多元函数微分学其他题型1

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1、多元函数微分学其他题型1 - 其它题型共 200 小题 1、试研究函数f(x,y)?x?yx?y22222的连续性。 2、试讨论函数f(x,y)?sin(y?yx)y?xx?y1?xy22的连续性。 3、试讨论函数z?arctan的连续性。 ?x2y2?4、试研究函数f(x,y)-x2?y2?0?x?yx?y222?0?0的连续性。 2?x3?y3?5、试讨论函数f(x,y)-x2?y2?0-xy(x?y)?6、试讨论函数f(x,y)-x2?y2-0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点0，0处的连续性。 (x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点0，0处的连续性。 ?xy2?

2、7、试讨论函数f(x,y)-x2?y2?0?2?xy?8、讨论函数f(x,y)-x2?2y4?0?x?yx?y222?0?0在点0，0处的连续性。 2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点0，0处的连续性。 ?2xy?9、试研究函数f(x,y)-x2?y2-0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点0，0处的连续性。 22?x?y?z?10、求曲线?在点P(4,2,5)处的切线与oy轴倾角。 4?x?4?22?x?y?z?11、求曲线?与点(2,4,5)处的切线与ox轴正向的倾角。 4?y?4?12、求曲面z?1?x?y22在平面x?1的交线在点(1,1,3)处的切线与oy轴

3、正向倾角。 13、设f(x,y)?x?y24，问fx(0,0)与fy(0,0)是否存在？假设存在，求其值。 14、设f(x,y)?x?y?(x,y)，其中?(x,y)在点0，0的邻域内连续，欲使fx(0,0)存在，问?(x,y)应满足什么条件？ 2?xy?15、研究函数z(x,y)-x4?y2?0?x?y442?02在点0，0处的全微分是否x?y?0存在？ 16、讨论：函数f(x,y)?x?y22在点0，0处是否可微？ 17、设f(x,y)?x?sinxy，试研究0，0处的全微分是否存在？ 1?22x?ysin,?2218、讨论函数f(x,y)-x?y?0?22x?yx?y22?0在点0，0处

4、的?0连续性，可导性和可微性。 xy?,?2219、函数f(x,y)-x?y?0?x?y222?02在点0，0的两个偏导数是否存x?y?0在？在点0，0是否可微？为什么？ 20、?(x)可微，求A(x)使d?sinx?(x)?A(x)dx。 21、设u?sinx-(sinx?cosy)，其中?(x)可导，且当x?0时，u?siny，试确定 ?(x)，并求 ?u?u。 ,?x?y22222、f(x,y)?ax?2bxy?cy，方程组fx-0,fy-0有两对不同的解(x1,y1),(x2,y2)，问a,b,c应满足什么关系？ 23、设z?f(x,y)具有一阶连续偏导数，而x?u,y?v?u，试以

5、u,v为新的自变量，变换方程：y?z?x?z?y?0。 22?x24、设z?f(x,y)具有连续偏导数，作变量交换x-2,y-2，试变换方程：?z?x-z?y。 25、设z?x-(xy)，其中?是具有连续导数的函数，试消去 ?，建立 z(x,y)所满足的一个一阶偏微分方程。 26、设f(x,y)?xe?y?sin3y?tan3x，试讨论在点0,0处的两个偏导数fx?(0,0),fy?(0,0)是否存在？如存在求出导数值。 27、设u-x?ayx?ay?(t)dt，其中?(t)具有连续的导数，试用求偏导数的方法，消去函数?(t)，建立u的二阶导数所满足的方程。 x?by28、设u(x,y)-t?

6、dt，其中 -t?具有一阶连续导数，试消去函数 ?，建立 x?ayu的各二阶导数间所满足的一个方程其中 a?b，且均不为0 29、设可微的二元函数z?f(x)?g(y)，在极坐标系下z-(r)，试求此二元函数。 30、设可微的二元函数F(x,y)?f(x)g(y)，在极坐标系下可表示为F(x,y)?G(r)，试求F(x,y)。 31、设可微的二元函数F(x,y)?f(x)g(y)，在极坐标系下可表示为F(x,y)-(?)，试求F(x,y)。 32、设z?ux?e?uy?f(u),u满足关系ye?z?y?uy?f?(u)?1x，其中u(x,y)和f(u)均有连续导数，试求使等式?z?x?成立的函

7、数u(x,y)。 33、设x,y均很小，试用全微分推出ln34、设x,y均很小，试用全微分推出ln-31?x?4?x?31?y?1的近似公式。 1?y的近似公式。 -35、当x,y均很小时，用全微分推出arctan(x?2y)的近似公式。 36、设x,y均足够小，用全微分推出arctan(1?x?y)的近似公式。 37、设x,y均很小，用全微分推出(2?x)1?y的近似公式。 n38、设x,y均很小，用全微分推出(1?x)(1?y)的近似公式，其中m，n为常数。 39、设x,y均很小，用全微分推出exm4?y的近似公式。 2?y40、设x,y均很小，用全微分推出(1?x)的近似公式。 41、设

8、x,y均足够小，用全微分推出(1?x)?(2?y)的近似公式。 42、设x,y均足够小，用全微分推出(2?x)?(5?y)的近似公式。 43、设 x,y的绝对值均足够小，用全微分推出arctan-2x?y-的近似公式。 1?xy-23344、设 x,y均很小，用全微分推出arcsin-2x?y-的近似公式。 ?1?xy?45、设 x,y均很小，用全微分推出(1?x)1?y的近似公式。 46、设 x,y均很小，用全微分推出247、设 x,y均很小，用全微分推出ex?y?2x的近似公式。 x?y?2y的近似公式。 48、一直角三角形的两直角边分别由3米，4米改变为3.01米和3.97米，利用全微分

9、计算该三角形斜边长的改变量。 49、一边长为1米的正方形，相邻两边长分别增加1厘米和2厘米变为长方形，利用全微分求其对角线改变量的近似值，(2?1.414)。 50、 一扇形的中心角-600，半径R=20厘米，假设中心角增加 1，半径减少0.1厘米，试用全微分求此扇形面积改变量的近似值。( ?取3.1416，答案保存两位小数)。 151、测量矩形相邻两边的相对误差均为，利用全微分估计由此产生矩形面积的相1000对误差的近似值。 52、设有一高为20厘米，底半径为4厘米的圆柱形零件，加热后，高增加0.1厘米，底半径增加0.02厘米。试用全微分估计此零件加热后体积的增加量。( ?取3 .1416，

10、答案保存2位小数)。 53、设矩形的宽为6米，长为8米，假设宽增加3毫米，而长减少4毫米，试用全微分估计矩形对角线的变化量。 54、边长x=6米与y=8米的矩形，假如边长x增加5厘米，而y减少10厘米，那么这个矩形的对角线的长度近似变化多少？ 55、一长方体的长，宽，高分别由1米，2米，3米增加到1.01米，2.01米和3.02米，利用全微分计算该长方体体积改变量的近似值。 56、一圆锥形工件，加热后底半径由10厘米增加到10.01厘米，高由12厘米增加到12.01厘米，用全微分计算该工件体积改变量的近似值( ?取3.1416，答案保存两位小数)。 57、一圆柱体底半径由1米增加到1.01米，

11、高由2米增加到2.02米，用全微分求此圆柱体体积变化量的近似值。(?取3.1416，答案保存两位小数)。 58、一圆柱体的半径由20厘米增加到20.05厘米，高度由100厘米减少到99厘米，用全微分求此圆柱体体积变化量的近似值(?取3.1416，答案保存两位小数)。 59、当圆台变形时，它的上底半径 R1由20厘米增大到20.1厘米，下底半径 R2由035厘米增大到35.14厘米，高 H由50厘米减少到49.5厘米，试用全微分求圆台体积改变量的近似值( ?取3.1416，答案保存两位小数)。 60、测得一物体的体积为3.06?0.01立方厘米，质量为18.36?0.01克。利用全微分求由此计算

12、物体的密度所产生绝对误差的近似值。(答案保存三位小数)。 xy-261、用方向导数的定义讨论函数f(x,y)-x?y2?0?x?yx?y2222?0?0在(0,0)点沿任意方向的方向导数是否存在？ 62、函数f(x,y)?x?y在点0，0沿任意方向的方向导数是否存在？ 2263、函数z?x2y?y2x在x，y点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此方向导数的值。 64、函数z?xe在2，0点沿哪个方向的方向导数值最大，并求此方向导数的值。 65、函数z?(1?xy)y在0，1点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。 66、函数z?arctan数的值。 67、函数z?ln(x?y)

13、在1，1点处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。 ?68、求函数z?x?xy?y在点1，1处沿单位矢量l-cos?,sin-方向的方向222xy1?x1?y在0，0点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导?导数，并求?分别取什么值时，沿l方向的方向导数最大，最小或等于零。 69、函数z?sinxy在?，4点处沿哪个方向的方向导数值最大，沿哪个方向的方向导数值最小，并分别求这两个方向导数的值。 70、函数z?x?2xy?2y?3x?2在1，1点处分别沿哪个方向的方向导数值最大，最小，并求这两个方向导数的值。 71、函数u?xy?yz在点1，2，1处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。 ?72、设f(t)可微，且f(t)?0，求u?f(ax?by?cz)沿l? 2322?A,B,C?方向的方向?导数，并讨论l取什么方向时，该方向导数的值最大。 第 9 页 共 9 页