第3讲有限元梁单元

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1、第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元平面内一般梁单元简单梁单元（弯曲变形）三维空间梁单元简介2.32.42.5结构总刚度矩阵及其性质结构总刚度矩阵及其性质梁单元的单元特性梁单元的单元特性梁单元的单元刚度矩阵梁单元的单元刚度矩阵离散结构的整体分析离散结构的整体分析平面刚架的整体分析平面刚架的整体分析单元与节点单元与节点局部坐标系下的平面梁单元局部坐标系下的平面梁单元单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换三维空间梁单元刚度矩阵三维空间梁单元刚度矩阵第第 2 2 章章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元一、离散化，节

2、点位移与节点载荷一、离散化，节点位移与节点载荷对图对图(a)(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为直梁，根据结构和载荷情况，分为3 3段，每段段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是物理模型是“焊接焊接”。ifi 梁上任一节点梁上任一节点i i处有处有2 2个位移分量：个位移分量：挠度挠度 及转角及转角 。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 一个节点位移用列阵表示为：一个节点位移用列阵表示为：Tiiiiiff i称为节点称为节点i i的的节点位移节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节

3、点对应节点位移分量，梁上任一节点i i的载荷也有的载荷也有2 2项：项：横向力横向力 和弯矩和弯矩 ，称为，称为广义力广义力。iZiM第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。iQ称为节点称为节点i i的节点载荷。的节点载荷。TiiiiiMZMZQ结构上一个节点的载荷用列阵表示为：结构上一个节点的载荷用列阵表示为：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元二、单元特性分析建立简单梁单元的单元刚度方程v 单元有2个节点，节点局部编号：i，j。每节

4、点有2个位移分量，单元共有4个位移分量4个自由度；v 分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 Tjjiieff称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。ev 单元节点位移：v 结构中一个单元一般在结构中一个单元一般在节点处节点处的截面上要受到结构其它部分的截面上要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为对该单元的作用力，称为单元节点力单元节点力。该单元每节点。该单元每节点2 2个节个节点力分量：剪力点力分量：剪力q q，弯矩，弯矩m m（分别与节点的（分别与节点的2 2个位

5、移分量对个位移分量对应）。应）。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v 注意：注意：1)如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！2)节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。Tjjiiemqmqp称为单元e的单元节点力列阵（向量）。ep单元节点力：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 2、单元特性的建立v与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力

6、平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。这个关系就是单元的特性（刚度特性）。v 下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：间有线性关系：jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq44434241343332312423222114131211v简记为：eeekp第二章第二

7、章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元上式就是梁单元的刚度方程。上式就是梁单元的刚度方程。称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。常数。ek为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：00014321uuuu413121114321aaaassss方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss（这里1，2，3，4是

8、单元自由度序号）第第1 1列刚度元数就是第列刚度元数就是第1 1个节点位移分量为个节点位移分量为1 1，其他位移分量皆为，其他位移分量皆为0 0时所有时所有节点力分量。节点力分量。刚度方程第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元按上述物理意义求刚度矩阵元素：按上述物理意义求刚度矩阵元素：0001e413121114321aaaassss按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：挠度：挠度：EJlsEJlsu23122311转角：转角：EJlsEJlsu221220联立解出：联立解出：21221131612alEJsalEJ

9、s再由梁单元的静力平衡条件得：再由梁单元的静力平衡条件得：41221431313612alEJslssalEJss梁单元位移至此已求出刚度矩阵的第至此已求出刚度矩阵的第1 1列元素。列元素。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元再设：0010e423222124321aaaassss4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：lEJalEJa4622212l

10、EJalEJa2642232梁单元变形梁单元变形由刚度方程可得：由刚度方程可得：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元同样的方法可以求出其余同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：列元素，从而求出单元刚度矩阵：2222346266126122646612612lllllllllllllEJke显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；）对称性；2）奇异性；）奇异性；3）主对角元素恒正）主对角元素恒正。eeekpv刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：刚度矩阵

11、求得后，单元特性就完全确定：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。单元节点力列阵分块：单元节点力列阵分块：ejieppp ejie单元节点位移列阵分块：单元节点位移列阵分块：分块形式的单元刚度矩阵：分块形式的单元刚度矩阵：ejjjiijiiekkkkk上面每一子块均为上面每一子块均为21子列阵。子列阵。每一子块均为每一子块均为22子矩阵子矩阵 3、单元刚度方程的分块 eeekp第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.

12、3 简单梁单元简单梁单元v将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：个代数方程）：ejeijeieiieikkpejejjeiejiejkkp因此，单元刚度方程分块形式表示为：因此，单元刚度方程分块形式表示为：ejiejjjiijiiejikkkkpp eeekpv从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。点位移对对应节点力的贡献。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元v 上面按分块形式表示的单元刚度方程上面按分块形式表示的单元刚度方程节

13、点力节点力节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有限元分析中广泛采用。洁，在有限元分析中广泛采用。2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元三、离散结构的整体分析121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp343344433433343kkkkpp设已知分块形式的各单元特性方程：设已知分块形式的各单元特性方程：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 以离散结构的各节点作为隔离体，以节点以离

14、散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，建立其平衡方程。为例，建立其平衡方程。单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力v 节点节点2的受力分为两类：的受力分为两类：1）外载荷：）外载荷：2）单元（）单元（1）、（）、（2）上节点力的反作用力：）上节点力的反作用力：22,MZ22221212,mqmq第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v 由节点由节点2的静力平衡条件得：的静力平衡条件得：221222221212222ppmqmqMZQ单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力节点节点2 2的外载荷的外载荷=节点节点2 2对其所有相连单元的节点

15、力之和（节点总内力）对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）也就是节点也就是节点2 2所受外载荷所受外载荷 要分配到相连的单元上。要分配到相连的单元上。2Q第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v由前面给出的单元（由前面给出的单元（1 1）、（）、（2 2）分块形式）分块形式单元刚度方程代入节点单元刚度方程代入节点2 2的平衡方程：的平衡方程：121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp 32232222122112122122)(kkkkppQ 121221112112kkp 232232222222kkp第二

16、章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元v同理，由节点3的平衡可得：43343333233223233233)(kkkkppQv由节点1、4的平衡得：21121111111kkpQ 43443343344kkpQ43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk 将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 QK上式简写为：上式简写为：QK 结构（系统）有限元平衡方程结构（系统）有限元平衡方程 344

17、343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元l 结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。l 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。

18、这些性质。l 总刚度矩阵中有大量元素为总刚度矩阵中有大量元素为0 0，因此矩阵具有稀疏性，因此矩阵具有稀疏性l 非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。结构总刚度矩阵的讨论：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：性质如下：1 1）对称性；）对称性；2 2）奇异性；）奇异性；3 3）稀疏性；）稀疏性；4 4）非零元素带状

19、分布）非零元素带状分布第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元 结构有限元平衡方程的讨论：43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献总总刚子块的物理意义。刚子块

20、的物理意义。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之间的平衡。总节点力）之间的平衡。结构有限元

21、平衡方程可以叙述为：结构有限元平衡方程可以叙述为：总节点力（内力）总节点力（内力）=节点外载荷。节点外载荷。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.3 2.3 简单梁单元简单梁单元43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk 对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位分离出关于未知位移的方程进行求

22、解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。移，通过剩余方程求出支反力。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 iiiivu iiiiMYXQ Q平面刚架平面刚架模拟模拟第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元 单元有单元有2个节点：个节点：i，j 局部坐标系下节点位移分量：局部坐标系下节点位移分量：轴向位移：轴向位移：横向挠度：横向挠度：转角：转角：局部坐标系下节点力分量：局部坐标系下节点力分量：轴向力：轴向力：横向剪力：横向剪力：弯矩：弯矩：2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元fTqm第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与

23、梁单元 单元有单元有6个位移分量个位移分量 6个自由度个自由度 单元节点位移列阵：单元节点位移列阵：单元节点力列阵：单元节点力列阵：2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 建立单元特性方程v在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。jjjiiiffv因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成：第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.4 2.4 平面内

24、一般梁单元平面内一般梁单元第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元i 1000cossin0sincos第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 Tjjjiiievuvu TjyjxjiyixiemPPmPPp节点力矢量与节点位移矢量满节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变换关系。足相同的坐标变换关系。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.4 2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元 eeeTeeTkTp eeekp eeTeeTkTk第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.4

25、2.4 平面内一般梁单元平面内一般梁单元平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。根据每个节点外载荷与结构的总节点力平衡得到系统的有限元平衡方程，再引入约束条件后求解。总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到：emekK1 QK第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.5 2.5 三维空间梁单元简介三维空间梁单元简介 ziyixiiiiiwvu zjyjxjjjjjwvu jie第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.5 2.5 三维空间梁单元简介三维空间梁单元简介 局部坐标系下单元刚度矩阵v三维梁单元的变形模式为：轴向拉伸、2个主平面内弯曲、扭转变形的组合。v

26、前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部坐标系下单元的扭转刚度方程：v 由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形的 刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维梁单元的组合刚度特性。包括：一个拉压刚度矩阵、2个简单梁刚度矩阵、1个扭转刚度矩阵。第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.5 2.5 三维空间梁单元简介三维空间梁单元简介 ek第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元2.5 2.5 三维空间梁单元简介三维空间梁单元简介 总体坐标系下三维梁单元刚度矩阵 iiiiiiwvuwvu ziyixiziyixi)cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos(zzyzxzzyyyxyzxyxxx eeeTeT eeTeeTkTk第二章第二章 杆单元与梁单元杆单元与梁单元