作业4无穷小与无穷大

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1、1、根据无穷小的定义证明： 1）当时，是无穷小。 证明： 取，当时恒有 所以当时，是无穷小。 2）当时，为无穷小 证明： 取，当时，恒有 所以当时为无穷小。2、根据无穷大的定义证明：当时，是无穷大。证明：对于任给的 取，当时，恒有 所以当时，是无穷大。3、当时，将分解为一个常数与一个无穷小的和。解：4、求下列极限并说明理由1）解：因为，所以2）解：因为，所以。（有界量与无穷小的积还是无穷小）5、设时，（为有限数）。试证明下列各式： 1） 证明：对于任给，因为，所以存在，当时， 恒有又因为，对于，一定存在，当时，恒有取，当时 所以 2）证明：因为，所以只需证明由1）中证明，可得为时的无穷大，由无

2、穷大与无穷小的关系时，为无穷小，又因为，利用极限的性质，是局部有界的，因此也是局部有界的。根据无穷小与有界量的积还是无穷小，所以。再利用极限与无穷小的关系有6、设（为实数或无穷），而，试问时，必为无穷小吗？并说明理由。解：1）如果为有限实数。，理由是无穷小与有界量的积还是无穷小。2）如果为无穷，则不一定。例：，但时，不是无穷小。7、证明：在区间是无界的；但当时，不是无穷大。证明：1）在区间无界。如果函数在区间上有界则存在正常数，使得对于任给的，都有 ，而我们只要取，则有，这是一个矛盾，所以函数在区间上无界。2）当时，不是无穷大。如果，即对于任意的正数，都存在，当时都有。而当我们取时，则有这是一个矛盾，所以时，不是无穷大。