高等数学(同济大学)课件下第8_1基本概念

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1、推广推广第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第八章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、区域区域1.邻域邻域点集,),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中,),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说

2、明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),(),U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点

3、;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对任意给定的,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束),(PUE邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一

4、起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动 目录 上页 下页 返回 结束。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;例如，例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 11oxy 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无3.n 维空间维空间n 元

5、有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标坐标.记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRRRnnkxxxxkn,2,1,R),(21一个点点,当所有坐标时，0kx称该元素为 nR中的零元,记作 O.的距离距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn机动 目录 上页 下页 返回 结束),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221n

6、xxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元.ax 记作nR二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp)2(cbapcba0,0),(hrhr0,0),(TTVTVcbacbacba,0,0,0),()()(cpbpappS机动 目录 上页 下页 返回 结束 hr定义定义1.设非空点集,RnD DPPfu,)(或点集 D 称为函数的定义域定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n=3 时,有三元函

7、数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作),(21nxxxfu机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz 又如机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设 n 元函数,R),(nDPPf点,),

8、(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 ,总存在正数,切例例1.设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),(yxf,022时当yx22yx 222yx,总有机动 目录 上页 下页 返

9、回 结束 要证 例例2.设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx,0 20),(22yxyxfyx 222 yx,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同!在

10、(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.例例3.讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解:因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1(4limrrr此函数定义域不包括 x,y 轴,222yxr令则62)cos1(4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yx

11、fxxyy及不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3 目录 上页 下页 返回 结束 四四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点.则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续,例如例

12、如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故(0,0)为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则机动 目录 上页 下页 返回 结束,0)1(K)()2(Pf,Mm*(4)f(P)必在D 上一致连续.;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(

13、证明略).11lim00yxyxyx解解:原式)11(1)1(lim200yxxyyxyx21例例5.求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6.求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2oyx2内容小结内容小结1.区域 邻域:,),(0PU),(0PU 区域连通的开集 空间nR2.多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR机动 目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0,0 时，当00 PP有)(APf3.多元函数的极限4.

14、多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P72 题 3;4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P11 题 2.),(),(2yxftytxtf称为二次齐次函数.P11 题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 题 5(3).定义域 0:yyxDP11 题 5(5).定义域22222:RzyxrD2xy DyxoRxyoDr机动 目录 上页 下页 返回 结束 P12

15、题 8.间断点集02),(2 xyyxP72 题 3.定义域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P72 题 4.令 y=k x，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 可见极限不存在 作业作业P11 5(2),(4),(6)6 (2),(3),(5),(6)7，9,10第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.设,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux),

16、(vuf32)(2vuu32)(vu,2xyu yxv),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.设,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解：xxy取所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.证明),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0,0(),(处在yx),(yxf为初等函数,故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束