网络图论集网络方程

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1、1第十章第十章 网络图论及网络方程网络图论及网络方程 网络分析主要问题：网络分析主要问题：1）选择独立变量选择独立变量2）列写网络方程列写网络方程3）网络方程求解网络方程求解拓扑学理论拓扑学理论矩阵代数方程矩阵代数方程计算机应用计算机应用210-1 基本定义和概念基本定义和概念一、网络拓扑图一、网络拓扑图 1、支路支路(Branch)：每个元件代表一条每个元件代表一条支路，用线段表示。支路，用线段表示。2、节点节点(Node)：每一条支路的端点。每一条支路的端点。3、图（图（Graph)：支路与节点的集合支路与节点的集合。连连 通通 图图 非连通图非连通图 有有 向向 图图 无无 向向 图图

2、平平 面面 图图 非平面图非平面图 孤立节点孤立节点 自自 环环 子子 图图 母母 图图34、标准支路标准支路二、树、回路、割集二、树、回路、割集 1、树（、树（Tree):连通图连通图G的一个子图，满足：的一个子图，满足：1）连通图）连通图 kUkI+-树支树支：构成树的所有支路构成树的所有支路 树支数树支数 n-1n-1 n:n:节点数节点数 连支连支：不属于树的支路（树余）不属于树的支路（树余）连支数连支数 b-(b-(n-1)n-1)b:b:支路数支路数2）含有）含有G全部节点全部节点3）无回路无回路42、回路（、回路（Loop)基本回路：基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。单连

3、支回路，连支方向为回路方向。回路是连通图回路是连通图G G的一个子图，的一个子图，满足：满足：1 1）连通图）连通图 2 2）每个节点仅关联两条支路）每个节点仅关联两条支路 3 3）移去任一支路，则无闭合）移去任一支路，则无闭合路径路径3、割集（、割集（Cut)割集是连通图割集是连通图G G的一些支路的集合，满足：的一些支路的集合，满足：1 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；移去该支路集合，则图恰好分成两部分；2 2）少移一条支路，则图连通。）少移一条支路，则图连通。基本割集：基本割集：单树支割集，树支方向为割集方向。单树支割集，树支方向为割集方向。510-2 关联矩阵关联矩阵一、节点关

4、联矩阵一、节点关联矩阵A1 1、增广关联矩阵、增广关联矩阵A Aa a行：行：代表节点序号代表节点序号列：列：代表支路序号代表支路序号矩阵元素取值矩阵元素取值:011ija同向关联：支路同向关联：支路j j与节点与节点i i关联关联,支路支路j j方向方向离开节点离开节点i i。反向关联：支路反向关联：支路j j与节点与节点i i关联关联,支路支路j j方向方向指向节点指向节点i i。无关联：支路无关联：支路j j与节点与节点i i没有关联。没有关联。2 2、降阶关联矩阵、降阶关联矩阵A A011010110100000111101001aA6二、回路关联矩阵二、回路关联矩阵B 3 1 2 1

5、 1、回路关联矩阵、回路关联矩阵B B行：行：代表回路序号代表回路序号列：列：代表支路序号代表支路序号矩阵元素取值矩阵元素取值:011ijb反向关联：支路反向关联：支路j j与回路与回路i i关联关联,支路支路j j方向方向与回路与回路i i方向相反。方向相反。无关联：支路无关联：支路j j与回路与回路i i没有关联。没有关联。2 2、基本回路关联矩阵、基本回路关联矩阵B Bf f同向关联：支路同向关联：支路j j与回路与回路i i关联关联,支路支路j j方向方向与回路与回路i i方向一致。方向一致。7三、割集关联矩阵三、割集关联矩阵C1 1、割集关联矩阵、割集关联矩阵C C行：行：代表割集序

6、号代表割集序号列：列：代表支路序号代表支路序号矩阵元素取值矩阵元素取值:011ijc反向关联：支路反向关联：支路j j与割集与割集i i关联关联,支路支路j j方向方向与割集与割集i i方向相反方向相反。无关联：支路无关联：支路j j与割集与割集i i没有关联。没有关联。2 2、基本割集关联矩阵、基本割集关联矩阵Cf同向关联：支路同向关联：支路j j与割集与割集i i关联关联,支路支路j j方向方向与割集与割集i i方向一致方向一致。8 对于一个有向图，对于一个有向图，选一棵树，支路编号选一棵树，支路编号先树支后连支。则有先树支后连支。则有：或或ltAAA ltBBB ltCCC 1tBlC1

7、TtlBCTltCBTtlBCltTtAAB1ltAA1故有：故有：110100001110011001A100110010111001011fB110100111010011001fC四、四、A、Bf、Cf关系关系9习题：习题：10-7 求求Bf、CffB树支：树支：1、2、3、5、91110876495321 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0-1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 11tBlfC

8、C1TtlBCfC 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 0 -1 1 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -11010-3 节点法节点法一、标准支路伏安关系一、标准支路伏安关系二、矩阵形式支路伏安关系二、矩阵形式支路伏安关系:或或skskkkkkUIZIZUskskkkkkIUYUYIs ss sb bb bb bb bU UI IZ ZI IZ ZU UssI IU UY YU UY YI Ib bb bb bb b或或其中：其中：支路阻抗矩阵:bZ支

9、路导纳矩阵:bY列向量分别为支路电流、电压、bbUI压源列向量分别为支路电流源、电、ssUI11110100000111101001Au1 =un2 un1u2 =un2u3 =un2 un3u4 =un1u5 =un3u6 =un3 un1三、支路电压与节点电压关系三、支路电压与节点电压关系:其中：其中：四、支路电流关系：四、支路电流关系：nnnI IU UY Y0 0I IA Ab bn nT Tb bU UA AU U（矩阵形式的（矩阵形式的KCL）五、五、节点电压方程节点电压方程（矩阵形式的（矩阵形式的KVL）(bx1)(nx1)(bxn)(bx1)(nxb)(nx1)(nx1)(nx

10、n)-i1 +i4 i6 =0 i1+i2+i3 =0-i3 +i5+i6 =0（节点导纳矩阵）（节点导纳矩阵）（节点电流源列向量）（节点电流源列向量）)(ssbbI IU UY YU UY YI Ib bb bT Tb bn nA AA AY YY YssnU UA AY YI IA AI Ib b12六、节点法基本步骤：六、节点法基本步骤：1、画出拓扑图，选参考点，其余节点编号；、画出拓扑图，选参考点，其余节点编号；2、支路编号，规定支路方向；、支路编号，规定支路方向；3、写出矩阵：、写出矩阵：；、ssbUIYA4、求：、求：TbnAAYY 5、解：、解：sbsnUAYIAInnnIUY6

11、、求：、求：nTbUAUssbbbbIUYUYI13100100011101001 A例：例：利用节点法求图示电路各支路电流、利用节点法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。支路电压和各支路消耗功率。12345解：解：01000Us10000Is1000002000003000001000001YbTbnAAYYsbsnUAYIAInnnIUY21015101310214七、含互感电路分析七、含互感电路分析例：例：利用节点法求图示电路各支路电压。利用节点法求图示电路各支路电压。123 4sUIRU1113222IMjILjU2333IMjILjU4441ICjUUI ZUsbbb43

12、21bCj10000LjMj00MjLj0000RZ1bbZY4231bCj0000/L/M00/M/L0000R/1YTbnAAYY sbsnUAYIAInnnIUY)MLL(j232其中15八、含受控电流源电路分析八、含受控电流源电路分析 2、利用节点法求图示电路各支路电流。、利用节点法求图示电路各支路电流。123451、含有受控源的标准支路、含有受控源的标准支路s ss sb bb bb bb bI IU UY YU UY YI I544321bR/1C2 j0000Cj00000Lj100000R/100005R/1YUAYIAUAAYsbsnTb16含受控电流源一般处理方法：含受控电

13、流源一般处理方法：2、考虑受控源修正考虑受控源修正Ybo为为Yb:1、暂不考虑受控源建立、暂不考虑受控源建立Ybo;544321bR/1C2 j0000Cj00000Lj100000R/100005R/1Y54321obR/100000Cj00000Lj100000R/100000R/1Y1)控制量用支路电压表示；控制量用支路电压表示；2）参考标准支路规定进行修正：参考标准支路规定进行修正：受控源所在行、控制量所在列：填写控制系数受控源所在行、控制量所在列：填写控制系数17九、改进节点法（恒压源处理）九、改进节点法（恒压源处理）2、整理、化简方程、求解、整理、化简方程、求解 123451、设恒

14、压源电流，列写电路方程、设恒压源电流，列写电路方程6I6I41810-4 基本回路法基本回路法一、标准支路伏安关系一、标准支路伏安关系二、矩阵形式支路伏安关系二、矩阵形式支路伏安关系:skskkkkkUIZIZUssbbbbUIZIZU其中：其中：支路阻抗矩阵:bZ三、支路电压关系三、支路电压关系:0UBbf（矩阵形式的（矩阵形式的KVL）u4 -u2+u1 =0 u5-u2+u3 =0 u6 -u1+u3 =0 100101010110001011Bf19四、支路电流与基本回路电流关系：四、支路电流与基本回路电流关系：其中：其中：（回路阻抗矩阵）（回路阻抗矩阵）TfbflBZBZ slllU

15、IZIZBUBI BZBsbfsflTfbflTfbIBI（回路电压源列向量）（回路电压源列向量）（矩阵形式的（矩阵形式的KCL）五、五、基本回路电流方程基本回路电流方程i1 =iL1-iL3i2 =-iL1-iL3 i3 =iL2+iL3 i4 =iL1i5 =iL2i6=iL3 100101010110001011Bf0UBbfssbbbbUIZIZUlTfbIBIsbfsfslIZBUBU20六、基本回路法基本步骤：六、基本回路法基本步骤：1、画出拓扑图，选一棵树；、画出拓扑图，选一棵树；2、支路编号、支路编号(先树支后连支或反之先树支后连支或反之)，规定支路方向；，规定支路方向；3、写

16、出矩阵：、写出矩阵：；、ssbfUIZB4、求：、求：5、解：、解：6、求：、求：TfbflBZBZ sbfsfslIZBUBUslllUIZlTfbIBIssbbbbUIZIZU21 例：例：利用基本回路法求图示电路各支利用基本回路法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。路电流、支路电压和各支路消耗功率。12345解：解：1011001101Bf1000002/1000003/1000001000001Zb01000Us10000I sTfbflBZBZ 3/123/13/12/13/11sbfsfslIZBUBU11slllUIZ25/1325/16I llTfbIBI2210-

17、5 基本割集法基本割集法一、标准支路伏安关系一、标准支路伏安关系二、矩阵形式支路伏安关系二、矩阵形式支路伏安关系:其中：其中：三、支路电流关系三、支路电流关系:skskkkkkIUYUYIssbbbbIUYUYI支路导纳矩阵:bY0ICbf（矩阵形式的（矩阵形式的KCL）110100011010101001Cfi1 -i4+i6 =0i2+i4+i5 =0i3 -i5 -i6 =0 23四、支路四、支路电压电压与基本与基本割集电压割集电压关系：关系：其中：其中：（割集导纳矩阵）（割集导纳矩阵）TfbftCYCY stttIUYsbfsfstUYCICItTfbUCU（割集电流源列向量）（割集电

18、流源列向量）五、五、基本割集电压方程基本割集电压方程（矩阵形式的（矩阵形式的KVL）110100011010101001Cfu1 =uC1u2 =uC2u3 =uC3u4 =uC2 uC1u5 =uC2 uC3u6 =uC1 uC3ssbbbbIUYUYI0ICbftTfbUCUUYCICUCYCsbfsftTfbf24六、基本割集法基本步骤：六、基本割集法基本步骤：1、画出拓扑图，选一棵树；、画出拓扑图，选一棵树；2、支路编号、支路编号(先树支后连支或反之先树支后连支或反之)，规定支路方向；，规定支路方向；3、写出矩阵：、写出矩阵：；、ssbfUIYC4、求：、求：5、解：、解：6、求：、求

19、：TfbftCYCY sbfsfstUYCICIstttIUYtTfbUCUssbbbbIUYUYI25例：例：利用基本割集法求图示电路各支路电流、支路电压和各利用基本割集法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。支路消耗功率。12345解：解：111001001001001Cf1000002000003000001000001Yb01000Us10000IsTfbftCYCY 612120203sbfsfstUYCICI112stttIUY11316251Ut26几种分析方法小结：几种分析方法小结：节点电位法节点电位法基本回路法基本回路法基本割集法基本割集法基本变量基本变量关联矩阵关

20、联矩阵支路伏安关系支路伏安关系矩阵形式矩阵形式KVL矩阵形式矩阵形式KCL网络方程网络方程其中相关矩阵：其中相关矩阵：0ICbf0IAb0UBbfssI IU UY YU UY YI Ib bb bb bb bssI IU UY YU UY YI Ib bb bb bb bssbbbbUIZIZUnbU UA AU UT TlfbI IB BI IT TtfbU UC CU UT TnU UlI ItU UstttIUYnnnIUYTfbftCYCY sbfsfstUYCICITbnAAYY sbsnUAYIAIslllUIZTfbflBZBZ sbfsfslIZBUBUA AfB BfC C

21、2710-6 特勒根定理特勒根定理 (Tellegens Theorem)一、一、特勒根定理特勒根定理:1、定理一：、定理一：设网络有设网络有n n个节点、个节点、b b条支路。条支路。支路电压为支路电压为 u u1 1、u u2 2、u ub b；支路电流为支路电流为 i i1 1、i i2 2、i ib b。则有：则有：定理证明定理证明 意义意义:功率功率守恒定理守恒定理02211bbiuiuiu0:1kbkkiu或0iuT282、定理、定理 二二:设网络设网络N有有n n个节点、个节点、b b条支路条支路:定理证明定理证明 意义意义:似功率似功率守恒守恒02211bbiuiuiubbii

22、iuuu、支路电流、支路电压2121:;:bbiiiuuu、支路电流、支路电压2121:;:设网络设网络有有n n个节点、个节点、b b条支路条支路:且网络且网络N与网络与网络拓扑图完全相同，则拓扑图完全相同，则02211bbiuiuiu29二、应用二、应用1、复功率守恒定理的证明、复功率守恒定理的证明01bkkS证明证明:0IU*kk正弦激励下两个网络正弦激励下两个网络N和和具有相同的拓扑结构：具有相同的拓扑结构：;UUU:b21、支路电压;III:b21、支路电流网络网络N：b b条支路条支路:网络网络：b b条支路条支路:;UUU:*b*2*1、支路电压;III:*b*2*1、支路电流（

23、各网络中支路电流与支路电压方向关联（各网络中支路电流与支路电压方向关联）由特勒根定理，有由特勒根定理，有0IUk*k0S*k0)jQP(kk0Pk0Qk（无物理意义）（无物理意义）302、互易定理证明、互易定理证明证明：证明：oossIUIU则在数值上若在数值上,注：注：P为无任何电源的网络。为无任何电源的网络。İ1İ2*1U*2U1U2U由于两个网络由于两个网络N和和具有相同的拓扑结构，具有相同的拓扑结构，由特勒根定理，有由特勒根定理，有代入上式，有代入上式，有0)IU(IUIU*kk*22*110)IU(IUIUk*k2*21*1kkkIZU又因*kk*kIZU0)IIZ(IUIU*kkk

24、*22*110)IIZ(IUIUk*kk2*21*12*21*1*22*11IUIUIUIU二式相减，有二式相减，有ossoIU)I(U（得证）（得证）İ1*İ2*313、举例、举例例例1、图示网络中，图示网络中，5 电阻消耗电阻消耗功率为功率为125W，求求I Is2。1u2u1u2u解：解：由特勒根定理，有由特勒根定理，有0)iiR(iuiukkk22110)iiR(iu iu kkk2211二式相减，有二式相减，有2211iuiu2211iu iu u1 =10V,u2=5V i1 =-2A,i2 =0 11i5uA5RPi1A20iI22s32 例例2、图示网络中，已知：图示网络中，已知：R R2 2=2=2:U:U1 1=4V,I=4V,I1 1=2A,=2A,U U2 2=2V;=2V;R R2 2=1=1:U:U1 1=6V,I=6V,I1 1=3.6A,=3.6A,求求U U2 2=?=?解：解：由特勒根定理，有由特勒根定理，有0)IIR(IU)I(Ukkk22110)IIR(IU)I(Ukkk22112211IU)I(U2211IU)I(UU1 =4V,U2=2V I1 =2A,I2 =1A V6U1A6.3I222I1UA4.2I2V4.2U2二式相减，有二式相减，有