第二章质点动力学

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1、第二章 质点动力学基 本 要 求一、理解牛顿三个运动定律及其适用条件。二、掌握功的定义及变力做功的计算方法。三、理解保守力做功的特点及势能的概念。四、掌握质点的动能定理、功能原理、动量定理，并能灵活运用解决简单力学问题。五、掌握机械能守恒定律、动量守恒定律和它们的适用条件，以及运用守恒定律分析问题的思路和方法。内 容 提 要一、牛顿运动定律第一定律(惯性定律) 任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。力是改变物体运动状态的原因，而并非维持物体运动状态的原因。第二定律 在某一瞬时，物体的动量对时间的变化率等于这一瞬时作用在物体上的力，而且动量的时间变化率

2、的方向与力的方向相同。若m为常数，则有 。其中为物体所受的合外力；为物体的加速度；m为质量，它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量。第三定律 作用力与反作用力在同一直线上，大小相等而方向相反。说明：1.牛顿运动定律只适用于惯性系；2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义；3.牛顿定律是瞬时的规律。二、冲量和动量冲量 力乘以力所作用的时间，是力在时间上的积累效应。动量 物体的质量与速度的乘积。三、动量定理物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。平均冲力 四、动量守恒定律在一过程中，若系统所受合外力为零，则系统的总动量不随时间改变。即若，则常量。说明：1.动量

3、定理及动量守恒定律只适用于惯性系；2.动量若在某一惯性系中守恒，则在其他任何惯性系中均守恒；3.若某个方向上合外力为零，则该方向上的分动量守恒，尽管总动量可能并不守恒；4.动量守恒定律在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用；5.若系统的内力远大于合外力，系统的总动量近似守恒，如爆炸问题。五、功和动能功 力和力所作用的质点的位移的标量积，是力在空间上的积累。功依赖于参考系，是标量，有正、负之分。动能 六、动能定理合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。七、势能与保守力保守力 如果力所做的功与物体相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。例如万有引力、重力、弹性

4、力、静电力等。非保守力（耗散力） 做功与路径有关的力称为非保守力。例如摩擦力、爆炸力等。势能 与相互作用的物体的相对位置有关的能量。重力势能：令 ，则 弹性势能：，令 ，则 。八、功能原理系统的机械能的增量等于外力做功和非保守内力做功之和。系统的机械能：九、机械能守恒定律机械能守恒定律 在只有保守内力做功的情况下，系统的机械能不变。如果系统内各个质点间的作用力都是保守力，那么这样的系统称为保守系统。一个不受外界作用的系统称为孤立系统（必然有），显然，孤立的保守系统机械能守恒。普遍的能量守恒定律 如果考虑各种物理现象，计及各种能量，则一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变。解题

5、方法与例题分析一、牛顿运动定律的应用牛顿运动定律是解决动力学问题的最基本的方法。但在处理复杂问题时，为了简化计算，应尽量选用动量或能量关系解决问题。例1 质量为m的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力作用，比例系数为k（k 为正常数）。该下落物体的收尾速度(即最后物体做匀速直线运动的速度)将是多少？解 物体所受合力为零时做匀速直线运动，此时有所以物体的收尾速度为 例2 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体位于原点，速度为零（即初始条件：x0=0，v0=0），问：（1）物体在力F=3+4t（SI）的作用下运动了3s，它的速度、加速度为多大？（2）物

6、体在力F=3+4x（SI）的作用下移动了3m，它的速度、加速度为多大？解 （1）由牛顿第二运动定律 又由 得 把t=3s代入，式得 ，（2）解法一 ：由牛顿第二运动定律 又由 分离变量，两边积分得 ， 把x=3m代入，式，得：， 解法二：由动能定理，有得 二、动量关系（动量定理、动量守恒定律）的应用对于动量变化的过程，可用动量定理或动量守恒定律解决。首先选择一个系统作为研究对象，如果过程中该系统所受合外力为零，用动量守恒定律求解；合外力不为零时，可选用动量定理求解。例3 一烟火总质量为M+2m，从离地面高h处自由下落到h/2时炸开，并飞出质量均为m的两块，它们相对于烟火体的速度大小相等，方向一

7、上一下，爆炸后烟火体从h/2处落到地面的时间为t1；若烟火体在自由下落到h/2处不爆炸，它从h/2处落到地面的时间为t2 ，则t1和t2是什么关系？解 设爆炸前烟火的速度为v0，爆炸后烟火的速度为，飞出的质量均为m的两块物体相对于烟火体的速度大小为。爆炸过程动量守恒，所以有可得，即爆炸前后烟火体的速度不变。所以 例4 质量为20g的子弹沿x轴正向以500m/s的速度射入一静止的木块后，与木块一起以50m/s的速度仍沿x轴正向前进，在此过程中木块所受冲量的大小为多少？解 设子弹质量为m，木块质量为M，子弹的速度为，子弹与木块一起运动的速度为。此过程动量守恒，有可得木块所受冲量的大小为 例5 已知

8、一篮球质量m = 0.58kg，从h = 2.0m的高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间= 0.019s。求篮球对地面的平均冲力。解 篮球到达地面的速率为：，篮球接触地面前后动量改变（大小）为：由动量定理有：由牛顿第三定律有：三、能量关系（动能定理、功能原理、机械能守恒定律）的应用解题步骤：1.明确物理过程，确定研究对象；2.对选取的研究对象进行受力分析；3.确定体系的终态和初态的能量；4.选取适当的惯性系，根据定理列出方程并求解。但应注意几个定理的区别与适用范围： 运用动能定理时研究对象可以是单个物体，也可以是物体系；运用功能原理和机械能守恒定律时研究只能是物体系； 运用动能定

9、理时，要计算作用在系统上的所有力的功，但在初、末态能量的计算中，只计算动能不计算势能；而运用功能原理时，只要计算外力和非保守内力的功，不考虑保守内力的功，但在初、末态能量的计算中，必须同时计算动能和势能；如果系统只有保守内力做功，则该系统机械能守恒。例6 一匀质链条总长为L，质量为m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为a，如图21所示。设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为m ，令链条由静止开始运动，求：图21（1）在链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？解 （1）当链条下落x时，摩擦力为 摩擦力的功为（2）下落过程中重力P做功为由动能定理 因为，所以

10、例7 质量为m的物体从一个半径为R的1/4圆弧形表面滑下，到达底部时的速度为v。求A到B过程中摩擦力所做的功。解 方法一（用功的定义计算）图22以m为研究对象，进行受力分析，列切向受力方程即 摩擦力的功 由 ，方法二（用动能定理计算）由质点的动能定理 受力分析，只有重力和摩擦力做功，所以A点物体动能： 所以 方法三（用功能原理计算）由功能原理：以物体和地球为研究对象，受力分析，不考虑保守力重力和不做功的支持力N，只有摩擦力（内部非保守力）f 做功， 选择B点为重力势能零点，A、B两点的机械能， 可以看出，用功能原理计算最简单。四、综合类题目在许多情况下，需要由动量关系和能量关系共同解决问题。h

11、maxmM图23例8 如图23所示，M放在光滑桌面上，M的斜面也是光滑的，已知m = 0.2kg，M=2kg，m以速度v = 4.9m/s 冲上M。求m能冲上的最高高度hmax是多少?解 对于m+M + 地球系统， W外= 0，W内非 = 0（一对支持力）,故机械能守恒。设当h= h max时，M与m有相同的水平速度。取地面为重力势能零点，有 对于m + M系统，水平方向F外= 0，故水平方向动量守恒mv =（m+M）V 由，得 思考：这一过程中m和M对地面的压力是不是(m +M)g ？图24例9 质量为m的小球在外力作用下，由静止开始从A点出发作匀加速直线运动，到达B点时撤消外力，小球无摩擦

12、地冲上一竖直半径为R的半圆环，恰好能到达最高点C，而后又刚好落到原来的出发点A处，如图24所示。试求小球在AB段运动的加速度为多大？解 以小球、地球为系统，B到C的过程机械能守恒。 因小球在C点恰能作圆周运动，故， 小球从C到A是以 vc 为初速度的平抛运动，设该过程所需时间为 t 。由竖直方向上的自由落体运动，有 ， 由水平方向上的匀速直线运动，可得AB 的长度为 小球在AB段作匀加速直线运动： 由，得：由得： fh4.8m0.2mAB36.9C图25例10 一物体质量为2kg，以初速度3.0m/s从斜面的点A处下滑，它与斜面之间的摩擦力为8N；到达点B时（AB之间的距离为4.8cm），压缩

13、弹簧20cm达到C点停止，然后又被弹送回去。已知斜面与水平方向的夹角为36.9，求弹簧的倔强系数k和物体最后能到达的高度h。设弹簧系统的质量略去不计。解 （1）以物体+弹簧+地球为研究对象，做受力分析，重力、弹力是保守力不考虑，斜面的支持力N不做功（不考虑），只有摩擦力f （系统内部非保守力）做功。重力势能零点选在最低点C，弹力势能零点选在弹簧原长处B点。初态机械能：, 其中 末态机械能：由功能原理：因为 ， 故 则 （2）物体从C点反弹到最高点D的过程中，反弹高度为h初态机械能 末态机械能 由功能原理：习 题 图26一、选择题1、平地上放一质量为m的物体，已知物体与地面之间的滑动摩擦系数为。

14、在力的作用下，物体向右运动，如图26所示。欲使物体具有最大的加速度，则力与水平方向夹角应符合等式 。A； B； C； D。 v o t0 2 t0 3t0 4t0 t图272、质量为m的物体在力的作用下沿直线运动，其速度与时间的关系曲线如图27所示。力在4t0时间内做的功为 。A；B；C；D 。3、一力学体系由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受的外力的矢量和为零，则此系统 。A动量、机械能都守恒；B动量守恒，但机械能不守恒；C动量不守恒，但机械能守恒；D动量不守恒，机械能不守恒。4、用一根细线吊一重物，重物质量为 5kg，重物下再系一根同样的细线（细线只能经受 70N 的拉力）。

15、现在突然用力向下拉一下下面的线。设此力最大值为 50N，则 。A下面的线先断； B上面的线先断；C两根线一起断； D两根线都不断。 5、质量分别为mA和mB ( mA mB )的两质点 A 和 B ，受到相等的冲量作用，则 。AA比B的动量增量少； BA比B的动量增量多；CA、B的动量增量相等； DA、B的动能增量相等。6、当重物减速下降时，合外力对它做的功 。A为正值； B为负值； C为零； D无法确定。7、弹性势能公式成立的零势能参考点是 。A物体在平衡位置；B物体在任何位置；C物体处在弹簧既未伸长，也未压缩时的位置（即自然位置）；D无法确定。8、对功的概念有以下几种说法 。(1) 保守力

16、做正功时系统内相应的势能增加；(2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；(3) 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做的功的代数和必为零。在上述说法中：A(1)、(2)是正确的； B(2)、(3)是正确的；C只有(2)是正确的； D只有(3)是正确的。9、在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） 。A总动量守恒；B总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其他方向动量不守恒；C总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒；D总动量在任何方向的分量均不守恒。二、填空题1、有一质量

17、为m=0.5kg的质点，在xy平面内运动，其运动方程为，（SI），则在t=0秒至t=3秒这段时间内外力对质点所做的功为 ，外力的方向是 。2、已知质点的质量m=5kg，运动方程（SI），则质点在02秒内受的冲量的大小为 ，在02秒内所做的功为 。H R图283、机械能守恒定律成立的条件是 。4、如图28所示，一质量为m的小球沿光滑轨道由静止开始下滑。要使小球沿半径为R的球形轨道运动一周而不脱离轨道，小球最低应从H= 高处滑下。如小球由H=2R处滑下，则它能沿环行轨道上升到离地面的高度h= 处。三、计算题1、质量为M的平板车，以速度v在光滑水平轨道上滑行，质量为m的物体在平板车上方h处以速率u（

18、u与v同方向）水平抛出后落在平板车上，则二者合在一起后速度的大小为多少？2、质量m=2kg的物体受到变力（SI）的作用而运动，t=0时物体位于原点并静止。试求前10秒内此力的功和t=10秒时物体的动能。3、一个质量为M=10kg的物体放在光滑的平面上，并与一水平轻弹簧相连，如图29所示，弹簧的倔强系数。今有一质量为m=1kg的小球，以水平速度飞来，与物体M相撞后以的速度弹回。求：（1）M起动后，弹簧将被压缩，弹簧可缩短多少？（2）小球m和物体M的碰撞是弹性碰撞吗？ v0 m图29M（3）如果小球上涂有粘性物质，相撞后可与M黏在一起，则（1）所问的问题结果又如何？4、如图210所示，A球的质量为m，以速度飞行，与一静止的小球B碰撞后，A球的速度变为，其方向与方向成，B球的质量为5m，它被撞后以速度飞行，的方向与成角。求：（1）两小球相撞后速度、的大小；（2）碰撞后两小球动能的变化。 B A 图210A