中考数学压轴题及答案精选

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1、2222全国中考数学压轴题及答案精选28（12 分）（2013白银）如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x +（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B， AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐 标；（3） 对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB=90？若存在，求出点 P 的坐标，并求 POB 的面积；若不存在，请说明理由参考答案：考点：二次函数综合题分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，也就得出了抛物线的解析式 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可

2、得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根 据 OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛 物线的解析式中即可求出 B 点的坐标，然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断 得出的 B 点是否符合要求即可（3）根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OBOP，由此可求出 P 点的坐 标特点，代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标求 POB 的面积时，可先求出 OB， OP 的长度即可求 BOP 的面积解答：解：函数的图象与 x 轴相交于 O，0=k+1，k=1，y=x 3x，假设存在点 B，过点 B 做 BDx 轴于点 D，AOB 的面积等于

3、 6，AOBD=6，当 0=x 3x，x（x3）=0，解得：x=0 或 3，AO=3，BD=4即 4=x 3x，解得：x=4 或 x=1（舍去）又顶点坐标为：（ 1.5，2.25）2.254，22x 轴下方不存在 B 点， 点 B 的坐标为：（4，4）；点 B 的坐标为：（4，4）， BOD=45，BO= =4，当POB=90，POD=45，设 P 点横坐标为：x，则纵坐标为：x 3x， 即x=x 3x，解得 x=2 或 x=0，在抛物线上仅存在一点 P （2，2）OP= =2使POB=90，POB 的面积为： POBO=42 =8点评： 本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积

4、求法等知识利用 已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键28（12 分）（2013 兰州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C、 D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C 与经过1点 A、D、B 的抛物线的一部分 C 组合成一条封闭曲线，我23们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点 C 的坐标为（0，- ），2点 M 是抛物线 C ： y =mx 2 -2 mx -3m （ m 0）的顶点2（1）求 A、B 两点的坐标；yDM（2） “蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使 PBC 的 面积最大？若存在，求 PBC 面积的最大值；若不存 在

5、，请说明理由；（2） BDM 为直角三角形时，求 m 的值A O B xC第 28 题图yDM参考答案：A OCB x4 2 1616PBC2 2 2222228.（本小题满分 12 分）(1) 解：令 y =0，则 mx2-2 mx -3m =0 m 0， x2-2 x -3 =0解得： x =-1， x =3 1 2A（ -1，0）、B（3，0） （2）存在设抛物线 C 的表达式为12 分3y =a （x +1）(x -3) （ a 0 ），把 C（0， ）代入可得21a =2 ： y =1设 P （ n ，1 3 x 2 -x -2 21 3 n 2 -n - ）2 24 分3 3 27

6、 S = + S = - （n - ）2 + PBC POC BOP BOC6 分3 3 27 a =- 0, 当 n = 时, S 最大值为 7 分 4 2（3）由 C 可知： B（3，0），D（0， -3m ），M（1， -4 m ）2BD2= 9m2+9 ， BM2= 16 m2+4 ，DM2= m2+1 ，MBD0 ，且顶点在第四象限（3）cC ( , b +8) a，且在抛物线上，b +8 =0, b =-8,a +c =8,把 B、C 两点代入直线解析式易得c -a =4解得c =6, a =2画图易知，C 在 A 的右侧，当 x 1 时， y 14 ac -b4 a2=-223.

7、（9 分）（2013 深圳福田）如图 12，在平面直角坐标系中，圆 D 与 y 轴相切于点 C(0,4)，与x轴相交于 A、B 两点，且 AB=6.（1） 则 D 点的坐标是（ ， ），圆的半径为 ；（2） sin ACB= ；经过 C、A、B 三点的抛物线的解析式 ； （3）设抛物线的顶点为 F,证明直线 FA 与圆 D 相切；（4）在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 DCBN 面积最大，最大值是多少，并求 出 N 点坐标.图 12参考答案：23、解：（1）（5，4）-1 分 5-2 分（2）sin ACB=3 1 5， y = x 2 - x +4 5 4 2-4 分22 22

8、2PN（3）证明：因为 D 为圆心，A 在圆周上，DA=r=5,故只需证明DAF =90 ，抛物线顶点坐标：F9(5, - )4,DF =4 +9 25 9 15 = , AF = 32 +( ) 2 =4 4 4 4， （5 分）所以DA2+AF2=5215 625 25 + = = =DF 4 16 4 2DAF =90所以 AF 切于圆 D。 （6 分）（4） 存在点 N，使 DCBN 面积最小。设 N 点坐标（a,1 5a 2 - a +4 4 2）,过点 N 作 NP 与 y 轴平行，交 BC 于点 P。可得 P 点坐标为（a,-12a +4） -7 分NNP=-12a +4-（1

9、5 1a - a +4 ）= - a +2 a 4 2 4S =S +S = BCN BPN PCN1 1BOPN= 8（ 2 21- a42+2 a ）=16-(a-4)-8 分当 a=4 时，SBCN最大，最大值为 16。此时，N（4，-2）-9 分部分小题方法不一，不同做法可酌情给分，参考如下： （4）、存在点 N，做一条与 BC 平行的直线，平移，当它与抛物线有一个交点时，此时以 BC 为底的三角形 高度最大。抛物线与该直线的交点，就是所求的 N 点。易求 BC 的 K 值为-12，所以设动直线为：2x =41y =- x +d2，与抛物线联立： 1y =- x +d 21 5y =

10、x 2 - x +4 4 21 消去y, x42-2 x +4 -d =0,（1 分）因为有一个交点，所以 D= (-2)-414(4-d)=0,解得，d =0, 1y =- x 2所以 1 5y = x 2 - x +4 4 2 N (4,-2) y =-2（1 分）过 N 做 y 轴的平行线，交 BC 于一点，求此点坐标BC ：y =-12x +4, 令 x=4, 解 得 y=2, 三 角 形 BCN 面 积 的 最 大 值 =124 8=16（1 分）若（3）问用高中点到直线距离公式也给分。22.（2013 深圳）如图 6-1，过点 A（0，4）的圆的圆心坐标为 C（2，0），B 是第一

11、象限圆弧上的一点，且 BCAC，抛物线y =-12x2+bx +c经过 C、B 两点，与 x 轴的另一交点为D。（1） 点 B 的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为（2） 如图 6-2，求证：BD/AC（3） 如图 6-3，点 Q 为线段 BC 上一点，且 AQ=5，直线 AQ 交C 于点 P，求 AP 的长。解析：23.（2013 深圳）如图 7-1，直线 AB 过点 A（ m ，0），B（0，n ），且 m +n =20（其中 m 0， n 0）。（1） m 为何值时 OAB 面积最大？最大值是多少？（2）如图 7-2，在（1）的条件下，函数y =kx( k 0)的图像与直线 AB 相交于

12、 C、D 两点，若SDOCA=18S ，求 k 的值。 DOCD（3）在（2）的条件下，将OCD 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向平移，如图 7-3，设它与OAB 的重叠部分面积为 S，请求出 S 与运动时间（秒）的函数关系式（010）。解析：25.（2013 广东）有一副直角三角板，在三角板 ABC 中，BAC =90，AB=AC=6，在三y角板 DEF 中， FDE =90，DF=4， DE =4 3 .将这副直角三角板按如题 25 图（1）所示位 置摆放，点 B 与点 F 重合，直角边 BA 与 FD 在同一条直线上.现固定三角板 ABC，将三角板DEF 沿射线 BA 方向平行

13、移动，当点 F 运动到点 A 时停止运动.（1） 如题 25 图（2），当三角板 DEF 运动到点 D 到点 A 重合时，设 EF 与 BC 交于点 M，则EMC = 度；（2） 如题 25 图（3），当三角板 DEF 运动过程中，当 EF 经过点 C 时，求 FC 的长;（3）在三角板 DEF 运动过程中，设 BF =x ，两块三角板重叠部分的面积为 ，求 的函数解析式，并求出对应的 x取值范围.y与 x参考答案：25、（1）15FC AC FC 6（2）AFCDFE， = , = ,FE DE 8 4 3 FC =4 3（3）解：当 0 x 2 时，过点 M 作 MNAB 于点 N，则 M

14、N=3 + 32xy =12( x +4)21 3 + 3- x 2 2x =-3 +13x2+4 x +8当 2x 6 -2 3 时，过点 M 作 MNAB 于点 N，3 + 3则 MN= x21 1 3 + 3 3 + 3 y =6 2 - x x =- x 2 2 2 42+18x当 6 -2 3 6 时，1 3 y = (6 -x ) 3(6 -x ) = x2 22-6 3 x +18 3综上：-3 +13x 2 +4 x +8 (0x 2) 3 + 3y =- x 2 +18(2 x 6 -2 3 )432x 2 -6 3 x +18 3 (6 -2 3 x 6)26（12 分）（

15、2013 桂林） 已知抛物线的顶点为 (0,4) 且与 x 轴交于 ( -2,0) ， (2,0) . （1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移 k 个单位，设平移后抛物线的顶点为 D，与 x 轴 的交点为 A、B，与原抛物线的交点为 P当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切于 E 时，求此时k的值；是否存在这样的 k 值，使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上？若 存在，求出 k 值；若不存在，请说明理由.2k 2yDyDPEPOACBxO A Bx中国教 育出版 %#& 网第 26 题图参考答案：26（本题满分 12 分） 解：（1）y =-x2 +4分第 26 题备

16、用图2（2）连接 CE,CD，OD 是C 的切线，CEOD3分在 RtCDE 中，CED=90，CE=AC=2，DC=4，EDC=30分在 RtCDO 中，OCD=90，CD=4，ODC=30 OC =4 336分当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切时，k =OC =4 33 7分(3) 设平移k个单位后的抛物线的解析式是y =-(x -k )2+4它与 y =-x +4 交于点 P，可得点 P 的坐标是k k 2( , - +4) 2 48分（也可以根据对称性，直接写出点 P 的横坐标是k2，再求出纵坐标 - +44）OG PGk 2方法 1：设直线 OD 的解析式为y =ax，把 D(

17、k ,4)代入，得4y = xk9分若点 Pk k 2 4 k 2 4 k ( , - +4) 在直线 y = x 上,得 - +4 = ，2 4 k 4 k 2解得 k =2 2，11分当k =2 2时，O、P、D 三点在同一条直线上 12分方法 2：假设 O、P、D 在同一直线上时；过点 D、P 分别作 DF x 轴于 F、PG x 轴于 G ,则 DFPG 9 分OPG ODF， = 10 分 OF DFOG =k2， OF =k， PG =- +4 ， DF =4 4k =2 2，11分分当yk =OF =2 2D，点 O 、P 、D 在同一条直线上 12yD来%& 源:中 教网PEO

18、ACBxAO G FBx25.（12 分）（2013 贵阳）如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l3： y = - x + 4 与3x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为 3 的等边三角形ABC ，边 BC 在 x 轴上，将此三角形沿着 x 轴的正方向平移.（1）在平移过程中，得到 DA B C ，此时顶点 A 恰1 1 1 1落在直 线 l 上，写出 A 点的坐标 ；（4 分）1（2）继续向右平移，得到 DA B C ，此时它的外心2 2 2P 恰好落在直线 l 上，求 P 点的坐标；（4 分）（3）在直线 l 上是否存在这样的点，与（2）中的 A 、2( )1( )( )C 4 3,0 C

19、l22( )SF = 3 ER = 3答：存在四个点，分别是 P 3 3,1， Q 3,3 ， S 4 3 -3, 3 ， R 3 +4 3,- 3B 、 C 任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 2 2求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4 分）参考答案：25.（本题满分 12 分）（1） A 3,3（1） 设 P (x,y ),连接A P 并延长交 x 轴于点2在等边三角形 A B C 中,高 A H =32 2 2 2H4 分 ,连接 B P 5 分2 A B =2 3 ， HB = 32 2 2点 P 是等边三角形 A B C 的外心2 2 2 PB H =30 o ， P

20、H =1 即 y =1 26 分7 分将 y =1 代人 y = - P 3 3,133x + 4 ，解得：x =3 38 分（3）点 P 是 DA B C 的外心， PA =PB PB =PC PC =PA2 2 2 2 2 2 2 2 2DPA B ， DPB C ， DPA C 是等腰三角形2 2 2 2 2 2点 P 满足条件 ，由（2）得 P 3 3,3 9 分( ) 3由（2）得： ，点 满足直线 ： y = - x + 4 的关系式.3点 C 与点 M 重合. PMB =30 o 2 2设点 Q 满足条件， DQA B ， DB QC ，2 2 2 2DA QC 能构成等腰三角形

21、.2 2此时 QA =QB B Q =B C A Q =A C 2 2 2 2 2 2 2作 QD x 轴于 D 点，连接 QB22 QB =2 3 ， QB D =2PMB =602 2 2 QD =3 ， Q 3,3o10 分设点 S 满足条件， DSA B ， DC B S ， DC A S2 2 2 2 2 2此时 SA =SB C B =C S C A =C S 2 2 2 2 2 2 2 2作 SF x 轴于 F 点能构成等腰三角形.SC =2 3 ， SC B =PMB =30 2 2 2 2o( ) S 4 3 -3, 311 分设点 R 满足条件， DRA B ， DC B

22、R ， DC A R2 2 2 2 2 2此时 RA =RB C B =C R C A =C R 2 2 2 2 2 2 2 2作 RE x 轴于 E 点能构成等腰三角形.RC =2 3 ， RC E =PMB =30 2 2 2o( ) R 3 +4 3,- 3( ) ( ) ( ) ( )12 分2122121 22PAB1 2PABP22122 21211 224（14 分）（2013黔东南州）已知抛物线 y =ax +bx+c（a0）的顶点坐标是（1，4），它 与直线 y =x+1 的一个交点的横坐标为 2（1） 求抛物线的解析式；（2） 在给出的坐标系中画出抛物线 y =ax +bx

23、+c（a0）及直线 y =x+1 的图象，并根据图象， 直接写出使得 y y 的 x 的取值范围；（3） 设抛物线与 x 轴的右边交点为 A，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 y =x+1 于点 B，点 P 在抛物线上，当 S 6 时，求点 P 的横坐标 x 的取值范围考点：二次函数综合题分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）确定出抛物线与 x 轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象由图象可以直 观地看出使得 y y 的 x 的取值范围；（3）首先求出点 B 的坐标及线段 AB 的长度； PAB 中，AB 边上的高为 h，则由 S 6 可以

24、求出 h 的范围，这是一个不等式，解不等式求出 x 的取值范围解答：解：（1）抛物线与直线 y =x+1 的一个交点的横坐标为 2，交点的纵坐标为 2+1=3，即交点坐标为（2，3）设抛物线的解析式为 y =a（x1） +4，把交点坐标（2，3）代入得：3=a（21） +4，解得 a=1，抛物线解析式为：y =（x1） +4=x +2x+3（2）令 y =0，即x +2x+3=0，解得 x =3，x =1，抛物线与 x 轴交点坐标为（3，0）和（1，0）1 22P A PPABPPPABPPPPPABP在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：根据图象，可知使得 y y 的 x 的取值范围为1x

25、2 （3）由（2）可知，点 A 坐标为（3，0）令 x=3，则 y =x+1=3+1=4，B（3，4），即 AB=4设PAB 中，AB 边上的高为 h，则 h=|x x |=|x 3|，S = ABh= 4|x 3|=2|x 3|已知 S 6，2|x 3|6，化简得：|x 3|3，去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：3x 33，解此不等式组，得：0x 6，当 S 6 时，点 P 的横坐标 x 的取值范围为 0x 6点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的 面积、解不等式（组）等知识点题目难度不大，失分点在于第（3）问，点 P 在线 段 AB 的左右两侧

26、均有取值范围，注意不要遗漏25(14 分)（2013 铜仁）如图，已知直线 y3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，抛物 线 yx2bxc 经过 A、B 两点，点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点(与 A 点不重合) (1)求抛物线的解析式：(2) 求ABC 的面积；(3) 在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使ABM 为等腰三角形?若不存在，请说明 理由：若存在，求出点 M 的坐标.22ABC2 2222 2 2Rt 参考答案：25.（本题 14 分）解：（1）求出 A（1，0），B（0，3）1 分把 A、B 两点的坐标分别代入 yx2bxc 得1+b +c =0c =-3解得：

27、b2，c33 分抛物线为：yx 2x34 分（2）令 y0 得：0x 2x3解之得：x 1，x 31 2所以 C（3，0），AC46 分1 1S AC OB = 4 3 =6 8分2 2（3）抛物线的对称轴为：x1，假设存在 M（1，m）满足题意 讨论：当 MAAB 时2 +m = 10m = 6M （1， 6 ），M （1， 6 ）10 分 1 2当 MBBA 时1 +( m +3) = 10M 0，M 610 分3 4M （1，0），M （1，6）12 分3 4当 MBMA 时2 +m = 1 +( m +3)2m1M （1，1）13 分5答：共存在五个点 M （1， 6 ），M （1，

28、6 ），M （1，0），M （1，6），1 2 3 4M （1，1），5使ABM 为等腰三角形14 分26（12 分）（2013 遵义）如图，在 ABC中，C =90 0 ，AC =4cm , BC =3cm 动点 M 、N 从点 C 同 时 出 发 ，均 以 每 秒 1cm 的速度分别沿 CA 、( )DPBN2CB 向终点 A 、 B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动连接 PM 、 PN ，设移动时间为 t（单位：秒， 0 t 2.5）（1）当 t为何值时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形

29、 APNC 的 面 积 S有最小值？若存在，求 S的最小值；若不存在，请说明理由27（14 分）（2013 遵义）如图，已知抛物线y =ax2+bx +c ( a 0) 2 的顶点坐标为 4,- ， 3 且与y轴交于点 C (0,2)，于x轴于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边）.（1）求抛物线的解析式及 A 、 B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点 P ，使 AP +CP 的值最小？若存在，求 AP +CP 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在以 AB 为直径的M 中， CE 与M 相切于点E , CE 交 x 轴于 D ,求直线 CE 的解析式.参考

30、答案：26解: (1)解：由以 A 、 P 、 M 为顶点的三角形与 ABC 相似，分两种情况：若AMPABC，则AP AM=AC AB,5 -2t 4 -t 3 = ， t = .4 5 2AM AP若 APM ABC ，则 = ,AC AB4 -t 5 -2t=4 5，t =0(不合题意，舍去).当t =32时，以A、P、M为顶点的三角形与ABC相似.(2) 过P作PHBC,垂足为H. PH AC ,PH BP=AC BA即PH 2t 8 = ， PH = t4 5 5S =SDABC1 1 8-S = 4 3 - 3 -t t2 2 54 12= t 2 -5 5t +6(0 t 0，S

31、有最小值当t =32时， S 有最小值215223x =3答：当t =3221时，四边形 APNC 的面积最小， S 的有最小值是 .527解：（1）由题意，设抛物线的解析式为C (0,2)抛物线经过点y =a ( x -4) 2 -23( a 0)a ( x -4)2-23=2 ,解得 a =161 2 1 4y = ( x -4) - ，即 y = x - x +2 6 3 6 3当y =0时，1 4x 2 - x +2 =0 6 3，解得x =21，x =62A(2,0),B (6,0)(2)存在由（1）知，抛物线的对称轴l为x =4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P,则AP

32、 = BP,所以，AP +CP =BC的值最小.B (6,0)，C (0,2)， OB =6 , OC =2OB =62+22=2 10AP +CP =BC =2 10AP +CP的最小值为2 10.（3）连接MECE是M 的切线ME CE ， CEM =900COD =DEM =900由题意，得OC =ME =2,COD =DEMCODMED OD =DE , DC =DM设OD =x，则CD =DM =OM -OD =4 -x在 Rt COD 中, OD 2 +OC 2 =CD 2 x 2 +2 2 =(4-x)2. ， 23D ( ,0)2设直线 CE 的解析式为 y =kx +b ( k 0)，直线 CE 过 C (0,2)，3D ( ,0)2两点.则 2b =2 k +b =0解得 4k =-3b =2直线CE的解析式为y =-43x +2.