平面向量复习讲义

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1、平面向量复习讲义一向量有关概念:1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线 段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 +巫);I AB I4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记 作：ab,规定零向量和任何向量平行。提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平

2、行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性!(因为有0 );6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如下列命题：(1)若a = bl，则a = b。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同，终点相同。(3)若若aB = DC，则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形， 则 AB = DC。(5)若 a = b,b = c ,则 a = c。(6)若 a/b,b/c ,则 a/c。其中正确的是(答：(4) (5) 二向量的表示方法：1 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起

3、点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a, b, c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a = xi + yj = (x,y)，称(x,y)为向量a的坐 标，a = (x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。三平面向量的线性运算:(1) 向量加法: 三角形法则(“首尾相接，首尾连”，如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A ,作AB = a ,fffBC = b，则向量AC叫做a与b的和，记作a + b定：a + 0-= 0 + a=

4、a,FFF F F FF当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且I a + b | a |+| b |；MHIMI当a与b同向时，则a + b、a、b同向，且I a + b |=|a |+|b |,若I a |0时，加的方向与a的方向相同当久(1) 若AB =a+b，BC = 2a+8b，CD = 3(a-b)，求证：A、B、D 三点共线;(2) 试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.四.平面向量的基本定理：如果e和e是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数九、1 2 1k ，使a二九e +九e2 1 1 2 2我们把不共线的向量e和e叫做表示这一平

5、面内所有向量的一组基底。1 2向量的夹角：已知两个非零向量a、b，作OA = a , OB = b，则ZAOB=9，叫向量a、b的夹角,当0 = , a、b同向，当0 =180, a、b反向，当0 = 90, a与b垂直，记作a丄b。例1如图，在ABC中，E、F分别为AC. AB的上中点，BE与CF相交于G点，设AB =a, AC =b,试用a,b表示AG.用方程思想解决平面向量的线性运算问题： 例2如图所示，在AABO中，OC =1OA, OD=2B，AD与BC相交于点M,设OA =a， OB =b.试用a和b表示向量OM.解设 OM = ma + nb , 则AM 二 OM - OA 二

6、ma + nb - a = (m - 1)a + nb.AD 二 OD - OA 二 2ob - OA 二-a + 如.又TA、M、D三点共线，AM与AD共线.存在实数t，使得AM二tAD即 (m - 1)a + nb 二 t( - a +(m - 1)a + nb =- ta + gtb.m - 1 二-tt，消去 t 得,m - 1 =- 2n ,n = 2即卩 m + 2n 二 1.又 *.* CM 二 OM - OC 二 ma + nb-fa 二(m- a + nb , CB - OB - OC = b -步二-fa + b. 又TC、M、B三点共线，.CM与CB共线.存在实数，使得C

7、M-CB.(m-4) a + nb -片-4a+b),，消去得，4m + n - 1.丄丄 m-4-4t10-片由得m - *，n -辛，OM -* + b. 课堂练习：(1) 若a = (l,l)b = (1,-1),c = (1,2)，贝U C =(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e = (0,0), e = (1,-2)1 2C. e = (3,5), e = (6,10)12b. e=(-1,2),e=(5,7)1 213D e = (2,一3),e = U，-)1 2 2 4(答:B)；(3)已知AD,BE分别是AABC的边BC, AC上的中线，且AD = a,

8、BE = b，则BC可用向量 a, b表示为(4)已知 AABC 中，点D 在 BC 边上，且= 2D,，CD = r AB+ s AC，则r + s 的 值是_答：0)五平面向量的坐标运算：若在平面直角坐标系下，a=(x1，y1), b = (x2，y2)(1) 加法：a+b = (X+x2，y1+y2)(2) 减法:ab = gx2, y1_y2)(3) 数乘：九 a=(X x1，九 y1)(4) 向量的坐标：若A(x1，y1), B(x2，y2)，则AB = (x2 -珥匕- y,，个向量的坐标等于表示 此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。5)中点坐标：若A(x1，y1), B(x

9、2，y2),则线段AB的中点坐标为(i ?：7)向量相等：若a=(X, y1), b=(x2，y2),贝Ua = b ox = x12y = y1 2向量共线或平行：a=(x1，y1), b = (x2，y2)，若a/b，则x1 y2 = x2人.题型一 求向量的坐标例题 1】如图所示，若OA = 2,OA与x轴正方向夹角为30，求向量OA的坐标.【例题2】AABC的三个顶点的坐标分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8), D为BC的中点，求向量AB, AD, BC.题型二 由向量相等求参数的值【例题3】已知向量a = (x2 + y2,xy),b = (5,-2)，若a = b，求x,

10、y的值.题型三 平面向量的坐标运算1. 向量坐标运算的直接应用13【例题4】已知平面向量a = (i,i),b = (i,1)，则向量2ab =()A. (2,1) B. (-2,1)C. (1,2) D. (-1,2)2. 利用向量坐标运算求点的坐标【例题 5】已知 A(2,4), B(3,-1), C(-3,-4)且 CM = 3 CA, CN = 2 CB，求 M, N 的坐标.题型四平面向量平行的坐标运算【例题6】若向量a二(x,1),b二(4,x)，当x =时a与b共线且方向相同(答：2)；(2) 已矢知 a = (1,1)b = (4, x)， u = a + 2b， v = 2a

11、 + b，且 u/v，贝U x=(答：4)(3) 设 PA = (k,12),PB = (4,5), PC = (10,k)，则 k=时，A,B,C 共线（答:-2 或 11）六.平面向量的数量积（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量8与b,作OA =a, OB = b，则ZAOB=0 （0 0n）叫8与b的夹角.2.当0 = 180时，8与b反向;说明：1.当0=0时，8与b同向；3. 当0二90时，8与b垂直，记8丄b；4注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0。0180。（2）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是e，则数量|a |b| cos

12、 0 叫a与b的数量积，记作ab，即 有ab = |a|b|cos0，（0 0n）.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。其中0是a与b的夹角，同cos0（b|cos0 ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我 们规定0向量与任何向量的数量积为0.（3）两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1 ab o a-b = 02.当 a 与 b 同向时，a-b = lallbl；当 a 与 b 反向时，a-b = lallbl.特别的 a-a = lal2或 I a I二 a - ala-b| 0,且a. b不同向，a -b 0是0为锐角的必要非充分条件；当0为 钝角时，a b V0

13、,且a、不反向，a - b 0是0为钝角的必要非充分条件；当0为直角时，a b =0.（4）向量的投影：“投影”的概念：作图定义：lblcos0叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量;当0 = 0。时投影为IbI；当0 = 180。时投影为-IbI.向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影IbIcos0的乘积. （5）向量的运算律：123 如交换律:a+b=b+a, xCa)=(xp)a,H H a + b 丿+ c, a b c = a ,x(a+b )= x a+x b,结合律：a + b + c = 分配律： （九+卩）a=九a+卩a a b =

14、b a ；(+c), (a) b=x (a b)= a (xb)； H a + b c = a c + b c o当&为直角时投影为0;当&为锐角时投影为正值；当&为钝角时投影为负值;下列命题中： a (b- c) = ab- a c ； a (b c) = (a b) c ；(a-b)2 =| a I2-21 a I I b I + I b I2 ；若 a b = 0，则 a = 0 或 b = 0 ;若 a b = c b,则 a = c ； |a |2 = a2;(a b)2 = a2 b2 :(a -b)2 = a2 - 2a b + b2。其中正确的是. a（答：）6）向量的数量积的

15、坐标表示、模、夹角：123数量积：a b=x1x2+y1y2，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 向量垂直：a丄b o x1x2+y1y2=0向量的模长：若 a=（x, y）,则 I a I= x2 + y2, a2 =I a I2 = x2 + y2456a bx x + y y向量的夹角：若a=(x1，y1), b = (x2，y2),则 cos =la IIb #x2 + y2飞两点间的距离：若 A (x, y ), B (x , y )，则 I AB I= (x - x )2 + (y - y )21122v 1212a b x x + y y a在b方向上的正射影的数量为I

16、 a I cos = 亠 丛I b I#x; + y;x 2 +2课堂练习：1.已知I方1= 3 , I b 1= 5，且方方=12，则向量方在向量方上的投影为一12(答：M)2.已知a = （X,2X） , b = （3X ,2），如果a与b的夹角为锐角，则X的取值范围是41 （答：x 0且九鼻）；_bbi/3_bb3.已知AOFQ的面积为S，且OF fQ = 1，若2 S =，则OF,fQ夹角0的取值范围是/兀兀、（答：U乜）人4. ABC 中，I AB 1= 3 , I AC 1= 4 , I BC 1= 5，则 AB BC =答：9)；I IJT5已知a = (1尹=(opc=a+kb

17、，d = ab，c与d的夹角为z 则k等于答：1)；6.已知=2, b = 5,ab = 3，贝U a + b 等于(答:殛)； AA7已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么I a + 3b I =(答：厢)8已知a, b是两个非零向量，且，则a与a+b的夹角为七向量中一些常用的结论：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2) IIaIIbiiia土bi、同向或有o o ia+b 1=1 ai+ib ii a i -1 b ii=i a - b i ； 当 a、b 反向或有 o o i ab i=i a i+i b i ii a i - i b 旧 a+b i

18、 ； 当 a、不共线 o ii a i -1 b iii a 土 b a a i+i b i(这些和实数比较类似).(3 )在 AABC 中，若 A (x , y )，B (x , y )，C (x , y ),则其重心的坐标为112233x + x + x y + y + y、 I 33丿若/ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3, 4)、 心的坐标为。如（T, T），则/ABC 的重24（答：（-2,-）；3 3PA + PB + PC = 0 o P 为 PG = 3(PA + PB + PC) o G为AABC的重心，特别地AABC的重心； PA PB = PB PC = PC P

19、A o P 为 AABC 的垂心； 向量X(_A +丄匚)(X主0)所在直线过AABC的内心(是ZBAC的角平分线所在直I AB I I ACI线）；一一一 一一一I AB I PC +1 BC I pa +1CAIPB = 0 o p aabc 的内心;(3)若P分有向线段矿所成的比为九，点M为平面内的任一点，则MP = MP1 +九MP2，1 21+九特别地P为PP的中点o MP = MP1 + MP?；1 2 2 一 一 一 (4)向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线o存在实数a.卩使得PA = aPB +卩PC 且a +卩=1 .如平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(1,3) ,若点 C 满足OT=X W+X，其中九，九e R且九+九=1，则点C的轨迹是1 2 1 2 1 2(答：直线AB)