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1、中 考 研 究 中中中考热门压轴题之二次函数角的转化与化归考考热热门门压压轴轴题题之之二二次次函函数数角角的的转转化化与与化化归归孙 宇（硕博教育培训中心，江苏 无锡）数表达式为 （梁，同时涉及几何与代数的相关知识【摘要】二次函数是连接初中数学和高中数学的重要桥二次函数问题在初中阶段基本以几何为主，学生不仅要对基本的代数转化熟练（示），由“画出型图”相似可得像（如 图）所掌握，对几何也要有全面的认知 在二次函数综合题中，角的转化与化归是最重要的考点之一这种题型是无锡中考压轴题的热门题型，也是重点题型，但是大部分学生不能熟练，则，即掌握本文对二次函数中直角关系的转化与化归、倍角关系的转化、角的和
2、差关系分别进行讨论与研究【关键词】二次函数；转化与化归；直角关系；倍角关系；，则 （负值舍去）最和差关系后代入（，），则 图 一所以抛物线表达式为 （）回顾第直角关系是二次函数角的转化问题中最基本的题型之理解二次函数中的直角关系、直角关系的转化与化归解答过程，可以发现，这就是一道很典型的利用（）题的“型”相似一，也是中考中最经典、考查最频繁的考点之一 在平面直角求解的题目：已知直角，过直角顶点作坐标轴垂线（或平行坐标系中，点的坐标表示与直角关系有着天然的联系，最基线），构造“型”相似，代入点的坐标（线段长），最终得到本的解题方法是“型”相似，这也是初中几何问题的最重正确的解要解题方法之一基本上
3、，只要出现直角关系，解题思路就大概率是作坐标轴的垂线或平行线，构造“型”相似，将问题二次函数中有关直角关系的题目最常用的也是最基本综合分析转化为对点坐标的求解 另一种解题方法常用于直角关系的解题方法就是“型”相似，对于涉及“直角关系”存在性存在性问题中 利用“直径所对圆周角是直角”来进行解的问题，可利用圆周角与直径的关系进行解答 在解答过程答这种题型出现的概率比较小中，我们要对函数的表达式进行合理的变形（交点式、顶点式），使得计算更加简单，有时可以达到消元的目的 在直角例重点例题分析，但是学生要有一定的积累 已知：如图 所示，一次函坐标系中，线段的比值关系可由“型”相似转化为坐标的数关系，这是
4、无锡中考必出的一个考点 若题设中的是含参数（的二次函数表达式，则先写出对称轴，然后进行消元，利用上），且与 的图像经过点（，）轴交于点 过点，点 作 在线段 轴的线段比求出函数表达式与 轴的交点坐标，将抛物线表达垂线，式写成交点式 在解答这类综合题的过程中，我们不仅要关（垂足为点，若注题设条件和解答方法，还要通过回顾与反思来理解题目（），）求这个一次函数的表达式已知一开口向下，以直线；的本质结构解题研究，尤其是中高考试题的分析研究，是一为对称轴的抛物线经过点，它的顶图 个非常广阔又颇具吸引力的领域 点为，若过点 且垂直于 的直线与 轴的交点为二、在江苏近几年的中考题中二次函数中倍角关系的理解倍
5、角关系的转化与化归，倍角关系的转化占有重要理解分析，求这条抛物线的表达式 地位，成为 年扬州卷、常州卷等中考压轴题 其中倍角 这道题是 年无锡中考压轴题 这一题关系的转化方法巧妙又灵活，我们经常利用等腰三角形或的难度不是很大，题目设置比较常规，但是考查的内容和解二次函数的对称性进行转化，这一题型考查考生对几何图答方法很全面形的综合理解与分析 二次函数中的倍角关系题经常考查的知识点是二倍角作，过点而且考生需要自己作图 作，在第，垂足分别为（）题中，过点，则 利用“型”相似，即，的关系遇到二倍角关系的相关题目时，我们常用的解题方法是：二次函数（等腰三角形）对称性转化；构造等腰三角得到将斜线段比，则
6、点 坐标为 转化为坐标之间的关系（，），所以，可以形，利用外角进行转化；角平分线法同理易得，则 ，而 那么三倍角的关系呢？如，图 所示，若 ，则该如何转化？我们进行如下在（负值舍去 中，利用勾股定理可得）（），则构造：设 ，将 三等进行转化解这一问时需要注意及时将斜线段比，利用“型”相似直接将问题和点的坐标联系起来，这是无锡中考的必考点，基本上年年都出现分，则 ，图 对于第（）题，由第（）题可得（，），可设二次函 ，从而得到两组母子三角形相似三倍角关系的处理更加需要技巧：，数学学习与研究 .All Rights Reserved.这一点在试题中也有所体现 重点例题分析例 如图 所示，二次函数
7、（）的图像交 轴于，两点，交 轴于点，过 的直线（）与这个二次函数图像交于另一点，与其对称轴交于点，与 轴交于点，且 设二次函数图像顶点为，连接，若，求此二次函数的表达式 理解分析 这一题是 年无图 锡中考模拟题 题设中出现了倍角的关系首先写出对称轴 直线，点坐标为（，），点坐标（，），则抛物线表达式写成交点式（）（），进行消元，则由于，则（，），与点 对称，且，进一步得到（，），（，），利用二次函数的对称关系，则，所以 中 考 研 究，从而 回顾这一题的求解过程，思路清晰明了，利用二次函数对称关系将倍角转化为等角关系，然后利用正切值（本质上是坐标三角形相似）求得结果这一题也体现了消元的重要作
8、用：方便理解点与点之间的关系（点 与点 的对称关系）；简化计算过程例 如图，二次函数 的图像与 轴交于点，与 轴交于点，点 的坐标为（，）连接.All Rights Reserved.，判断 与 的数量关系，并说明理由理解分析 这一题是 年常图 州卷的压轴题连接相关线段，我们基本可以得到根据这样的关系，我们作点 关于 轴的对称点，如图所示 由题易得（，），（，），（，），则 ，则，所以，利用外角关系则得到 ，则 这一题的解答过程简洁明了，有点让人惊讶 实际上，这一题求证的倍角关系本质上是通过构造等腰三角形，利用等腰三角形的外角来进行求解的 这种求解方法是倍角转化问题中的重要解题方法之一，在很多
9、相关题目中都可以使用 综合分析二倍角关系的转化方法总体而言有三种第一种是通过二次函数对称关系转化为等角关系来进行求解，如例 这种方法在 年扬州卷的压轴题中出现过，有兴趣的读者可以自行探究 第二种就是通过构造等腰三角形外角关系进行转化，再利用相似三角形（母子三角形相似）、勾股定理等方法求解 这两种方法是解决二倍角关系的经典方法，也是应用广泛的方法 第三种是利用角平分线进行二倍角关系的转化如例，可以作 的角平分线交 轴于点，证明这种解答方法也是特别好用的，读者可以自行解答当然二倍角的关系还包括一种关系 同弧所对圆心角是圆周角的二倍这一考点在二次函数中很少涉及有一道题经典题可以利用这一知识点解答，读
10、者可自行探究，题目如下：【变式】在平面直角坐标系中，抛物线 于点，且，连接，（）若 是直角三角形，求 的值；（）将线段 绕点 旋转 得到线段，若点 在抛物线的对称轴上，请求出此时抛物线的函数表达式 三、角的和差关系的转化与化归二次函数中角的和差关系的理解对于角的和差关系，正常情况下我们都是利用三角形的外角来进行转化来得到母子三角形相似的（注意其与坐标三角形之间的紧密联系）还有一类题目需要将所求转化为特殊角（）或等角关系，再根据等角关系进行求解（正切值、相似三角形等）重点例题分析例 如图，已知抛物线（）经过（，），（，），（，）三点，为坐标原点设点 在 轴上，且满足，求 的长理解分析这一题是 年
11、无锡模拟试题，典型的角的和差关系转化 根据题设条件，易图 得当点 在 轴上方时，发现并不能将角的和差关系进行相应转化，但当点 在 轴下方时，延长，发现有外角关系存在 如图，过点 作 垂直于 延长线，垂足为，则，则 为等腰直角三角形，可以构造“型”全等直线：，设（，），（，），（）则，解得，所以（，），则；由对称性可得当 在 轴上方时，（，），则()这一题 也可以利用相似三角形求得结果，即 ，读者可自行解答总结反思这一题，我们需要对题设条件有充分的认识，明确，将角的和差关系与三角形外角联系起来，这样求解起来就比较简单 如果纠结点 位于 轴上方对应的关系，那么会让自己走进死胡同出不来，要利用对称关
12、系重新寻求突破口 综合分析角的和差关系在二次函数中考查的频率不是很高，一般的解答方法就是利用三角形外角进行转化，得到母子三角形相似，从而进行相应的求解 题目难度加大后，会出现其与等角的转化，此时要特别注意其与坐标三角形内角的正切值和 这一特殊角之间的联系 总而言之，在解答过程中，学生要始终保持冷静，要运用数学思想方法，不能过于关注“述”而轻视“法”、忽略“道”，要善于总结与反思，透过现象看清本质【参考文献】包丽鸥解法对比重在求“深”求“透”中学数学教学参考，（）：徐晓兵找准基本教研点，做我们能做的事：写给准备做考研 工作的青年教师中学数学教学参考，（）：（）与 轴交于，两点（点 在原点左侧），与 轴交数学学习与研究
中考热门压轴题之二次函数角的转化与化归
