1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)

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1、 1.1 分类加法计数原理与分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（一）分步乘法计数原理（一）第一章 计数原理人教A版选修2-3情景1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？情景情景2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ABCDYZ0123456789探究：探究：你能说说以上两个问题的特征吗？问题解析问题完成此事需要几类方案两类每类方案能否独立完成能 完成一件事有两类不同方案，完成一件事有两类不同方案，在第在第1类方案中有类方案中有m种不同的方法，种不同的

2、方法，分类加法计数原理分类加法计数原理在第在第2类方案中有类方案中有n种种不同的方法。不同的方法。那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法种不同的方法例例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各自有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下：两所大学各自有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下：A A大学大学 生物生物 化学化学 医学医学 物理物理 工程学工程学 B B大学大学 数学数学 会计学会计学 信息技术学信息技术学 法学法学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？解：在解：

3、在A大学中有大学中有5种专业选择，在种专业选择，在B大学中有大学中有4种专业选种专业选择方法。由于没有一个专业是两所大学共有，因此根据分择方法。由于没有一个专业是两所大学共有，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能选择的专业共类加法计数原理，这名同学可能选择的专业共5+4=9(种种)变式：如果在变式：如果在A大学中有数学专大学中有数学专业，那么这名高中生可选择的专业，那么这名高中生可选择的专业有业有6+4=10种吗？种吗？变式：变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种

4、不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有种m3不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？探究探究:如果完成一件事情有n类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？m1+m2+m3分类计数原理（加法原理）完成一件事有类办法完成一件事有类办法,在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同种不同的方法的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在在第类办法中有第类办法中有mn种不同的方法种不同的方法那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N m1 +m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法关于分类加法计数原理的几点注记：各类办法之间各类

5、办法之间相互独立相互独立，都能完成都能完成这件事这件事.(2)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，分类应做完成这件事的任何一种方法必属于某一类，分类应做到到不重不漏不重不漏 情景3 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有多少种不同的走法？所有走法火车1汽车1火车1汽车2火车2汽车1火车2汽车2火车3汽车1火车3汽车232=6情景4用前用前6个大写英文字母个大写英文字母AB

6、CDEF和和19九个阿拉九个阿拉伯数字，以伯数字，以A1，A2的方式给教室里的座位编的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？号，总共能编出多少个不同的号码？A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9B123456789B1B2B3B4B5B6B7B8B969=54问题解析问题完成此事需要几步两步每步能否独立完成不能分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，完成一件事需要两个步骤，做第做第1步有步有m种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有n种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=mn种不同的方法种不同的方法例例2 设

7、某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生24名，现要从中选出男、名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤。第一分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤。第一步选男生，第二步选女生。步选男生，第二步选女生。解：第一步，从解：第一步，从30名男生中选出名男生中选出1人，有人，有30种不同种不同选择；选择；第二步，从第二步，从24名女生中选出名女生中选出1人，有人，有24种不同选择种不同选择根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有 3024720种不同的选法。种不同的选法

8、。答：共有答：共有720种选法。种选法。探究：探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同m1的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？m1 m2 m3（乘法原理）（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，完成一件事，需要分成个步骤，种不同方法种不同方法m m1 1 m m2 2 m mn n做第做第1步有步有m m1 1 种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有m m2 2 种不同的方法种不同的方法做第步有做第步有m mn n种不同的方法种不同的

9、方法那么完成这件事共有那么完成这件事共有分步计数原理分步计数原理关于分步乘法计数原理的几点注记：（1）各个步骤之间）各个步骤之间相互依存相互依存，缺一不可。，缺一不可。（2）完成这件事的任何一种方法必须并且只需连）完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤续完成每一个步骤 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一

10、步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的并列的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：解：解：从书架上任取一本书，有从书架上任取一本

11、书，有3类办法：类办法：第第1类办法是从第类办法是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；第第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第3类办法是从第类办法是从第3层取一本体育书，有层取一本体育书，有2种方法种方法根据根据分类计数原理分类计数原理，不同取法的种数是，不同取法的种数是N=4+3+2=9答：从书架上任取答：从书架上任取1本书，有本书，有9种不同的取法种不同的取法.例例3书架的第一层放有书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有本不同的计算机书，第二层放有3本不同本不同的文艺书，第的文艺书，第3层放有层放有2本不同的

12、体育书本不同的体育书（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？层各取一本书，有几种不同的取法？例例3书架的第一层放有书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有本不同的计算机书，第二层放有3本不同本不同的文艺书，第的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？层各取一本书，有几种不同的取法？解解:(2)从书架的第从书

13、架的第1，2，3层各取层各取1本书，可以分成本书，可以分成3个个步骤完成：步骤完成：根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N=432=24答：从书架的第答：从书架的第1，2，3层各取层各取1本书，有本书，有24种不同种不同的取法的取法.第第3个步骤是从第个步骤是从第3层取一本体育书，有层取一本体育书，有2种方法种方法第第2个步骤是从第个步骤是从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第1个步骤是从第个步骤是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；例：用例：用5 5种不同颜色给图中种不同颜色给图中A A，B B，C C

14、，D D四个区域涂色，每个区域只涂四个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻区域的颜色不同，一种颜色，相邻区域的颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？求共有多少种不同的涂色方法？A AD DC CB BN N5 54 43 33 3180180（种）（种）5 54 43 33 3例例4 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，分别挂在幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从解：从3幅画中选出幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：以分两个步骤完成：第

15、二步，从剩下的第二步，从剩下的2幅画中选幅画中选1幅挂在右边墙上，有幅挂在右边墙上，有2种选法。种选法。根据分布乘法计数原理，不同挂法的种数是根据分布乘法计数原理，不同挂法的种数是N=32=6第一步，从第一步，从3幅画中选出幅画中选出1幅挂在左边墙上，有幅挂在左边墙上，有3种种选法；选法；答：共有答：共有6种不同的挂法。种不同的挂法。左边甲已丙右边已丙甲丙已甲挂法甲左已右甲左丙右已左甲右已左丙右丙左已右丙左甲右 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？班，有多少种不同的选法？6种选法可以表示如下：种选法可以表示如下：日班日

16、班晚班晚班甲乙甲乙甲丙甲丙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙解：分为两步解：分为两步第一步在第一步在3人中选人中选1人在周日当班人在周日当班共共3种种第二步，在剩下的两人中选一人第二步，在剩下的两人中选一人在周六当班，共在周六当班，共2种种一共的选法为一共的选法为32=6pg6练习1,2变式：变式：已知直线已知直线Ax+By+1=0,若若A,B从从-5,-3,-1,0,2,4,7这这7个数中选取不同的两个数个数中选取不同的两个数,求斜率小于求斜率小于0的直线有的直线有_条条.从从0，1，2，3，5，7，11中任取中任取3个元素分别作为个元素分别作为直线方程直线方程Ax+By+C=0中的系数中的系

17、数A,B,C,所得经过坐标所得经过坐标原点的直线有原点的直线有_条。（条。（ABC互不相等）互不相等）课堂延伸课堂延伸30121.本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？答答:分类记数原理分类记数原理和和分步记数原理分步记数原理。2.分类记数原理分类记数原理和和分步记数原理分步记数原理的共同点是什么？的共同点是什么？不同点什么？不同点什么？小结3.何时用何时用分类记数原理分类记数原理、分步记数原理分步记数原理呢呢?4张卡片的正、反面分别张卡片的正、反面分别0与与1，2与与3，4与与5，6与与7，将其中，将其中3张张卡片排放在一起，可以组成多少卡片排放在一起，可以组成多少个不同的三位

18、数？个不同的三位数？1（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(假设冠军只有一人假设冠军只有一人)，共有多少种可能的结果，共有多少种可能的结果2有有4部车床，需加工部车床，需加工3个不同的零件，其不同个不同的零件，其不同的安排方法有多少种？的安排方法有多少种？3设集合设集合A1，2，3，4，B5，6，7，则从则从A到到B的所有不同映射的个数是：的所有不同映射的个数是：A.81B.64C.12D.274集合集合M1，2，3，4的子集个数是：的子集个数是：A.6B.8C12D.16作业作业P50 1