c

37、os z)k , 则 rot A =.答： x sin(cos z) xy 2 cos( xz)i y sin(cos z) j +y2zcos( xz) x2cos yk .三、解答题ydx + zdy + xdz ,其中 r 为圆周 x2 + y2 + z2 = a2,x + y + z = 0 ,若d z = ()r(A)兀；(B) 6兀；9兀；(D)0.答(C) 二、填空题1.设r为圆周x2 + y 2 + z 2 = a 2,z = 0 ,若从z轴正向看去，r为逆时针方+ 2 x d y z 2d z =答: 0 .2.u = xy + yz + zx + xyz则(1) grad

38、u =答：y+z+ yz,z+x+xz,x+ y+xy1.计算由从z轴正向看去，r为逆时针方向.答：3 兀 a2.2*.计算由(yz)dx + (z - x)dy + (x y)dz，其中r 为椭圆 x2 + y2 = a2 ,r-+ = 1 (a 0, b 0),若从x轴正向看去，r为逆时针方向.ab答：兀 a2 + b2 .3. 计算由3ydx- xzdy+ yz d z其中r为圆周x2 + y2 = 2z,z = 2 ,若从z轴r正向看去，r为逆时针方向.答：20兀.4. 计算舟2ydx + 3xdy- W dz,其中r为圆周 x2 + y2 + z2 =9, z = 0,若从 zr轴正向看去，r为逆时针方向.答：9兀.5*.利用斯托克斯公式把曲面积分口 rotA - ndS化为曲线积分，并计算积分值，其中A、工及n分别如下：(1) A = y2i + xyj + xzk ,工为上半球面z = 1 x2 y2的上侧，n是工的单位法向量.(2) A = (y z)i + yzj xzk ,工为(x, y, z)|o x 2, 0 y 2, 0 z 2)的表面外侧去掉xoy平面上的那个底面,，n是工的单位法向量.答：(1) 0.(2) 4.