空间几何体的结构

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1、22空间几何体的结构【知识要点】1简单空间几何体的基本概念：(1)(2) 特殊的四棱柱：(3)其他空间几何体的基本概念：几何体正棱锥正棱台圆柱圆锥圆台球面球基本概念底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台 以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面 围成的几何体以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成 的曲面围成的几何体半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球面所围成的几何体2简单空间几何体的基本性质：几何体棱柱性质(

2、1)侧棱都相等，侧面是平行四边形 (2) 两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面) 是平行四边形(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角 形补充说明(1) 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面 及对角面都是矩形(2) 长方体一条对角线的平方等于 一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形(1) 球心和球的截面圆心的连线垂直于 (1)过球心的截面叫球的大圆，不过截面球心的截面叫球的小圆球(2)球心到截面的距离 d，球的半径 R， (2) 在球面上，两点之间的最短

3、距离，就是经过这两点的大圆在这两截面圆的半径 r 满足 r = R -d点间的一段劣弧的长度 ( 两点的球 面距离)3简单几何体的三视图与直观图： (1)平行投影：1 / 9111112概念：如图，已知图形 F，直线 l 与平面a相交，过 F 上任意一点 M 作直线 MM 平 行于 l，交平面a于点 M ，则点 M 叫做点 M 在平面a内关于直线 l 的平行投影如果图形 F 上的所有点在平面a内关于直线 l 的平行投影构成图形 F ，则 F 叫图形 F 在a内关于直 线 l 的平行投影平面a叫投射面，直线 l 叫投射线平行投影的性质：性质 1直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质 2平行直线

4、的平行投影是平行或重合的直线；性质 3平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质 4与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质 5在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图(3)三视图：正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影 三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这 个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投 射到这个平面内

5、的图形叫做左视图将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面 内，这样构成的图形叫空间图形的三视图画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”4简单几何体的表面积与体积：(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：S ch，其中 c 为底面多边形的周长，h 为直棱柱的高直棱柱侧面积1 S = ch，其中 c 为底面多边形的周长，h为正棱锥的斜高正棱锥形面积S正棱台侧面积1= ( c +c)h 2，其中 c，c 分别是棱台的上、下底面周长，h为正棱台的斜高S 2pRh，其中 R 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高 圆柱侧面积2 / 93 S pRl，其中 R

6、是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长 圆锥侧面积 S 4pR2，其中 R 是球的半径球(2)柱体、锥体、台体和球的体积：V Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高柱体1 V = Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 锥体V台体1= h( S + SS +S) 3，其中 S，S 分别是台体的上、下底面的面积，h 为台体的高V球=43R3，其中 R 是球的半径【例题分析】例 1 如图，正三棱锥 PABC 的底面边长为 a，侧棱长为 b()证明：PABC；()求三棱锥 PABC 的表面积；()求三棱锥 PABC 的体积【分析】对于()只要证明 BC(PA)垂直于经过 PA(BC)

7、的平面即可；对于()则要根据正 三棱锥的基本性质进行求解证明：()取 BC 中点 D，连接 AD，PDPABC 是正三棱锥，ABC 是正三角形，三个侧面 PAB，PBC，PAC 是全等的等腰三角形D 是 BC 的中点，BCAD，且 BCPD，BC平面 PAD，PABC()解：在 PBD 中，PD =PB2-BD21= 4b22-a2,SDPBC=1 aBC PD = 4b 2 -a 2 . 2 4三个侧面 PAB，PBC，PAC 是全等的等腰三角形，三棱锥 PABC 的侧面积是3 a44b2-a2.ABC 是边长为 a 的正三角形，三棱锥 PABC 的底面积是3 a42,三棱锥 PABC 的表

8、面积为3 a423a 3a+ 4b 2 -a 2 = ( a + 12b 4 42-3a2) 3 / 91 1 111 1111 1 1111 1111 111 11 1111 11()解：过点 P 作 PO平面 ABC 于点 O，则点 O 是 ABC 的中心，OD =1 1 3a 3a AD = = ,3 3 2 6在 POD 中，PO =PD 2 -OD 2 =333b 2 -a 2 ,三棱锥 PABC 的体积为133a 2 3 a 2 3b 2 -a 2 = 3b 2 -a 2 . 4 3 12【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的 Rt POD，其中含

9、有棱锥的高 PO；如 PBD，其中含有侧面三角形的高 PD，即正棱锥的 斜高；如果连接 OC，则在 POC 中含有侧棱熟练运用这几个直角三角形，对解决正 棱锥的有关问题很有帮助2、正 n(n3，4，6)边形中的相关数据：边长正三角形a正方形a正六边形a对角线长边心距36a2 aa2长：2a；短：3a23a面积外接圆半径34332aaa222a3 32aa2例 2 如图，正三棱柱 ABCA B C 中，E 是 AC 的中点()求证：平面 BEC 平面 ACC A ；()求证：AB 平面 BEC 【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了 更高的要求，可以根据几何

10、体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明：()ABCA B C 是正三棱柱，AA 平面 ABC，BEAA ABC 是正三角形，E 是 AC 的中点，BEAC，BE平面 ACC A ，又 BE 平 面 BEC ，平面 BEC 平面 ACC A ()证明：连接 B C，设 BC B CDBCC B 是矩形，D 是 B C 的中点， DEAB 又 DE平面 BEC ，AB 平面 BEC ，4 / 9115AB 平面 BEC 例 3 在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8，AB =2 DC =4 5()设 M 是 PC 上的一点，证明：

11、平面 MBD平面 PAD；()求四棱锥 PABCD 的体积【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 M 是 PC 上 的动点分析知，MB，MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线 BD 是否垂直平面 PAD证明：()在ABD 中，由于 AD4，BD8， 所以 AD2BD2AB2故 ADBDAB =4 5，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD 所以 BD平面 PAD，平面 ABCD，又 BD平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD()解：过 P 作 POAD 交 AD 于 O，由于平面 PAD平面 ABCD，所以

12、 PO平面 ABCD 因此 PO 为四棱锥 PABCD 的高，又PAD 是边长为 4 的等边三角形因此PO =324 =2 3.在底面四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，所以四边形 ABCD 是梯形，在 ADB 中，斜边 AB 边上的高为 梯形 ABCD 的高，4 8 8 5 =4 5，即为所以四边形 ABCD 的面积为S =2 5 +4 5 8 5 =24.2 5故VP -ABCD1= 24 2 3 =16 3. 3例 4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的主 视图和左视图在下面画出(单位：cm)()画出该多面体的俯视图；()按照给出的尺寸，求该多面体

13、的体积；5 / 9()在所给直观图中连结 BC，证明：BC平面 EFG【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原 则及相关数据可以画出三视图证明：()该几何体三视图如下图：()所求多面体体积V =V长方体-V正三棱锥1 1=4 4 6 - ( 2 2) 2 =3 22843(cm2).()证明：在长方体 ABCDABCD中，连结 AD，则 ADBC 因为 E，G 分别为 AA，AD中点， 所以 ADEG，从而 EGBC 又 BC平面 EFG， 所以 BC平面 EFG例 5 有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是 3a，4a，5a，高为2a，其中 a0用

14、它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四 棱柱，求 a 的取值范围6 / 91 1 11 11 11 11 1 1 111 11 11 111 11 11 11 1F -A EDG -A EDD -A EGDA EG 1 1解：直三棱柱 ABCA B C 的三个侧面的面积分别是 6，8，10，底面积是 6a2，因此每 个三棱柱的表面积均是 26a2681012a224情形：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：2(12a224)26a212a248情形：将两个直三棱柱的侧面 ABB A 重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表

15、面积一定是：2(12a224)2824a232情形：将两个直三棱柱的侧面 ACC A 重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2(12a224)2624a236情形：将两个直三棱柱的侧面 BCC B 重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2(12a224)21024a228在以上四种情形中，、的结果都比大，所以表面积最小的情形只能在、中产 生依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得 24a22812a248，解得15(0,) 所以 a 的取值范围是3a253,例 6 在棱长为 a 的正方体 ABCDA B C D 中，E，F 分别是 BB ，CD 的中点，求三 棱

16、锥 FA ED 的体积【分析】计算三棱锥 FA ED 的体积时，需要确定锥体的高，即点F 到平面 A ED 的距离，直接求解比较困难利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如VF-A ED1 1=VA -EFD1 1，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解解法 1：取 AB 中点 G，连接 FG，EG，A GGFADA D ，GF平面 A ED ，F 到平面 A ED 的距离等于点 G 到平面 A ED 的距离1 1 3 1 V =V =V = S A D = a 2 a = a 1 1 1 1 1 1 3 1 3 8 83.7 / 911 11 11 11 11 11 11 11 11

17、 11 11 11 1 1 14F -A ED DA ED1 1 11 1解法 2：取 CC 中点 H，连接 FA ，FD ，FH，FC ，D H，并记 FC D HKA D EH， A D EH，A ，D ，H，E 四点共面 A D 平面 C CDD ，FCA D 又由平面几何知识可得 FC D H，FC平面 A D HE FK 的长度是点 F 到平面 A D HE(A ED )的距离容易求得FK =3 510a,V1 1 5 3 5 a 1 = S FK = a 2 = a 3 .1 1 3 1 1 3 10 8练习 72一、选择题：1将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个

18、球的表面积为( )(A)2p(B)4p(C)8p(D)16p2如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )(A)9p(B)10p(C)11p(D)12p3有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为 4 cm，高为 12 cm现要为 100 个这种相同规格 的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)如果所用涂料每 0.5 kg 可以涂 1 m2， 那么为这批笔筒涂色约需涂料( )(A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg4某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中

19、，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 ab 的最 大值为( )(A)2 2(B)2 3(C)4 (D)2 5二、填空题：5如图，正三棱柱 ABCA B C 的每条棱长均为 2，E、F 分别是 BC、A C 的中点，则 EF 的长等于_6 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD1，则三棱锥 DABC 的体积 是_7 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的高为 3 ，底面周长为 3，则这个球的体积为_6 / 91 1 1 1111 11 1 1 1111111 18平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件

20、有多个，如两组对边分别平行，类似地， 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：_； 充要条件：_ (写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题：9如图，在正四棱柱 ABCDA B C D 中，E 是 DD 的中点()求证：BD 平面 ACE；()求证：平面 ACE平面 B BDD 10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高 为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形()求该几何体的体积 V；()求该几何体的侧面积 S11如图，已知 ABCDA B C D 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA 上，点 F 在 CC 上， 且 AEFC 1()求证：E，B，F，D 四点共面；2()若点 G 在 BC 上， BG ，点 M 在 BB 上，GMBF，求证：EM面 BCC B 39 / 9