求曲线上过点切线方程这里

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1、YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面求曲线上过点求曲线上过点 的切线方程，这里的切线方程，这里),(0000zyxM设曲线用参数方程表示为设曲线用参数方程表示为(),(),()xx tyy tzz t 000000(),(),()xx tyy tzz t YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 和点和点 的割线方程的割线方程),(zyxM0M000000()()()()()()()()()Xx tYy tZz tx tx ty t

2、y tz tz t 在上式各端的分母都除以在上式各端的分母都除以0tt 000000000()()()()()()()()()Xx tYy tZz tx tx ty ty tz tz ttttttt YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面由于切线是割线的极限位置，在上式中令由于切线是割线的极限位置，在上式中令 取极限，取极限，就得到曲线在点就得到曲线在点 的切线方程：的切线方程：0tt0M000000()()()()()()Xx tYy tZz tx ty tz t 000(),(),().x ty tz t 由此可见，曲线在点由此可见，曲线在点 的切

3、线的一组方向数是的切线的一组方向数是0MYunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲线在点曲线在点 的法平面就是过的法平面就是过 点且与该点的切线垂直的点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是点的法平面方程是0M0M000000()()()()()()0 x tXxy tYyz tZz 如果曲线的方程表示为如果曲线的方程表示为(),()yy xzz x ,(),()xxyy xzz x 可以把它写成如下的以可以把它写成如下的以 为参数的参数方程为参数的参数方程

4、x于是可得曲线在点于是可得曲线在点 的切线方程和法平面方程如下：的切线方程和法平面方程如下：0M00000()()1()()XxYy xZz xy xz x 00000()()()()()0Xxy xYyz xZz YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面一般地，如果曲线表示为两个曲面的一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：交线：(,)0(,)0F x y zG x y z 设设 ，设上述方程组在点，设上述方程组在点 确定了一对函数确定了一对函数0(,)0(,)MD F GD y z 0M(),()yy xzz x 由这两个方程可解出由这两个方程可解出(

5、,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)dydzD F GD F GD F GD F GD z xD y zD x yD y zdxdx 这时容易把它化成刚才讨论过的情形：这时容易把它化成刚才讨论过的情形：YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面从而可得曲线在点从而可得曲线在点 的切线方程：的切线方程：0M000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)MMMXxYyZzD F GD F GD F GD y zD z xD x y 和法平面方程和法平面方程000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)MMMD F GD F GD

6、F GXxYyZzD y zD z xD x y YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面解：解：2tt 1 ,2 ,3txytzt 在（在（1，1，1）点对应参数为）点对应参数为 t=1 1 ,2,3 T 切切线线方方向向数数为为切线方程：切线方程：121123xyz 法平面方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：即：x+2 y+3 z=8例例1 求曲线求曲线 在点在点 处的处的切线及法平面方程。切线及法平面方程。3,2,xt yt zt (1,2,1)YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法

7、平面例例2、求曲线、求曲线 在点在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。）处的切线及法平面方程。0,6222 zyxzyx222600 xyzxyz 解解：方方程程组组转转化化为为,x方方程程组组两两端端关关于于 求求导导 得得222010dydzxyzdxdxdydzdxdx YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面dyzxdxyzdzxydxyz 解解之之得得 12 11,2,101dydxdzdx ，从从而而YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 1,2,1121101XYZ 所所以以过过点点的的切切线线

8、方方程程为为 1,2,110100XYZZXZ 所所以以过过点点的的法法平平面面方方程程为为即即YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面ZYXO0MTZ例例3 求两柱面求两柱面222222,xyRxzR 的交线在点：的交线在点：,222RRR 处的切线方程。处的切线方程。YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面解解:222222,xyRxzR 在方程组在方程组中分别对中分别对 求导数，得求导数，得x220220dyxydxdzxzdx dyxdxydzxdxz 解解之之，得得YunnanUniversity4.空间

9、曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面所以切线方程为：所以切线方程为：222111RRRxyz 即即2(2)(2)xRyRzR 此直线可看作是此直线可看作是 平面与平面平面与平面 的交线。的交线。2xyR yz 从而在点从而在点 有：有：,222RRR 1,1dydzdxdx YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面234,24.xt ytztxyz例例 在在曲曲线线求求出出一一点点，使使过过此此点点的的切切线线平平行行于于平平面面 21,2,3.Ttt 解解：曲曲线线的的切切向向量量为为 1,2,1.n 平平面面法法向向量量为为21430.T ntt

10、 按按题题设设，应应有有解解之之，得得YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面11.3tt 或或 121 111,1,1,.3 927MM于于是是所所求求的的点点为为或或YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面