第7讲方差分析正交分析1

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1、第七讲正交实验设计及统计分析一、多因素试验设计一、多因素试验设计 多因素试验：是指在同一试验中同时研究两多因素试验：是指在同一试验中同时研究两 个或两个以上个或两个以上试验因素的试验。试验因素的试验。多因素试验设计方案由该试验的所有试验因素的水平组合多因素试验设计方案由该试验的所有试验因素的水平组合（即处理）构成。多因素试验方案分为完全方案和不完全方案两（即处理）构成。多因素试验方案分为完全方案和不完全方案两类。类。（1）完全方案 在列出因素水平组合（即处理）时，要求每一个因素的每个水平都要碰见一次，这时，组合数等于各个因素水平数的乘积。例如以3种饲料配方对3个品种肉鸭进行试验。共有33=9

2、个水平组合（处理）。这 9个水平组合（处理）就构成了这两个因素的试验方案。A A1 1B B1 1A A1 1B B2 2A A1 1B B3 3 A A2 2B B1 1 A A2 2B B2 2 A A2 2B B3 3 A A3 3B B1 1 A A3 3B B2 2A A3 3B B3 3全面试验优点：能全面考察试验因素对试验指标的影响能考察因素间的交互作用能选出最优水平组合全面试验的不足：人力、物力、财力、场地难以承受试验误差不易控制全面试验宜在因素个数和水平数都较少时应用 （2）不完全方案n将某些水平组合在一起形成少数几个水平组合。n目的：探讨某些水平组合的综合作用。例如：影响某

3、品种鸡的生产性能有3个因素：A因素是饲料配方，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是光照，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。二、正交设计的基本原理 图中标有试验号的九个“()”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：(1)A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3(4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1(7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2 上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭

4、配一次。对于A、B、C 3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅 是全面试验的 三分之一。从图中可以看到 ，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性 ，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。n数学工作者制定，供选用n2水平正交表：L8(27)、L4(23)、L16(215)等n3水平正交表有L9(34)、L27(313)等正交表特性：n 任一列中，不同数字出现的次数相等 例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，

5、它们各出现3次。n 任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等 例如 L8(27)中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次；L9(34)中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素和C因素不同水平的效应相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具

6、有可比性。正交表的类别 1、相同水平正交表 如L4(23)、L8(27)、L12(211)、L9(34)、L27(313)2、混合水平正交表 各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如L8(424)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。L8（27）列数，正交表上最多允许安排的因素个数列数，正交表上最多允许安排的因素个数 因素的水平数因素的水平数 实验的次数实验的次数 正交表的代号正交表的代号四、正交设计 【例】在进行矿物质元素对架子猪补饲试验中，考察补饲配方

7、、用量、食盐3个因素，每个因素都有3个水平。试安排一个正交试验方案。1 号试验处理是 A1B1C1，即配 方I、用量15g、食盐为0；2号试验处理是A1B2C2，即配方II、用 量 25g、食 盐 为 4g，；9号试验处理为A3B3C2，即配方III、用量20g、食盐4g。2、正交试验结果的统计分析 n单独观测值正交试验n重复观测值正交试验n因素间有交互作用 一.单独观测值正交试验结果的方差分析 总变异=处理间+误差处理间=A因素+B因素+C因素 SST=SSA+SSB+SSC+SSe dfT =dfA +dfB+dfC+dfe 用n表示试验次数；a、b、c表示A、B、C因素各水平重复数；ka

8、、kb、kc表示A、B、C因素的水平数。本例，n=9、a=b=c=3、ka=kb=kc=3 Ti为各因素同一水平试验指标（增重）之和。如 A因素第1水平 T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2，A因素第2水平 T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3，A因素第3水平 T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；同理可求得同理可求得C因素各水平试验指标之和。因素各水平试验指标之和。为各因素同一水平试验指标的平均数。如A因素第1水平 =197.2/3=65.7333，A因素第2水平 =200.3/3=66.7667，A因素第3

9、水平 =214.6/3=71.5333。同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数。1x2xx3x 矫正数矫正数 C=T2/n=612.12/9=41629.6011 总平方和总平方和 SST=y2-C =63.42+68.92+73.72-41629.6011 =101.2489 2AT2BT C因素平方和 SSC=T2C/c-C =(198.72+206.92+206.52)/3 误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC =101.2489 57.4289 15.1089 列出方差分析表，进行F 检验n三个因素对增重的影响都不显著n原因：可能试验误差大 误差自由度小(仅为2)，灵

10、敏度低n 各因素对增重影响都不显著，不再进行各因素水平间的多重比较n 直观从表中选择平均数大的水平组合成最优水平组合：A3B3C2。二.有重复值正交试验结果方差分析 试验重复了两次，且重复采用随机区组设计，试对其进行方差分析 用n表示试验(处理)号数，r 表示试验处理重复数。a、b、c、ka、kb、kc意义同上 此 例 n=9、r=2、a=b=c=3、ka=kb=kc=3总变异=处理间+单位组间+误差(试验误差)处理间变异=A因素+B因素+C因素+误差(模型误差：交互作用)SST=SSt+SSr+SSe2 dfT=dft +dfr+dfe2 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft =

11、dfA+dfB+dfC+dfe1SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2 矫正数（校正数）C =T2/(rn)=1347.42/(29)=100860.3756处理间平方和 SSt =T2t/r C =(130.82+156.12+166.52)/2 100860.3756 =819.6244 A因素平方和 SSA =T2A/ar-C =(418.12+441.72+487.62)/32 100860.3756 =416.3344 总自由度 dfT=rn-1=29-1=17 单位组自由度 dfr=r-1=2-1=1

12、处理自由度 dft=n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA=ka-1=3-1=2 B因素自由度 dfB=kb-1=3-1=2 C因素自由度 dfC=kc-1=3-1=2列出方差分析表，进行 F 检验n首先检验MSe1与MSe2差异的显著性 若不显著，则计算合并误差 若F检验显著，说明存在交互作用,不能合并。本例MSe1/MSe21，MSe1与MSe2差异不显著，合并的误差MSe，即 MSe=(SSe1+SSe2)/(dfe1+dfe2)=(15.2012+315.6845)/(2+8)=33.09 A因素各水平平均数的多重比较 此例因模型误差不显著 ，可认为因素间不存在显著的交互作用。可由

13、A、B、C因素的最优水平组合成最优水平组合。n A因素的最优水平为A3；n B、C因素可任选一水平。可选B2及C2n 最优水平组合为A3B2C2，即配方III、用量25克、食盐4克。因素间交互作用显著，应进一步试验，分析因素间的交互作用。三.因素间有交互作用的正交设计与分析注意：表头设计和结果分析。【例】某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 3种成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一个正交试验方案并进行结果分析。蛋白胨 NaCl 琼脂粉选用正交表，作表头设计 3个两水平的因素和2个交互作用；各项自由度之和为：3(2-1)+2(2-1)

14、(2-1)=5，因此可选用L8(27)来安排试验方案。正交表L8(27)中有基本列和交互列可利用L8(27)二列间交互作用列表来安排各因素和交互作用。4因素及6个交互作用，自由度总和为416110，而L8(27)表却只有817个自由度，容纳不下，只能选用更大正交表的L16(215)来做表头设计，如果将A因素放在第1列，B 因素 放在第 2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列，于是将 A与B 的交互作用 AB放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列，查表可知，BC应放在第6列，余下列为空列，如此可得表头设计。(二)列出试验方案 根据表头设计，将A

15、、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方案表。(三)结果分析 按所列的试验方案进行试验。总变异A因素、B因素、C因素、AB、BC、与误差变异5部分 SST=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSBC+SSe dfT=dfA +dfB+dfC+dfAB+dfBC+dfe ix =1431.1250 B因素平方和 SSB=T2B/b-C =(3392+3262)/455278.1250=21.1250 C因素平方和 SSC=T2C/c-C =(3532+3122)/4 55278.1250=210.1250 AB平方和 SSAB=T2AB/4 C =(2 3 32+4

16、3 22)/4 55278.1250 =4950.1250 BC平方和 SSBC =T2BC/4 C =(3272+3382)/4 55278.1250 =15.1250 误差平方和 SSe=SSTSSASSBSSABSSBC =6742.87501431.125021.1250 210.12504950.125015.1250 =115.2500 2、列出方差分析表，进行F检验 F 检验结果表明：nA因素、AB交互作用有统计学意义nB、C因素及BC交互作用无统计学意义。选出A与B的最优水平组合A与B各水平组合的多重比较 先计算出A与B各水平组合的平均数：A1B1水平组合的平均数=(55+38

17、)/2=46.50 A1B2水平组合的平均数=(97+89)/2=93.00 A2B1水平组合的平均数=(122+124)/2=123.00 A2B2水平组合的平均数=(79+61)/2=70.00 进行两两处理平均数间的比较，判断两两处理平均数间的差异显著性。多重比较的方法甚多，常用:最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法)；实际利用q检验法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数多重比较表；(2)由自由度dfe、秩次距k查临界q值，计算最小显著极差LSR0.05,k，LSR0.01,k；(3)将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差LSR0.05,k,LSR

18、0.01,k比较，作出统计推断。xkdfkxkdfkSqLSRSqLSRee),(01.0,01.0),(05.0,05.0 列出A、B因素各水平组合平均数多重比较表37.52/625.572/exMSS 多重比较结果表明，A2B1显著优于A2B2，A1B1；A1B2显著优于A1B1，其余差异不显著。最优水平组合为A2B1 从以上分析可知，A因素取A2，B因素取B1，若C因素取C1，则本次试验结果的最优水平组合为A2B1C1 注意，此例因dfe=2，F检验与多重比较的灵敏度低。为了提高检验的灵敏度，可将F1的SSB、SSBC合并，得合并的误差均方，再用合并误差均方进行F检验与多重比较。A A1 A2 B B1 93 246B2 186 140 C C1 C2 B B1 177 162B2 176 150 210 210180 180150 150120 12090 90 B1 B2 B1 B2 期 中 大 作 业1.运用所学生物医学统计学知识设计一个实验并分析：体育锻炼对成年人心率的影响。(要求有原始数据)2.运用方差设计及分析找出所做实验的最佳条件(本科科研训练)选做其一选做其一