考研定积分应用详解.ppt

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1、1 第六章 定积分的应用 若能把某个量表示 成定积分 ,我们就可以 应用定积分计算这个量 2 ()i i iA f x ， 1i i ixx ， (3) 求和， 1 ( ) . n ii i A f x (4) 求极限， 0 1 l i m ( ) n ii i A f x 相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形， 小窄曲边梯形的面积为 ,iA 则 1 n i i AA (2)计算 iA 的近似值， 而第 i个 (1)把区间 a,b分成 n个长度为 ix 的小区间 ，, 1 ii xx 得 A的近似值 , 得 A的精确值 . 回顾： 曲边梯形的 面积 表示为 定积分 的步骤： a b x y

2、o A )( xfy ( )d b a f x x 1ix ix 3 a b x y o A ()y f x x dxx Ad 对以上过程进行简化 : 的面积， 则 xxfA d)( 取 ,x 面积元素 若用 A 表示任一小区间 , xxx d 上的窄曲边梯形 xxfA d)(lim .d)( b a xxf AA d,A记 为 ： d ( ) dA f x x则 ， dAA d A ( ) df x x ， 这种简化以后的定积分方法叫“ 微元法 ”或“元素法” 4 一、定积分的 元素法 1.什么问题可以用定积分（元素法）解决 ? 表示为 0 1 l i m ( ) n ii i U f x

3、1) 所求量 U 是与区间 a , b上有定义的 f (x) 有关的 2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过 “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限” ( ) dba f x x 0 1 l i m ( ) n ii i fx 定积分定义 一个整体量 ; 5 .d)( ba xxfU 第一步，根据具体情况 ， 选取积分变量， 确定 x的变化 区间 a,b. 第二步，把区间 a,b分成 n个小区间， 取一代表区间 ，, xxx d 求出该区间上所求量的部分量的 ；xxfU d)(d 称为量 U的微元 . 第三步，写出定积分的表达式： 近似表达式 这个方法通常叫做 元素法 x

4、如 ： 元素的几何形状常取为 : 条 ,带 ,段 ,环 ,扇 ,片 ,壳等 先作图 2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是： 6 3.使用元素法时应注意： (1) U是与一个变量 x的变化区间 a,b有关的量 . (2) U对于区间 a,b具有可加性， 则 U相应地分成许多 即如果把区间 a,b分成许多部分区间， 部分量， 而 U等于所有部分量之和 . 则 U在 a,b 上的值可由定积分 ( ) dU f x x ， 示为 (3) 在 a,b中任取的小区间 , xxx d 上的部分量 U 与区间长度 dx 可以通过 x的某函数 ()fx 乘积近似表 ( ) d b a f x x 来计算

5、. 7 1. 直角坐标系下平面图形面积的计算 ( 1 ) ( ) ( 0)y f x 设 曲 线 与 直 线 梯形的面积为 A. ba xxfA d)( ba ()y f x x o y x dxx dA X 型 (2)由曲线 ( ) ( ) , ,y f x y g x a x b ， ( ) ( ) f x g x 所围图形的面积 . 其面积元素为： d ( ) ( ) dA f x g x x ， 则面积为 ba xxgxfA d)()( 上曲线 下曲线 x dxx 二、定积分在几何学上的应用 8 dc yyA d)( dc yyyA d)()( ( 3 ) ( , 0)x y c d

6、以 为 曲 边 , 以 为 底 的 曲 边 梯 形 (4)由曲线 ( ) ( ) , ,x y x y c y d ， ( ) ( ) yy 所围图形的面积 . 其面积元素为： d ( ) ( ) dA y y y ， 则面积为 右曲线 左曲线 x o y ()xy ()xyc d x y o c d ()xy y+dy y y+dy y 的面积 A. Y 型 d ( ) dA y y 9 ( 5) ( ) , , ( )f x a b y f x当 在 上 有 正 有 负 时 设 曲 线 与 直 线 a b y x O ()y f x 1A 2A 3A xxfA d)(d xxfA d)(d

7、 总之 xxfA d)(d ba 1 ) ( ) 0fx 时 , 2) ( ) 0fx 时 , .d b a xy xxf d)( A 10 回顾：极坐标系 1. 极坐标系的定义： 在平面上取定一点 o， 叫做 极点 . 从极点出发引一条射线 Ox,叫 极轴 ， 并取定一个 长度单位 和计算角度的 正方向 (通常取 逆时针方向作正方向 ), 这样 就建立了一个 平面极坐标系 . x 1 2 3 4 o . 2. 极坐标与直角坐标的互化 c os , si n . x y 2 2 2 , t a n , ( 0 ) xy y x x x o y ( , ) ),( yx y x P P ( ,

8、) 0, 0 2 11 过点 M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程 c os a 过极点且倾角为 的射线的极坐标方程为 x o ( , )P y x o ( , )P . M b y c os , si n . x y 极坐标与直角坐标的 关系 : sin b 轴的直线方程为 过点 M 且平行于极 ( , )2b xa yb 3. 几个常用曲线的极坐标方程 x o y M(a,0) ( , )P 12 x o r y 圆极坐标方程 r o ( , )P x y 2a 2 c osa o ( , )P x y 2a 2 sina 圆极坐标方程 圆极坐标方程 axyx 222 ayyx 22

9、2 222 ryx ( , )P 13 2. 极坐标系下平面图形面积的计算 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . () x d 解 :在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 21d ( ) d2A 所求曲边扇形的面积为 21 ( ) d 2A o 21 2SR 圆 扇 形 d 14 3.已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于 x 轴的截面面积为 A(x), 则在小区间 的体积元素为： 立体体积为： 上连续 , x A(x) x a b ( ) db a V A x x d ( ) dV A x x dxx 15 (1)曲边梯形 2 ( )fx 旋转一周围成的旋

10、转体的体积为： dxb aV (2)曲边梯形 绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为： 2 ( ) y dyd c V x o y ()xy c d y ( ) dbaV A x x y 4.旋转体的体积 o a b x ()y f x x 16 a b y x o x dx 生成的旋转的体积 . 求旋转体体积 x+dx ( ) , , 0y f x x a x b y y 求 曲 边 梯 形 ， 绕 轴 旋 转 一 周 ()y f x 2 ()xf x 内表面积： d 2 ( ) dV xf x x 2 ( ) dby aV xf x x 柱壳法 17 a b y x o x dx 生成的旋转

11、的体积 . 求旋转体体积 柱壳法 x+dx ( ) , , 0y f x x a x b y y 求 曲 边 梯 形 ， 绕 轴 旋 转 一 周 ()y f x d 2 ( ) dV xf x x 2 ( ) dby aV xf x x ( )df x x 底面积： 18 围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周 所以：由连续曲线 ( ) , , ( )y f x x a x b a b x 直 线 及 轴 所 2 ( ) dby a V x f x x 类似地， 如果旋转体是由 连续曲线 ( ) ,xy 直 线 , ( )y c y d c d y 及 轴 所 围 成 x的 曲 边 梯 形 绕 轴

12、旋 转 一 周 2 ( ) ddx c V y y y dxxx y o a b x ()y f x 而成的立体的体积 . dyy y xo y ()xy c d 而成的立体的体积 . 19 5. 弧长 (数 1、数 2) y x o a b ()y f x 2 1 d ,b a s y x ( 1 ) ( )y f x直 角 坐 标 方 程 ： () : () xt yt (2)参数方程 .d)()( 22 ttts (3)极坐标方程 () () 22( ) ( ) d .s 注意 : 求弧长时积分上 下限必须 上大下小 d.ss 大 小 sd y xO )( xfy x xx d dx d

13、y ds 2 2 2( d ) = ( d ) ( d )s x y 2 2 2( d ) = ( d ) ( d )s x y 20 6.旋转体的侧面积 (数 1、数 2) 设平面光滑曲线 求 ( ) 0 ,fx 且 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . x y o a b d 2 dS ys 积分后得旋转体的侧面积 22 ( ) 1 ( ) db a fS x f x x 取侧面积元素 : a bx ()y f x 22 1 d .b x aA y y x ds x y o a b ()y f x ds (注意在不同坐标系 下 ds 的表达式 ) 21 dxxx y o a b

14、 x ()y f x dyy y xo y ()xy c dX 型 Y 型 2 ( ) dyyd y cV 2 ( ) d b x aV f x x 2 ( ) dby aV x f x x 2 ( ) ddx cV y y y ( ) dbaA f x x ( ) dd cA y y 请熟记以下公式： dba yx dd c xy 2 1 d , b as y x 22 ( ) 1 ( ) d .b x aA f x f x x 22 注意： 1) 以上公式都要求 2) 复杂图形应学会分割 . 3) 不能用公式时应会元素法 . ,.a b c d 4)若曲边梯形的曲边为参数方程 则上述公式可

15、以用定积分的换元法处理 . () ( ) . () xt t yt 5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程 则可转化为直角坐标系下的参数方程： ( ( ) , ) ( ) c os () ( ) si n x y 6)与弧长有关时 ,其限应 上大下小 . 23 s i n , c o s1 , . 0y x y x x x 求例 曲 线 及 所 围 成 .平 面 图 形 的 面 积 c osyx sinyx 2 解 : s i n c o sy x y x 与 的 交 点 2( , ) , 42坐 标 为 则 所 求 面 积 为 ： 0 c o s s in dA x x x 4 0 4 = ( c

16、 o s s in ) d ( s in c o s ) dx x x x x x =2 2. 典型例题分析 x y o 24 3 s i n ,2. 1 s i n 求 夹 在例 两 曲 线 的 内 部 平 面 图 形 的 面 积 . 解 : 21 ( ) d 2A 面 积 公 式 3 si n 1 si n = 解 方 程 组 6 得 ， 2262 120 6 112 ( ) d ( ) d 22 A 则 所 求 面 积 为 2262 0 6 ( 3 sin ) d ( 1 sin ) d x y o 25 3 ( 03. ),y x x A过 曲 线 上 点 作 切 线 使 该例 切 线

17、 与 曲 线 3 : 4xD及 轴 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 为 ， 求 ( 1 ) ( 2)A D x点 的 坐 标 ； 求 绕 轴 旋 转 一 周 所 得 立 体 的 体 积 . x y o 3yx A 0 x B 解： 300( 1 ) ( , ) ,A x x设 点 的 坐 标 为 2 31 , 3yx 则 切 线 方 程 为 2 33 0 0 0 1 ( ) , 3y x x x x 00 2 ,y x x 令 ， 得 0( 2 , 0 ) ,Bx 则 点 的 坐 标 为 依题意有 0 33 00 0 133 d , 24 xx x x x 0 1x 解 得 ， 0 1

18、y ， ( 1 , 1 ) .A则 点 的 坐 标 为 ( 2) Dx绕 轴 旋 转 所 得 的 体 积 为 122 3 0 1 13 ( ) d 3V x x 1 23 0 2= ( ) d . 5xx 1 26 例 4. 计算抛物线 2 24y x y x 与 直 线 所 围 平 面 图 形 解： 如图， V 8 0 2dxx 21 44 3 128 3 x 2 2yx o y 4yx (8,4) (2 , 2) x绕 轴 旋 转 一 周 而 成 的 旋 转 体 的 体 积 . xx分 析 ： 轴所 求 体 积 等 于 的方 平 面 图 形 绕上 轴 旋 转 一 周 而 成 的 旋 转 体

19、 的 体 积 . 求两曲线的交点 ).4,8(),2,2( 4 22 xy xy 4 8 2 ( ) db aV f x x 27 而成的 旋转体的体积 . 分析： 无公式可用 ,可用元素法 .如图 : 例 5. 0 , lny x e y x xe 求 由 及 所 围 图 形 绕 旋 转 解法 1:选择 y 作积分变量 , 0, 1 y x y o 1 e lnyx xe y dyy 2d ( ) dyV e e y则 1 2 0 ( ) d yV e e y 解法 2:选择 x 作积分变量 , 1 , xe x y o 1 e lnyx xe x dxx d 2 ( ) ln dV e x

20、 x x则 1 2 ( ) ln d eV e x x x 1 211( 2 ) 22ee 28 e 思考 :过坐标原点作曲线 轴围成平面图形 D. 解 : (1) 设切点的横坐标为 则所求切线方程为 由切线过原点知 的切线 . 该切线与 0 ,xe 故切线方程为 1yx e yxe D lnyx 1yx e 1 (2003考研 ) 1 1 1 ln d 2 eA e x x 1 (1) 求 D 的面积 ; (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 . 29 (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 . (2) 切线、 x 轴及直线 2 1 1 3Ve

21、所围三角形绕直线 旋转所得圆锥的体积为： 曲线、 x 轴及直线 1 2 2 0 ( ) d yV e e y 所围图形绕直线 旋转所 因此所求旋转体体积为： 2 12 5 1 2 3 6V V V e e 得旋转体体积为： e yxe D lnyx 1yx e 1 1 30 3 3 c os , si 6. n x a t y a t 例 设 曲 线 求 ( 1 )曲 线 所 围 成 的 图 形 的 面 积 ； 解 : 0( 1 ) 4 d aA y x 所 求 的 面 积 334 ( s in ) d ( c o s )a t a t 0 32 2 4 ( si n ) ( 3 c os )

22、 ( si n ) da t a t t t 2 4 22 0 12 sin c os da t t t 2 4 62 0 1 2 sin sin da t t t 2 3 ! ! 5 ! !1 2 4 ! ! 2 6 ! ! 2a 23 . 8 a 0 2 31 ( 2) x曲 线 所 围 成 的 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 所 得 立 体 的 体 积 ； 解 : 2 0( 2 ) 2 d a xV y x 所 求 的 体 积 3 2 30 2 2 ( si n ) d ( c os )a t a t 3 7 22 0 6 sin c o s da t t t 3 7 92 0 6 si

23、n sin da t t t 2 6 ! ! 8 ! ! 1 2 ( )7 ! ! 9 ! !a 332 . 105 a 3 3 c os , si 6. n x a t y a t 例 设 曲 线 求 32 ( 3) 求 曲 线 的 全 长 ； 解 : 2 0( 3 ) 4 1 d aS y x曲 线 全 长 2 3 3 2 0 24 ( c o s ) ( sin ) da t a t t 2 2 2 22 0 4 ( 3 c o s sin ) ( 3 sin c o s ) da t t a t t t 2 2 2 22 0 1 2 sin c o s ( sin c o s ) da

24、 t t t t t 2 0 1 2 sin c o s da t t t 2 0 1 2 sin d( sin )a t t 1 .6a 3 3 c os , si 6. n x a t y a t 例 设 曲 线 求 33 ( 4) x求 曲 线 绕 轴 旋 转 所 得 旋 转 曲 面 的 面 积 . 解 : 2 0( 4 ) 2 2 ( ) 1 ( ) d a xA f x f x x旋 转 曲 面 的 面 积 3 3 2 3 2 2 0 22 ( ) ( c o s ) (sin sin ) dat a t a t t 2 3 0 22 ( ( 3 sin c osin )d) sa

25、t t tat 2 0 42 si dn12 c o sta t t 25 2 0 112 sin 5at 212 .5 a 3 3 c os , si 6. n x a t y a t 例 设 曲 线 求 ds 34 (1)求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . (2) 计算摆线 的一拱与 y 0所围 成的图形分别绕 x 轴 ,y 轴旋转而成的立体体积 . (3) 计算摆线 的一拱的长度 . xx d y x 练习题： 35 提示 :计算摆线 平面图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解： 绕 x 轴旋转而成的体积为 2 2 0 d a xV y x 235 a P

26、280例 8 2 22 0 ( 1 c o ( 1 c o s ) ds) aa tt t xx d y ( si n ) ( 1 c os ) x a t t y a t x 用柱壳法求 较好 yV 2 02d a yV x y x 0 2 0 2x a t 2 ( sin )a t t ( 1 c os )at 2 2 dt 0 2 336 a2 32 02 ( s in ) ( 1 c o s ) da t t t t 36 证 : 2 2 1 0 1ds y x 2 22 0 1 c o s da x x 设正弦线的弧长等于 1,s 设椭圆的弧长等于 2,s 2 22 2 0 ( )

27、( ) ds x y t 例 7. 证明正弦线 si n ( 0 2 )y a x x 的弧长等于 椭圆 ( 0 2 )t 的周长 . 21 si ny a t co sxt 2 2 2 2 0 ( s in ) ( 1 ) ( c o s ) dt a t t 2 22 0 1 c o s da x x 12ss 故原结论成立 . 2 22 0 1 c o s da t t 37 试用定积分求圆 22( 5 ) 1 6y xx 绕 轴 旋 转 o x y 4 5 4 上 半圆为 下 22( 5 16 )x 402V dx 2160 求体积 : 解 : 方法 1 利用对称性 而成的环体体积 V

28、 及表面积 S . 方法 2 用柱壳法 dV 2 y 2x dy 9 14V 216 ( 5 ) dy y y 4 5 4 o x y y 4 2 02 2 0 1 6 dxx 5 4 s i nyt令 例 8. 38 o x y 4 5 4 上 半圆为 下 解 : 求侧面积 : 4 02 22 ( 5 1 6 )x 21dyx 上 S 4 02 22 ( 5 1 6 )x 21dyx 下 280 2 2 4 0 22 ( 5 12 6 ) ( 1) 16 xx x 22 2 2 ( 5 1 6 ) 1 ( ) d 16 xxx x 22 ( ) 1 ( ) d .b x aA f x f x

29、 x 0 2 4 1 d 16 160 x x 试用定积分求圆 22( 5 ) 1 6y xx 绕 轴 旋 转 而成的环体体积 V 及表面积 S . 例 8. 39 21 16 d y y 解：如图 21 16li m db b yy 1 1lim ( ) b b y 2 1 dyV x y 4 , 1 , 0 x y y x y 求 由 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 而 成 的 立体的体积 . x y o 1 1 4xy 例 9. 4 3 2( 1 1 3 2) 1y x x x 曲 线 , 直 线 及 轴 所年 数 围 的 平 面 图 形 .x绕 轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的

30、体 积 为 40 例 10. 在 x0 时为连续的非负函数 , 旋转一周所成旋转体体积 , 证明 : ( ) 2 ( ) .V t f t 证 : 利用柱壳法 d 2 ( ) ( ) dV t x f x x 则 0( ) 2 ( ) ( ) d tV t t x f x x 02 ( ) d tt f x x 02 ( ) d t x f x x 0( ) 2 ( ) d tV t f x x 2 ( )tf t 2 ( )tf t ( ) 2 ( )V t f t 故 x t dxx x y o ()y f x x t d 41 思考 : 求曲线 231yx 与 x 轴围成的封闭图形 绕直

31、线 y 3 旋转得的旋转体体积 . (94 考研 ) 解： 利用对称性 , y 01x2 2,x 12x24,x 故旋转体体积为 V 234 1 22 02 3 ( 2 ) dxx 1 22 03 6 2 ( 1 ) dxx 448 15 在第一象限 2 22 12 3 ( 4 ) dxx 21 B C A xo y 3 42 回顾： 变力沿直线所作的功 二、定积分在物理上的应用 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到 力的方向与运动方向平行 , 求变力所做的功 . xa b x xx d 在其上所作的功元素为 d ( ) dW F x x 因此变力 F(x) 在区间

32、上所作的功为 ( ) d .b a W F x x 解： 43 0 1 x 解 : 设木板对铁钉的阻力为 ( ) ,f x k x 第一次 锤击时所作的功为 1 1 0 ( ) dw f x x ,2 k 例 1. 用铁锤将一铁钉击入木板 ,设木板对铁钉的阻力与 铁钉击入木板的深度成 正比 , 在击第一次时 ,将铁钉击入 木板 1厘米 ,如果 铁锤 每次锤击 铁钉 所作的功相等 ,问锤 击第 二 次时 ,又将铁钉击入多少？ h 设两次击入的总深度为 厘米 h 2 0 ( ) d hw f x x 0 d h kx x 2 2 kh 依题意知 : 212ww 21 2 22 kkh 2,h 解 得 ： ( 2 1 ) .cm故第二次击入的深度为 P292第 5题 44 谢 谢 大 家！再见 例 2. 设有一长度为 l, 线密度为 (x) 的细直棒 , 求该棒的质量 m及平均密度 . 解： 建立坐标系如图 . l , d x x x 细棒上小段 对应的质量微元为 : d m ( ) dxx m xO x dxx 0 ( ) d l xx 平均密度为： 0 1 ( ) dl xx l