高考数学（文）大一轮复习导学案：第七章 立体几何

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1、第一节几何体的结构、三视图、体积与表面积授课提示：对应学生用书第132页基础梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称：形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的；名称

2、：三视图包括正视图、侧视图、俯视图(2)三视图的画法：在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半5多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的

3、面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和6旋转体的表面积与侧面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2rl2r(lr)圆锥(底面半径r，母线长l)rlr(lr)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)(r1r2)l(r1r2)l(rr)球(半径为R)4R27.空间几何体的体积(h为高，S为下底面积，S为上底面积)(1)V柱体Sh.特别地，V圆柱r2h(r为底面半径)(2)V锥体Sh.特别地，V圆锥r2h(r为底面半径)(3)V台体h(SS)特别地，V圆台h(r2rrr2)(r，r分别为上、下底面半径)(4)V球R3(球半径是R)1几类特殊多面体(1)直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱

4、柱正棱柱：正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正棱锥2利用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的倍3三视图的基本要求长对正，高平齐，宽相等4几个结论(1)棱长为a的正四面体，其高为a.其内切球和外接球的球心重合，是正四面体的中心其外接球和内切球的半径分别为a和a.(2)长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则体对角线长为，即为外接球直径四基自测1如图，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD.剩下的几何体是()A棱台B四棱柱C五棱柱 D简单组合体答案：C2某几何体的三视图如图所示，根据三视

5、图可以判断这个几何体为()A圆锥 B三棱锥C三棱柱 D三棱台答案：C3利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_答案：14正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A48(3)B48(32)C24() D144答案：A5球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为_答案：3考点一简单几何体的三视图与直观图例1(1)(2018高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方

6、体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.答案：A(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()解析：取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面如图所示：所以上半部分的正视图，如A选项所示答案：A(3)某几何体的主视图和左视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A16，O1C12，则该几何体的侧面积为()A48B64C96 D128解析：由题意可知该几何体是一个直四棱柱

7、，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A16，O1C12，它的俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，该几何体的侧面积为46496，故选C.答案：C1识别给出几何体的三视图需抓住三视图的特征，同时注意实虚线2三视图还原的三方法(1)熟悉常见几何体的三视图，如两个矩形、一个圆形为圆柱，三个三角形为三棱锥等(2)直接还原将几何体放在长方体或正方体中，一般从俯视图入手，找几何体顶点的位置，再确定实虚线(3)将几何体放入柱体或锥体中，通过合理切割得到相应几何体3原图与直观图中的“三变”与“两不变”(1)“三变”(2)“两不变”1如图(1)所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体

8、，其中DD11，ABBCAA12，若此几何体的俯视图如图(2)所示，则可以作为其正视图的是()解析：根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.答案：C2已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_解析：取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O，E，过E作EFx轴，垂足为F，在等腰梯形ABCD中，CD1，AB3，ADCB，OE1，由斜二测画法知，ABAB3，

9、CDCD1，OEOE，EFOEsin 45，直观图ABCD的面积为.答案：考点二几何体的表面问题例2(1)(2018高考全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3 D2解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径ON164，OM2，|MN|2.故选B.答案：B(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积

10、为_解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为43231241238，圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为212，圆柱的两个底面面积和为2122.故该几何体的表面积为382 2 38.答案：381几何体表面上的最短距离问题几何体表面上的两点间的最短距离，其求解方法是把几何体展开为平面图形，平面图形相应两点的线段为其最短距离2几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补(4)若以三视图形式给出，解

11、题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系(5)几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加1(2019九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()A642B84C66 D624解析：直观图是四棱锥PABCD，如图所示，SPABSPADSPDC222，SPBC22sin 602，S四边形ABCD224，故此棱锥的表面积为642，故选A.答案：A2如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积为()A17 B18C20 D28解析：该几何体是一个球体挖掉剩下

12、的部分，如图所示，依题意得R3，解得R2，所以该几何体的表面积为4222217.答案：A考点三空间几何体的体积例3(1)(2017高考全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63C42 D36解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V32763，故选

13、B.答案：B(2)(2018高考天津卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_解析：依题意，易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥，且底面边长为，高为.故VMEFGH2.答案：(3)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥C1B1DA的体积为()A3 B.C1 D.解析：在ABC中，D为BC中点，则有ADAB，SDB1C12.又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高VC1B1DAVA

14、C1B1DSDB1C1AD1.答案：C求几何体的体积的方法方法解读适合题型直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解规则几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则几何体等积转换法利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算三棱锥1(2019大连双基检测)如图所示，在边长为1的

15、正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为()A15 B13C12 D9解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD是一个矩形(其中AB5，BC2)，棱EF底面ABCD，且EF3，直线EF到底面ABCD的距离是3.连接EB，EC，则题中的多面体的体积等于四棱锥EABCD与三棱锥EFBC的体积之和，而四棱锥EABCD的体积等于(52)310，三棱锥EFBC的体积等于23，因此题中的多面体的体积等于10313，故选B.答案：B2.如图所示是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1B1C12，A1B1C190，AA14，BB13，C

16、C12，求：(1)该几何体的体积(2)截面ABC的面积解析：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及A1B1C190，则VVA1B1C1A2B2CVCABB2A2222(12)226.(2)在ABC中，AB，BC，AC2.则SABC2.考点四球及组合体例4(1)(2018高考全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12B18C24 D54解析：由等边ABC的面积为9可得AB29，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心

17、到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246，所以三棱锥DABC体积的最大值为9618.故选B.答案：B(2)(2017高考全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_解析：设球O的半径为R，SC为球O的直径，点O为SC的中点，连接AO，OB(图略)，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，VSABCVASBCSSBCAO(SCOB)AO，即9(2RR)R，解得R3，球O的表面积为S

18、4R243236.答案：36(3)现有三个球和一个正方体，第一个球是正方体的内切球，第二个球与正方体的各条棱都相切，第三个球为正方体的外接球，那么这三个球的表面积之比为_解析：设正方体棱长为a，则三个球的半径分别为，a，a，所以它们的表面积之比为123.答案：1231.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2.解决几何体最值问题的方法方法解读适合题型基本不等式法根据条件建立两个变量的和或积为定值，然后利用基本不等式求体积的最值(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值；(2)求表面积一定的

19、空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值续表方法解读适合题型函数法通过建立相关函数式，将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛组合体中的最值问题几何法由图形的特殊位置确定最值，如垂直图形位置变化中的最值1已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D256解析：AOB的面积为定值，当OC垂直于平面AOB时，三棱锥OABC的体积取得最大值由R336得R6.从而球O的表面积S4R2144.故选C.答案：C2已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱

20、柱的体积取最大值时，其高的值为()A3 B.C2 D2解析：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a29，即a29，那么正六棱柱的体积Vh(9)h(9h)令y9h，y9.令y0，h2.易知当h2时，正六棱柱的体积最大，故选D.答案：D3正四棱柱ABCDA1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最_值，为_解析：如图所示，截面图为长方形ACC1A1和其外接圆球心为EE1的中点O，则ROA.设正四棱柱的侧棱长为b，底面边长为a，则ACa，AEa，OE，R222，4R22a2b2，则正四棱柱的侧面积：S4ab2ab(a22b2)4R2，故侧面积有最大值，为4R2，当且仅当a

21、b时等号成立答案：大4R2直观想象、数学运算空间计算平面化思想的学科素养空间最值是一类较难的问题，首先要善于将空间问题转化为平面问题，要有较强的空间想象能力，其次是在平面上的数学运算能力.例如图，在ABC中，ABBC2，ABC120，若平面ABC外的一点P和线段AC上的一点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_解析：法一：平面几何法由题意知四面体PBCD的体积最大时，应有平面PBD平面BCD.如图所示，过点P作PFBD，则PF平面BCD，则VPBCDSBCDPF.由翻折过程可知AFPF，则VPBCDSBCDAF，这样就将空间问题转化为ABC内的问题等腰ABC的底边AC边

22、上的高hABsin 301，VPBCDDC1AFDCAF.DC与AF不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D在AC上运动时，ADB也是在变化的，因此可以取ADB为自变量，产生下面的解法如图所示，因为SABDBDAFAD1，则AF，得VPBCDDC.设ADB，由正弦定理得2sin(150)，DC，则VPBCD，易知函数f(x)x在区间(0,1上单调递增，于是VPBCD.法二：构造法换个角度看问题，我们把ABC“立起来”，如图所示，设BO平面ACP，考虑以B为顶点，ACP的外接圆O为底面的圆锥，易得AC2，则OB 1.设PDA，(0，)，ADx(0x2)，则SPCDx(2x)sin

23、 x(2x)2，所以四面体PBCD的体积VPBCDSPCDOB，当且仅当OAAC，且时取等号(此时D点与圆心O重合，PD垂直平分AC，进而可得BDPD)三：解析法由于ABC是顶角为120的等腰三角形，建系非常方便如图，取AC的中点为原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(，0)，B(0，1)，C(，0)，设D(t,0)，t(，)，易知直线BD的方程为xytt0，则点A到直线BD的距离即AF，SBCD(t)，于是VPBCDSBCDAFf(t)(t)，t20,3)，易知该函数在0,3)上单调递减，故VPBCDf(0)，此时D在原点点评：法一是选取ADB为自变量，构造四面体PBCD的体

24、积表达式，法二中圆锥的高OB也是三棱锥BPCD的高，根据题设可以得到OB的最大值为1(即圆锥底面半径的最小值为)；另外可以算出动态PCD的面积的最大值，由此既得四面体PBCD的体积的最大值(注意两个等号可以同时取得)；法三是注意到ABC的等腰特殊性，比较适合解析法，最后利用函数思想求得最值.课时规范练A组基础对点练1某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124B188C28 D208解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图所示则该几何体的表面积为S22242224208，故选D.答案：D2已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为，则该锥体的俯视图可

25、能是()解析：由正视图得该锥体的高是h，因为该锥体的体积为，所以该锥体的底面面积是S2，A项的正方形的面积是224，B项的圆的面积是12，C项的大三角形的面积是222，D项不可能是该锥体的俯视图，故选C.答案：C3已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是()A3 B2C6 D8解析：四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点 M，连接PM，PN，则PN，PM3，SPAD 42，SPABSPDC233，SPBC436.答案：C4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12B.C8 D4解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a2.又正

26、方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2Ra(R为正方体外接球的半径)，所以R，故所求球的表面积S4R212.答案：A5平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4C4 D6解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R，所以球的体积VR34.答案：B6已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥(11)12(11)12，故选C.答案：C7如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为()A24

27、B29C48 D58解析：如图所示，在324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4R2(322242)29.答案：B8已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A. B.C. D.解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2rl，l2r，则圆锥的表面积S表r2(2r)2a，r2，2r.答案：C9已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为_解析：设正方体棱长为a，球半径为R，则R3，R，a3，a.答案：10.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图 形(实线组成半径为2

28、cm的半圆，虚线是等腰三角形 的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm的圆(包括圆心)，则该零件的体积是_解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为232214(cm3)答案：4 cm3B组能力提升练11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图 所示，所以其体积为23222111.故选D.答案：D12(2019西安质量检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D3解析：根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱 柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示，则该几何

29、体的体积是V几何体V三棱柱V三棱锥211211.故选A.答案：A13(2019广州模拟)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥 PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12C20 D24解析：如图所示，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2RPC，所以R，球O的表面积为4R220，故选C.答案：C14在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA

30、13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，VmaxR3.答案：B15已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析：过O作底面ABCD的垂线段OE(图略)，则E为正方形ABCD的中心由题意可知()2OE，所以OE，故球的半径ROA ，则球的表面积S4R224.答案：2416某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由题意得到几何体的直观图如

31、图所示，即 从四棱锥PABCD中挖去了一个半圆锥其体积V222122.答案：第二节空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(3)异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线a，b，经过空

32、间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)；范围：.3空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个1公理的作用公理1：可用来证明点、直线在平面内公理2：可用来确定一个平面公理3：(1)可用来确定两个平面的交线(2)判断或证明多点共线(3)判断或证明多线共点公理4：(1)可用来判断空间两条直线平行(2)等角定理的理论依据2异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面四基

33、自测1下列命题中，真命题是()A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案：D2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直答案：D3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45C60 D90答案：C4两两相交的三条直线最多可确定_个平面答案：3考点一平面的基本性质例1(1)如图所示是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面

34、的一个是()(2)如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CD D直线BC解析：(1)A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面(2)由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.答案：(1)D(2)C1.由元素确定平面时，要看元素满足的条件(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线2.多点共线或多线共点问题：点为平面的公共点，线

35、为平面的交线.3共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面，首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线，先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定的直线上(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：连接A1C1

36、，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线故选A.答案：A考点二空间直线的位置关系角度1异面直线的判定例2如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，C

37、D与EF平行故互为异面直线的有3对答案：3角度2平行和垂直的判定例3(1)(2019衡水中学模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行(2)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：(1)连接C1D，BD(图略)N是D1C的中点，N是C1D的中点，MNBD.又CC1BD，CC1MN，故A，C正确ACBD，M

38、NBD，MNAC，故B正确故选D.(2)如图所示长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，CDAD但有ABCD，因此A不正确；又ABDCA1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确答案：(1)D(2)B1异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角

39、形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直3注意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直1(2019赣州模拟)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH

40、与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DE与MN为异面直线，且所成的角为90，即DE与MN垂直答案：2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行解析：连接D1E并延长交AD于M点(图略)，因为A1E2ED，可得，M为AD中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF2FA，可得N为AD中点，所以M，N重合且，.所以，所以EFBD1.答案：D考点三异面直线所成的角例4(2019广东珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中

41、点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的正切值为()A.B2C. D4解析：取AD的中点N，连接PN，MNM是AC的中点，MNCD，且MNCD，四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，PBCD，且PBCD，MNPB，且MNPB，四边形PBMN为平行四边形，MBPN，APN(或其补角)是异面直线BM与PA所成的角在RtAPN中，tanAPN，异面直线BM与PA所成角的正切值为.故选A.答案：A求异面直线所成角的方法方法解读适合题型平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解易于作出平行线的

42、题目补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体找异面直线相应的位置，形成三角形求解平行线不易作出的规则几何体1直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60 D90解析：如图所示，可补成一个正方体，由AC1BD1，得BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.即BA1与AC1成60的角答案：C2如图所示，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_解析：如图所示，连接ND，取ND的中点E，

43、连接ME，CE，则MEAN，则异面直线AN，CM所成的角即为EMC.由题可知CN1，AN2，ME.又CM2，DN2，NE，CE，则cos CME.答案：直观想象、数学运算、逻辑推理求线线角的学科素养求异面直线所成的角，一般解法是平移化归为平面角是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定，往往非直观想象或推理例平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面平面CB1D1，平面平面ABCDm，平面平面ABB1A1n，则直线m，n所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：法一：割补法我

44、们先尝试把m，n这两条线都作出来：易知这个平面一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A在正方体ABCDA1B1C1D1的上方补作一个与正方体ABCDA1B1C1D1相同棱长的正方体ABCDA2B2C2D2，可证平面AB2D2就是平面，n就是AB2.因为平面ABCD平面A2B2C2D2，所以B2D2m，说明m应该是经过点A且在平面ABCD内与B2D2平行的直线，则直线m，n所成的角就是AB2D2，因为AB2D2为等边三角形，所以sinAB2D2sin，故选A.法二：平移法事实上对法一可进行适当简化，无需补形也可以设平面CB1D1平面ABCDm，因为平面平面ABCDm，平面平面CB1D1，

45、所以mm.又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m，所以B1D1m.同理可得CD1n，故直线m，n所成角即为直线B1D1，CD1所成的角CD1B1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1CB1D1CD1，所以CD1B1，所以sinCD1B1，故选A.点评：首先，不难发现法一、二在本质上是一样的，都是通过平移(补形)将看不见的交线显现出来，或找到与交线平行的线，构造一个等价的平面角法二没有作辅助线，通过严谨的推理论证，将异面直线m，n所成角转化为两条相交直线B1D1，CD1所成的角，对抽象概括能力和推理论证能力提出了较高的要求.课时规范练A

46、组基础对点练1在空间中，可以确定一个平面的条件是()A两两相交的三条直线B三条直线，其中的一条与另外两条分别相交C三个点D三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不相交于同一点，当三条直线相交于同一点时，这三条直线可能不在同一个平面内，A错；条件中另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线不能确定一个平面，B错；空间三个点可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上当三个点在同一条直线上时，经过这三个点的平面有无数个，C错；因为三条直线两两相交于不同的点，所以三个交点不在同一条直线上，由公理2知，这三条直线可以确定一个

47、平面，D正确选D.答案：D2下列说法错误的是()A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.答案：D3下列命题中，真命题的个数为()如果

48、两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M，M，l，则Ml.A1B2C3 D4解析：根据公理2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.答案：B4在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个

49、平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交答案：D5已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不 必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD 不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件答案：A6已知直线a，b分别在

50、两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要 条件解析：若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb， 又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件答案：A7在四面体ABCD中，若ABCD，ACBD2，ADBC，则直线AB与CD所成角的余弦值为()A BC. D.答案：D8设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，

51、b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成 角， 因为

52、C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案：10如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：511.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC解析：(1)证明：由题设知，FG

53、GA，FHHD，B组能力提升练12(2019湘东五校联考)已知直线m，l，平，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.其中正确的命题是()A BC D解析：对于，若，m，l，则ml，故正确，排除B.对于，若ml，m，则l，又l，所以，故正确选A.答案：A13.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A. BC. D答案：A14，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是()A若m，n，mn，则B若，m，n，则mnC若m不垂直

54、于平面，则m不可能垂直于平面内的无数条直线D若m，n，mn，则解析：对于选项A，直线n是否垂直于平面未知，所以平面不一定垂直于平面，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推 出mn，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面，则m不可能垂直于平面内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面内的无数条直线，则m垂直平面”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n，mn，所以m，又m，所以，选项D正确选D.答案：D15.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EFADBC