数理统计习题

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1、数理统计习题 数理统计习题答案前六章 1一盒中有五枚纪念章，编号为1，2，3，4，5，从中任取3枚，用X表示取出的纪念章的最大号码，求X的分布律。 解：由题意知：X的取值为3，4，5， PX=3=15-0.1， 310C5C323PX=4=3-0.3， C5102C4PX=5=3?6?0.6 C510故X的分布律为 或 X的分布律为 12C1Ck?1PX=k=, k=3,4,5。 3C5X P 0 1 2 0.1 0.3 0.6 2进展某种试验，成功的概率为3/4，失败的概率为1/4，以X表示直到试验成功所需试验的次数，1试写出X的概率分布；2求X取偶数的概率。 解：1X的概率分布律为 133

2、PX?k?k?1?k，k=1,2, 4442X取偶数的概率 PX=偶数= P X=2+ P X=4+ P X=2k+ 32333334-?0.2 242k214444?1151?243设随机变量X的分布列为： X P 0 0.4 1 0.2 2 p3 3 0.1 求：lp3；2P0X3；3分布函数F(x)。 解：1由pk的性质知 ?pk?14k?0.4?0.2?p3?0.1?1， 故 p3=10.7=0.3。 2P0X3= P X=1+ P X=2=0.2+0.3=0.5。 3那么当x0时，F(x) = PXx = 0； 当0x1时，F(x)=PXx= PX=0=0.4； 当1x2时，F(x)

3、= PXx= PX=0 + PX=1=0.4+0.2=0.6； 当2x3时，F(x)= PXx= PX=0 + PX=1+ PX=2=0.4+0.2+0.3=0.9； 当x3时，F(x)= PXx= PX=0 + PX=1 + PX=2+ PX=3 =1。 故X的分布函数为 x?0?0, ?0.4, 0? x?1-F(x)-0.6, 1? x?2?0.9, 2? x?3- x?3?1, a, k=1, 2, ,N N4设随机变量X的概率分布 P(X=k) =试确定常数a，共计算E(X)及D(X)。 解：因 故a=1。 ?pk?k?1Naaaa-?N?a?1， NNNN11xp?k?E(X)=?

4、kk?NNk?1k?111?E(X)=?xpk-kNNk?1k?122k2NNNN?k?k?1N1N(N?1)N?1?； N22?kk?1N2?1N(N?1)(2N?1)(N?1)(2N?1)? N66(N?1)(2N?1)N?12N2?1?D(X)=E(X)E(X)= 6212 225. 设随机变量X的概率密度为 ?Cx, 0?x?1 f(x)- 其他?0, 试求：1常数C；2X落在0.3，0.7内的概率；3分布函数F(x)；4E(X)。 解：1-?x21Cf(x)dx-Cxdx?C?0-1, 故C=2。 0221 0.7 0.3.722f(x)dx-2xdx?x200.3?0.7?0.3?

5、0.4 0.30.72P0.3?X?0.7-3当x0时，F(x)-当0x1时，F(x)-当x1时，F(x)- x - x x -f(x)dx-0dx?0； - 0x - 0 x -xf(x)dx-0dx-2xdx?x20?x2； f(x)dx-0dx-2xdx-0dx?x210?1。 - 0 1 01 x即 X的分布函数为 ?0, x?0?F(x)-x2, 0? x?1 ?1, x?1?x3124E(X)-xf(x)dx-x?2xdx?2?0?。 -033-1 6设随机变量X的分布函数为 ?1?e?x, x?0F(x)- ?0, x?0试求：1PX4，PX1；2概率密度函数f(x)。 解：1P

6、X4=F(4)=1e-4， PX1=1PX1=1F(1)= 1(1e -1)= e-1 ?e?x, x?0 2f(x)?F?(x)- 0, x?0? 7设随机变量X的概率密度为 0?x?1?x, ?f(x)-2?x,1?x?2 ?0, 其他?试求1分布函数F(x);2数学期望E(X)。 解：1当x0时，F(x)-当0x1时，F(x)- x - x -f(x)dx-0dx?0； - 0x xx2； f(x)dx-0dx-xdx? - 02当1x2时，F(x)- x -f(x)dx-0dx-xdx-(2?x)dx - 0 1 01 xx21x2x1x21x2?0?2x?1-(2x?)?(2?)-?

7、2x?1 222222当x2时，F(x)- x -f(x)dx-0dx-xdx-(2?x)dx-0dx - 0 1 2 01 2 xx21x22?0?2x?1?1。 22即X的分布函数为 x?0?0, ?2?x, 0? x?1?2F(x)-2 x-?2x?1, 1? x?2?2? x?2?1, 2E(X)-xf(x)dx-xdx- 0-12 2 1x31x322x(2?x)dx?0?x?1?1。 338设随机变量X在0，5上服从均匀分布，求方程4t2 + 4Xt + (X+2)=0中，t有实根的概率。 解：随机变量X服从的均匀分布为 ?10?x?5?, f(x)-5? 其它,?0, 为使方程4

8、t2 + 4Xt + (X+2)=0中的t有实根的充要条件是 = (4X)244(X+2)=16X216X320, 即 X2X20 那么所求概率为 P X2X20= P (X2)(X+1)0= PX2且X1 +P X2且X1 513=PX2 +P X1=?dx+0=?0.6。 2559某车间有20台车床独立工作，每台车床开车时间占总工作时间的0.3，又开车时每台车床需用电力是1单位，问：(1)车间需要电力的最可能值是多少单位？2假设供应车间9单位电力，那么因电力缺乏而耽误消费的概率等于多少？3供应车间至少多少单位电力，才能使因电力缺乏而耽误消费概率小于1？ 解：设X为20台车床中开车的车床数，

9、那么X服从二项分布B(20, 0.3)。 1因为 (n+1)p=210.3=6.3 非整数，故对6.3取整得6.3=6，即车间需要电力的最可能值是6单位电力。 2所求概率为(查附表2) PX9= PX10=?PX?k?k?1020k?10?C20k20(0.3)k(0.7)20?k?0.04796 3设供应车间m单位电力, 那么电力缺乏的概率为 PXm= PXm+1=k?m?1?PX?k-Ck?m?12023k20(0.3)k(0.7)20?k?0.01 对n=20, p=0.3, 查附表2得 m+1=12, 故m=11，即至少供应车间11单位电力。 10某地胃癌的发病率为0.01，现普查5万人，试求1没有胃癌患者的概率；2胃癌患者少于5人的概率。 解：设X为胃癌患者人数，那么X服从二项分布B(50000，0.0001)。因为n=50000很大，而p=0.0001非常小，?=np=500000.0001=5，故可利用泊松近似公式进展计算。 (1) 所求概率为 PX=0=0.9999(2)所求概率为 PX5=1PX5=150000k?550000?00!e-=e-5=0.00674 ?Ck50000(0.0001)k(0.9999)50000?k 第 7 页 共 7 页