第一章函数极限与连续

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1、第一章函第一章函 数数、极极 限限 与与 连连 接接(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章的主要内容一、本章的主要内容函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。二、几个常用的基本极限limxxxc cc0()（1 ）=,(为常数）；lim0 xx=x（2）；1lim0 x=x（3）；1lim0（4），(为正的常数)；x=xlimmm 1mnnx

2、nmnan=mba xa xa=nmb xb xbnmaaabbbab00-01-101010100,当+（5）0,当+,当(其中、和、都是常数，且0,0)；sinlim1xx=x0（6）；tanlim1xx=x0（7）；1lim 1exx+=x（8）；10lim 1ett+t=（9）；lim0(|1)xxqq（1 0）.三、几个充要条件00lim()()()xxxxxf xAf xAx0()当 时（1 ）；00lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xf xA000（2）；lim()lim()lim()xxxf xAf xf xA（3）；0000lim()()lim()lim(

3、)()xxxxxxf xf xf xf xf x000（4）.表 1-10()lim()无穷大xxxf x 0()1lim0()无穷小xxxf x()0f x 有倒数关系0()0()当 时f xAaxxax 0()lim()()函数的极限常数xxxf xAlim()xf xA0lim()xxf xA000lim()()右连续xxf xf x000lim()()左连续xxf xf x00lim()()点连续xxf xf xlim()xf xA0lim()xxf xA00lim()()点连续xxf xf xlim数列的极限 nnxAlim()xf xAlim()xf xA00lim()右极限xxf

4、 xA00lim()左极限xxf xA10lim(1)zzze1lim 1xxex1xz0sinlim1xxx续表六、本章关键词六、本章关键词函数 极限 连续条 件结 论00000lim0lim()()()()()()lim()()lim()()(1)如果 或(2)如果 在，内每一点连续(3)如果 在，内连续，且，xxxxbxayf xf xyf xa byf xa bf xf bf xf b 0()()()()那么 在点 连续那么 在，内连续那么 在，上连续yf xxyf xa byf xa b(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、求函数的定义域一、求函数的定义域分式的分母不等于零

5、；偶次方根式中，被开方式大于等于零；含有对数的式子，真数式大于零；反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；函数的定义域就是指使函数有意义的自变量 的取值范围.判断函数有意义的方法有以下几种：x例例1 1 求下列函数的定义域：21arccos(318)32yxxx(1)；2ln(52)10710 xyxxx(2).解解所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不等式组。(1)若使函数有意义，必须2123201719|318|133xxxxxx或，解得，171933x故所求函数定义域为；(2)若使函数有意义，必须22520571002,510010 x

6、xxxxxxx，解得，2102,5.5xxx故所求函数的定义域为且解解52.4故所求函数的定义域为 x二、判断两个函数是否相同二、判断两个函数是否相同 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。例例3 3 判断下列各对函数是否相同？21()cos()(1 cos)22xf xg xx(1)与；|()()1xf xg xx(2)与.利用定义域和对应法则来判断。221()cos()(1 cos)22()()1()cos(1 cos)(),()()22()()xf xg xxf xg xxf xxg xf xg x

7、f xg x(1)因为的定义域是一切实数，而的定义域也是一切实数，所以与具有相同的定义域；又因为即与具有相同的对应法则，所以与是相同的函数；解解|()0()1()()xf xxg xxf xg x(2)因为定义域是的一切实数，而的定义域 是一切实数，所以与不是相同的函数。三、判断函数奇偶性三、判断函数奇偶性 判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。例例4 4 判断下列函数的奇偶性：1()(01)1xxaf xaaa(1)且；322()(2tan)f xxxx(2)

8、。解解(1)用定义判断111()()111xxxxxxaaafxf xaaa 因为，1()1xxaf xa所以 是奇函数；(2)用性质判断3222tanxxx因为 是奇函数，是偶函数，322()(2tan)f xxxx所以 是奇函数。四、数列极限的求法四、数列极限的求法利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。1.nn 若数列通项的分子、分母都是关于 的多项式，则用分子 分母中 的最高次项的幂函数数同除分子分母，然后由四 则运算法则求极限。例例5 5 求下列数列极限：23225lim353nnnnnn(1)；2221lim534nnnnn(2)；21lim32nnnn(3).解解23

9、23125lim03531nnnnnnn(1)原式；221122lim3455nnnnn(2)原式；211lim1321nnnn(3)原式.2、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 极限的方法。22lim(1)求 。nnnn例例6 6对通项式有理化得222222(1)(1)lim1nnnnnnnnnn原式2221111limlim211111nnnnnnnnn。解解3、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的 前n项和公式求和，再求极限。231111lim 1(1)2222 求 nnn 例例7 7解解11112aqn 先求由，所构成的等比数列的前项和，再求极限，112l

10、im112原式nn 212lim1(1)332nnn 4、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项 放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。222lim2 求 nnnnnnnn例例8 8解解2222(1,2,),(1,2,)nnnnininninnnin因为222222nnnnnnnnnnnnnn所以 2222211limlim1limlim111nnnnnnnnnnn而，222lim1.2nnnnnnnn故 5.11lim 1e 若通项式为形如形式的不定式，一般采用重要极限 求极限。nnn例例9 9 求下列极限：31lim 11nnn(1)；3lim.1nnnn(2)解

11、解1lim 1e.nnn用重要极限求极限1 21lim 11(1)原式nnn 1211lim 1lim 1e11；nnnnn21 1222lim 1lim111nnnnnn(2)原式21122222lim11e.11nnnn 五、函数极限的求法五、函数极限的求法 函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是自变量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法.一般地，函数极限有以下几种求法：数列极限的求法也适合求函数的极限.000lim.利用函数的连续性求函数的极限，即若 在 处连续，则有 xxf xxxf xf x241lim.54 求

12、xxxx例例1010解解21454xxxx因为函数在处连续，2411lim4.854xxfxx所以 若求分段函数在分界点处的极限，则利用极限存在的充 要条件求极限。即函数在某一点极限存在的充要条件是 函数在该点的左右极限存在且相等。例例1111 已知 213231113limlim.sin13xxxxxf xxxf xf xxx，求，解解 1xf x在处，求的左右极限 211limlim230 xxf xxx，11limlim10 xxf xx，1lim0 xf x所以；3xf x在处，求的左右极限 33limlim12xxf xx，33limlim sin1sin3 1xxf xx，3lim

13、xf x所以 不存在.33limlimxxf xf x因为，0100sinlim111111lim 1e 利用两个重要极限求函数的极限。即若所求极限为形如 形式的不定式，并且极限式中含有三角函数，一般通 过三角函数的恒等变换再利用重要极限 求 极限；若所求极限为形如 形式的不定式，并且所求函 数易转化为 或 的形式，通常采用 求极限。xuuxxxxuux0sin7lim.arcsin5 求 xxx例例1212解解00因为已知极限为形式不定式，且含有三角函数，则有0sin757lim7arcsin55xxxxxxx原式00sin arctan5sin777limlim.7arcsin555xxx

14、xxx1cos10lim cos.求 xxx例例1313解解101lim 1exxx因为所求极限为形式不定式，由得1cos10lim 1cos1e.xxx原式 利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极 限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无 穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为 无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。例例1414 求下列函数的极限：201limsin cos(1)；xxxx22223lim4(2).xxxx解解(1)利用无穷小量的性质求该极限，201limsin cos0所以；xxxx210sincos因为当时，均是无穷小量，而为有

15、界变量，xxxx(2)利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。22223540因为当时，xxxx2224lim023所以，xxxx六、判断函数连续性六、判断函数连续性 利用函数连续性的等价定义，对于分段函数在分界点的连续性，可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。22223lim4所以，极限不存在。xxxx 220210202352 讨论 在，处的连 续性.xexf xxxxxxxx 例例1515解解02由已知，均是分界点.xx 00000limlim 21 limlim 21101在处，而，xxxxxxf xef xxf 0所以在处连续；f x

16、x 222222limlim 215limlim353在处，xxxxxf xxf xxx 2lim2.所以极限不存在，故在处不连续xf xf xx 1sin000.1sin0 讨论当，为何值时，函数 ，在处连续abxxxf xaxxxbxx例例1616解解0在分界点处x 000011limlimsin1limlimsin0.，xxxxf xxf xxbbxxfa 000limlim0 若使在处连续，必须使 成立，xxf xxf xf xf110.即，所以当时，函数在处连续baabx(三)思考题思考题1、讨论分段函数连续性的关键是什么？2、奇、偶函数有何性质？3、函数的极限比数列的极限复杂，为什

17、么？4、无穷小与无穷大是什么关系？答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案(四)课堂练习题课堂练习题22211 lim.321、求nnnn112 lim 1.、求nnn013 lim.2sin、求xxex224 .1、求函数的连续区间yx答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案返返 回回1、是着重讨论分段函数的分界点的连续性.返返 回回2、奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶 函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇 函数.返返 回回3、首先是因为自变量的变化过程多；其次是因为函数式 复杂.返返 回回4、互为倒数.返返 回回1、：解22221222limlim.21213313nnnnnnnn返返 回回2、：解1111lim 1lim 1lim 1.nnnnnennn返返 回回3、：解 0 1 sin时,，；xxexxx0011 limlim.2sin22xxxexxx返返 回回4、：解22 1 R 1.由初等函数在其定义域内连续可知，函数的定义域为且yxxx ,11,11,.所以函数的连续区间为