斐波那契数列通项公式的推导

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1、斐波那契数列通项公式的推导斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21如果设F(n)为该数列的第n项(nN+).则F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n，3)显然这是一个线性递推数列.推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：X2X+1解得X丁,X1-厲122则F(n)cXn+cXn.1122FG)=F(2)=1cX+cXcX2+cX2111221122解得c,兀2-丄1.55片5F(n)=1推导方法二：待定系数法设常数s,t，使得F(n)sF(n1)=t“F(n1)sF(n2)”.贝卩s+1=1,st=1n3时，有F(n)sF(n1)=t“F(n1)sF

2、(n2)”F(n1)sF(n2)=t“F(n2)sF(n3)”F(n2)sF(n3)=t“F(n3)sF(n4)”F(3)sF(2)=t“F(2)sF1”将以上n-2个式子相乘，得:F(n)-sF(n-1)=tn-2f(2)-SF(1)t=1S,FG)=F2)=1上式可化简为：F(n)=tn-1+sF(n-1)2222”.FC)=tn-1=tn-1+Stn-2=tn-1+Stn-2+sF(n-1)+s2F(n-2)+s3F(n-3)+S2tn-3=tn-1+Stn2+S2tn-3+Sn-21+Sn-1F1)=tn-1+Stn2+S2tn-3+Sn21+Sn-12222tn-122tnSnS+t=1,St=-1的一解为S=上*5,t+影22