四MATLAB求解数学问题

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1、2022-11-12黄建华制作0（四）MATLAB求解数学问题v数学分析v概率论与数理统计v插值与拟合v优化运算v线性代数v复变函数 2022-11-12黄建华制作14.1数学分析v符号方程的求解v极限v导数与微分v(重)积分v曲线积分与曲面积分 v空间解析几何与向量代数v级数v微分方程2022-11-12黄建华制作24.1.1符号方程的求解 主要内容主要内容v 线性方程线性方程v 非线性方程非线性方程2022-11-12黄建华制作34.1.1符号方程的求解v线性方程线性方程 常用常用solve()和和linsolve()函数来解决线性方程问题。函数来解决线性方程问题。具体格式：具体格式：X=

2、solve(方程方程1,.方程方程n,变量变量1,.变量变量m)说明：可以求解方程组，单变量时变量声明可以省略。说明：可以求解方程组，单变量时变量声明可以省略。X=linsolve(A,B)%求解求解线性方程组线性方程组AX=B，返回特解，返回特解X 2022-11-12黄建华制作44.1.1符号方程的求解v例例4.1.1求解方程：求解方程：命令：命令：clear;x=solve(x2-x-6=0)相当于：clear;syms x;f=x2-x-6;x=solve(f)x=3 -2062 xx2022-11-12黄建华制作54.1.1符号方程的求解v例例4.1.2 求解方程组：求解方程组：命令

3、：命令：clear;x,y=solve(x2+y-6=0,y2+x-6=0,x,y)x=2 y=2 -3 -3 1/2-1/2*21(1/2)1/2+1/2*21(1/2)1/2+1/2*21(1/2)1/2-1/2*21(1/2)若将x,y=改用X=，则仅将返回一个解的结构。060622xyyxX=x:4x1 sym y:4x1 sym2022-11-12黄建华制作64.1.1符号方程的求解v例例4.1.3 求解方程组：求解方程组：命令：命令：clear;A=5,0,4,2;1,-1,2,1;4,1,2,0;1,1,1,1;b=3;1;1;0;X=linsolve(A,b)X=1.0000

4、-1.0000 -1.0000 1.0000012412324543213214321431xxxxxxxxxxxxxx2022-11-12黄建华制作74.1.1符号方程的求解v非线性方程非线性方程 常用常用fsolve()函数来解决非线性方程问题。函数来解决非线性方程问题。具体格式：具体格式：X=fsolve(fun,x0,options)说明：说明：fun为定义好的非线性方程为定义好的非线性方程(组组)的文件名，其中的文件名，其中为调用为调用函数符号；函数符号；x0为求解方程的初始向量；为求解方程的初始向量；options设置求解过程设置求解过程的各种参数，一般采用默认参数的各种参数，一般

5、采用默认参数optimset(fsolve),其他参数其他参数可以查询帮助。可以查询帮助。2022-11-12黄建华制作84.1.1符号方程的求解v例例4.1.4 求解方程组：求解方程组：x0=x(1),x(2)=0.1,0.10sin3.0cos5.00cos3.0sin5.0212211xxxxxx2022-11-12黄建华制作94.1.1符号方程的求解首先建立函数文件首先建立函数文件fun.m并保存在默认路径下：并保存在默认路径下：function y=fun(x)y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2),.x(2)-0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(

6、2);然后运行命令：然后运行命令：clear;x0=0.1,0.1;x=fsolve(fun,x0,optimset(fsolve)x=0.5414 0.33102022-11-12黄建华制作104.1.2极限 主要内容主要内容v单变量函数的极限单变量函数的极限v多变量函数的极限多变量函数的极限2022-11-12黄建华制作114.1.2极限v单变量函数的极限单变量函数的极限首先首先进行进行符号变量说明符号变量说明:syms x y t h a 然后定义函数然后定义函数fun，再使用下列命令格式求对应极限，再使用下列命令格式求对应极限:limit(fun,x,a)%求函数求函数fun当当xa时

7、的极限时的极限limit(fun,a)%默认变量默认变量x或唯一符号变量或唯一符号变量limit(fun)%默认变量默认变量x,且且a=0limit(fun,x,a,right)%右极限右极限 xa+limit(fun,x,a,left)%左极限左极限 xa-2022-11-12黄建华制作124.1.2极限v例例4.1.5 举例举例:结果结果 syms x h a f=sin(x)/x;limit(f)1 limit(f,inf)0 limit(x-2)/(x2-4),2)1/4 limit(1/x,x,0,right)inf limit(1/x,x,0,left)-inf limit(sin

8、(x+h)-sin(x)/h,h,0)cos(x)limit(1+a/x)*sin(x),x,a)2*sin(a)2022-11-12黄建华制作134.1.2极限v例例4.1.6试求解极限问题试求解极限问题:解：解：syms x a b;f=x*(1+a/x)x*sin(b/x);L=limit(f,x,inf)L=exp(a)*b)sin()1(limxbxaxxx2022-11-12黄建华制作144.1.2极限v多变量函数的极限多变量函数的极限 假设有二元函数求极限问题：假设有二元函数求极限问题：则可以嵌套使用则可以嵌套使用limit()函数函数:limit(limit（fun,x,x0)

9、,y,y0)或或 limit(limit（fun,y,y0),x,x0)如果如果x0或或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，则不是确定的值，而是另一个变量的函数，则顺序不能交换。顺序不能交换。注意：此种用法只适用于极限存在的情况。注意：此种用法只适用于极限存在的情况。),(lim00yxfLyyxx2022-11-12黄建华制作154.1.2极限v例例4.1.7 求出二元函数极限值求出二元函数极限值:解：解：syms x y;f=sin(x*y)/x;L=limit(limit(f,x,0),y,0)L1=limit(limit(f,y,0),x,0)L=0 L1=0 xxyyx)sin(

10、lim002022-11-12黄建华制作164.1.2极限v例例4.1.8 求出二元函数极限值求出二元函数极限值:解解 syms x y k;f=(x2-y2)/(x2+y2);(1)L=limit(limit(f,x,0),y,0)(2)L1=limit(limit(f,y,0),x,0)(3)L2=limit(limit(f,y,k*x),x,0)L=-1 L1=1 L2=-(-1+k2)/(1+k2)222200limyxyxLyx2022-11-12黄建华制作174.1.3导数和微分 主要内容主要内容v导数和高阶导数导数和高阶导数v高阶混合偏导数高阶混合偏导数v复合函数求导复合函数求导

11、v隐函数求偏导隐函数求偏导v参数方程求导参数方程求导v导数的应用导数的应用v梯度计算和方向导数梯度计算和方向导数2022-11-12黄建华制作184.1.3导数和微分v导数和高阶导数导数和高阶导数首先首先进行进行符号变量说明符号变量说明:syms 然后定义函数然后定义函数f，再使用，再使用下列命令格式求对应导数下列命令格式求对应导数:diff(f)%f对默认变量对默认变量x求一阶导数求一阶导数diff(f,v)%f 对变量对变量v求一阶导数求一阶导数diff(f,n)%f对默认变量对默认变量x 求求n阶导数阶导数diff(f,v,n)%f 对变量对变量v 求求n阶导数阶导数显然，用以上命令可以

12、实现求各阶纯偏导。显然，用以上命令可以实现求各阶纯偏导。微分与导数是共通的，只须将求导答案变形一下即可！微分与导数是共通的，只须将求导答案变形一下即可！2022-11-12黄建华制作194.1.3导数和微分v例例4.1.9 命令命令：syms a x y;f=x3+y2+a*x*y-3*x+7;f1=diff(f)结果：结果：f1=3*x2+a*y-3 f2=diff(f,y)f2=2*y+a*x f3=diff(f,2)f3=6*x f4=diff(f,y,2)f4=2 73),(23xaxyyxyxf2022-11-12黄建华制作204.1.3导数和微分v高阶混合偏导数高阶混合偏导数假设有

13、多元函数求偏导问题：假设有多元函数求偏导问题：则可以嵌套使用则可以嵌套使用diff()函数函数:命令格式命令格式:diff(difft(f,x,m),y,n)或或 diff(diff(f,y,n),x,m)nmnmyxf2022-11-12黄建华制作214.1.3导数和微分v例例4.1.10 求：求：命令命令：syms x y;z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);zxzy=diff(diff(z,x),y)zxzy=(2*x-2)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)-(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y)+(x2-2*x)*(-2*x-y)*(-2*y

14、-x)*exp(-x2-y2-x*y)xyyxexxyxf22)2(),(2yxyxf),(22022-11-12黄建华制作224.1.3导数和微分化简一下：化简一下：命令命令：zxzy1=simple(zxzy)zxzy1=exp(-x2-y2-x*y)*(-4*x*y-3*x2+4*y+4*x +5*x3*y+2*x4+2*x2*y2-10*x2*y-4*x3-4*x*y2)2022-11-12黄建华制作234.1.3导数和微分v例例4.1.11 求：求：命令命令：syms x y;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);ydx=-diff(f,x)/diff(f,y)ydx

15、=(-(2*x-2)*exp(-x2-y2-x*y)-(x2-2*x)*(-2*x-y)*exp(-x2-y2-x*y)/(x2-2*x)/(-2*y-x)/exp(-x2-y2-x*y)0)2(),(222xyyxexxyxfdxdy2022-11-12黄建华制作244.1.3导数和微分v复合函数求导复合函数求导v例例4.1.12 已知：已知：求：求：命令：命令：syms t x y;t=exp(sin(x);y=sin(exp(t);ydx=diff(y,x)ydx=cos(exp(exp(sin(x)*cos(x)*exp(sin(x)*exp(exp(sin(x)注意不能将注意不能将t

16、=exp(sin(x);y=sin(exp(t);输入输入顺序颠倒，顺序颠倒，否则结果否则结果0。xteteysinsin，dxdy2022-11-12黄建华制作254.1.3导数和微分v隐函数求偏导隐函数求偏导假设有隐函数表达式假设有隐函数表达式f(x1,x2,xn)=0,求偏导问题：求偏导问题：可以使用可以使用diff()函数函数,命令格式命令格式:F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)ijjixfxfxx/2022-11-12黄建华制作264.1.3导数和微分v例例4.1.13 已知已知 求：求：命令命令：clear;syms x y;F=atan(y/x)-log(sqrt(

17、x2+y2);ydx=-diff(F,y)/diff(F,x)ydx=(-1/x/(1+y2/x2)+1/(x2+y2)*y)/(-y/x2/(1+y2/x2)-1/(x2+y2)*x)simple(ydx)ydx=(x-y)/(y+x)22lnarctanyxxydxdy2022-11-12黄建华制作274.1.3导数和微分v参数方程求导参数方程求导假设有参数方程表达式假设有参数方程表达式y=f(t),x=g(t),求导数：求导数：可以使用可以使用diff()函数的递归调用函数的递归调用,命令格式命令格式:dk=diff(dk-1,t)/diff(x,t)其中其中dk-1表示表示k-1阶导数

18、阶导数注意不能用：注意不能用：dk=diff(y,t,k)/diff(x,t,k)kkdxyd2022-11-12黄建华制作284.1.3导数和微分v例例4.1.14 已知已知 求：求：命令命令：syms a b t x y;x=a*cos(t);y=b*sin(t);d1=diff(y,t)/diff(x,t)d1=-b*cos(t)/a/sin(t)pretty(simple(d1)b -a tan(t)20sincosttbytax222dxyddxdyt和2022-11-12黄建华制作294.1.3导数和微分d2=diff(d1,t)/diff(x,t)d2=-(b/a+b*cos(t

19、)2/a/sin(t)2)/a/sin(t)pretty(simple(d2)b -2 2 a (-1+cos (t)sin(t)dtdxdxdydtddxdydxddxyd)()(222022-11-12黄建华制作304.1.3导数和微分若改用：若改用：xd2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2)xd2=b*sin(t)/a/cos(t)pretty(simple(xd2)b tan(t)-a显然不同。显然不同。tab32sin2022-11-12黄建华制作314.1.3导数和微分v导数的应用导数的应用v例例4.1.15 讨论函数讨论函数 的极值、单调性和的极值、单调性和其导数函数

20、的关系。其导数函数的关系。命令：命令：clear;syms x y dy d2y;y=x2/(1+x2);dy=simple(diff(y);pretty(dy)x 2 -2 2 (1+x )221xxy2022-11-12黄建华制作324.1.3导数和微分Px=solve(dy)Px=0 d2y=simplify(diff(y,2)d2y=-2*(-1+3*x2)/(1+x2)3 P2x=solve(d2y)P2x=-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)322)1()31(2xx2022-11-12黄建华制作334.1.3导数和微分lims=-5,5;subplot(3,1,1);ezp

21、lot(y,lims);hold on;line(0,0,-0.5,1.5),line(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-0.5,1.5);line(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-0.5,1.5);subplot(3,1,2);ezplot(dy,lims);hold on;line(0,0,-1,1.5);line(-5,5,0,0);%同时绘制横轴同时绘制横轴subplot(3,1,3);ezplot(d2y,-5,5);hold on;line(-5,5,0,0);line(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-1,1.5);line(sqrt(3)/3,

22、sqrt(3)/3,-1,1.5);2022-11-12黄建华制作344.1.3导数和微分2022-11-12黄建华制作354.1.3导数和微分v梯度计算和方向导数梯度计算和方向导数jacobian(fun,v)%v是求导变量向量，表示是求导变量向量，表示fun对对 v求偏导矩阵即梯度求偏导矩阵即梯度gridient(F)%求求F的数值梯度，一维时可用的数值梯度，一维时可用diff代代替替dot（jacobian(fun)，v）=jacobian(fun)v%v是某方向的单位向量，数量积就是方向导数是某方向的单位向量，数量积就是方向导数2022-11-12黄建华制作364.1.4积分 主要内容

23、主要内容v不定积分不定积分v定积分与无穷积分定积分与无穷积分v重积分重积分v数值积分数值积分2022-11-12黄建华制作374.1.4积分v不定积分不定积分 不定积分问题：不定积分问题：可以使用可以使用int()函数函数:F=int(fun,x)或或 F=int(fun)%当当fun中只有一个自变量中只有一个自变量x，则则x可省可省 最终答案应为：最终答案应为：F(x)+CdxxfF)(2022-11-12黄建华制作384.1.4积分v例例4.1.16 用用diff()diff()函数求函数求的的4 4阶导数，再积分，阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。检验是否可以得出一致的结果。命

24、令：命令：syms x;y=sin(x)/(x2+4*x+3);y4=diff(y,4);y0=int(int(int(int(y4);pretty(simple(y0)%对导数积分应该得出原函数对导数积分应该得出原函数 sin(x)-(x+1)(x+3)34sin2xxxy2022-11-12黄建华制作394.1.4积分v例例4.1.17证明：证明：命令：命令：syms a x;f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x);f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+.(3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x);simp

25、le(f-f1)%求两个结果的差 -3/16/a4 结果是一个常数，表明答案正确。结果是一个常数，表明答案正确。Caxaaxaxaxaxxdxaxx)2cos()16383()2sin()834(8)(cos422334232022-11-12黄建华制作404.1.4积分v例例4.1.18不可积问题：不可积问题：命令：命令：syms x;int(exp(x2)vans=-1/2*i*pi(1/2)*erf(i*x)结果中的结果中的erf是一个定义的函数：表明不可积！dxex2xtdtexerf022)(2022-11-12黄建华制作414.1.4积分v定积分与无穷积分定积分与无穷积分 定积分问

26、题：定积分问题：可以使用可以使用int()函数函数:int(fun,x,a,b)若为无穷积分问题，则只需将命令中若为无穷积分问题，则只需将命令中a(或或b)改为改为-inf(或或inf)即可。如求：即可。如求：用：用：int(fun,x,a,inf)dxxfIba)(dxxfIa)(2022-11-12黄建华制作424.1.4积分v例例4.1.19不可积问题不可积问题 的定积分的定积分 可积。可积。命令：命令：syms x;int(exp(-x2/2),x,0,inf)ans=1/2*2(1/2)*pi(1/2)命令：命令：syms x;I=int(exp(-x2/2),x,0,1)I=1/2

27、*erf(1/2*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)可以使用vpa()函数显示数值：vpa(I,5)=0.85565dxex22022dxex22212022-11-12黄建华制作434.1.4积分v例例4.1.20变限积分也可使用定积分求解：变限积分也可使用定积分求解：命令：命令：syms x t;F=int(exp(t),t,2*x,sin(x)F=exp(sin(x)-exp(2*x)命令：命令：Fx=diff(F,x)Fx=cos(x)*exp(sin(x)-2*exp(2*x)xxtdtesin22022-11-12黄建华制作444.1.4积分v重积分重积分 重积分问题可以先

28、化为累次积分的方式再使重积分问题可以先化为累次积分的方式再使用用 int()函数的嵌套来解决函数的嵌套来解决:v例例4.1.21求二重积分：求二重积分：dyxyxdxdxxyxdyxydyxIxyD021012102sinsinsin2022-11-12黄建华制作454.1.4积分 clear ;syms x y;f=x2*sin(x*y);a1=int(f,x,y,1)a1=(-y2*cos(y)+2*cos(y)+2*y*sin(y)+y4*cos(y2).-2*cos(y2)-2*y2*sin(y2)/y3 I=int(a1,y,0,1)I=-1/2*sin(1)+1/2a2=int(f

29、,y,0,x)a2=-cos(x2)*x+x I1=int(a2,x,0,1)I=-1/2*sin(1)+1/22022-11-12黄建华制作464.1.4积分v数值积分数值积分 一元函数数值积分：一元函数数值积分：q=quad(fun,a,b,tol)-采用辛普森计算积分采用辛普森计算积分q=quad8(fun,a,b,tol)-采用采用newton cotes方法计算积分方法计算积分q=quadl(fun,a,b,tol)-采用采用lobatto方法计算方法计算 tol表示绝对误差限，默认表示绝对误差限，默认10-6，a,b是确定值是确定值;fun可以是可以是字符串、内联函数或字符串、内联

30、函数或M函数名。函数名。二重数值积分：二重数值积分：q=dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method)inmin,inmax是内变量下限和上限，是内变量下限和上限，outmin,outmax是外是外变量下限和上限，只能是常数，即只能计算矩形域上的积分。变量下限和上限，只能是常数，即只能计算矩形域上的积分。2022-11-12黄建华制作474.1.4积分v例例4.1.21(2)求积分：求积分：比较下列三种结果：比较下列三种结果：syms x;i=int(exp(-x2),x,0,1),vpa(i,15)i=1/2*erf(1)*pi(1/2)0

31、.746824132812427f=inline(exp(-x.2,x);q1=quad(f,0,1)q1=0.74682418072642q2=quadl(f,0,1)q2=0.74682413398845102dxeIx2022-11-12黄建华制作484.1.5曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分总是可以通过类似于重积曲线积分与曲面积分总是可以通过类似于重积分的处理方法转化为定积分方式来求解。关键是分的处理方法转化为定积分方式来求解。关键是掌握好转化公式和对积分限的要求。掌握好转化公式和对积分限的要求。2022-11-12黄建华制作494.1.5曲线积分与曲面积分v例例4.1.22求对

32、坐标的曲线积分：求对坐标的曲线积分：C是圆周是圆周x2+y2=ax的上半部分顺时针方向。的上半部分顺时针方向。命令：命令：clear ;syms x y a;y=sqrt(a*x-x2);ydx=diff(y,x);f=x2+y2+4*x*y*ydx;L=int(f,x,0,a)L=1/6*a3Cxydydxyx4)(222022-11-12黄建华制作504.1.6空间解析几何与向量代数 主要内容主要内容v有关向量的计算：模、方向余弦和方向角有关向量的计算：模、方向余弦和方向角v有关向量的计算：数量积、向量积有关向量的计算：数量积、向量积v空间曲线和曲面的绘制空间曲线和曲面的绘制2022-11

33、-12黄建华制作514.1.6空间解析几何与向量代数v有关向量的计算：模、方向余弦和方向角有关向量的计算：模、方向余弦和方向角v例例4.1.23求向量求向量 的模、方向余弦和方向角。的模、方向余弦和方向角。命令：命令：clear;a=2,-3,5;mo=sqrt(sum(a.2)%模模cx=2/mo;cy=-3/mo;cz=5/mo;c=cx,cy,cz%方向余弦方向余弦ax=acos(cx);ay=acos(cy);az=acos(cz);%方向角方向角A=ax,ay,az*180/pi%将弧度变为角度将弧度变为角度mo=6.1644c=0.3244 -0.4867 0.8111 A=71.

34、0682 119.1216 35.7958kjia5322022-11-12黄建华制作524.1.6空间解析几何与向量代数v有关向量的计算：数量积、向量积有关向量的计算：数量积、向量积v例例4.1.24求向量求向量 和和 的数量积、向量积。的数量积、向量积。命令：命令：clear;a=2,-3,1;b=1,-1,3;s=dot(a,b)%数量积等同于数量积等同于a*b ch=a*bs=8 ch=8 xlj1=cross(a,b)%a和和 b向量积向量积 xlj1=-8 -5 1xlj2=cross(b,a)%b和和 a向量积向量积 xlj2=8 5 -1kjia32kjib32022-11-1

35、2黄建华制作534.1.6空间解析几何与向量代数v空间曲线和曲面的绘制空间曲线和曲面的绘制 plot3(X,Y,Z)、mesh()、meshgrid()、surf()、ezmesh()等请参考具体的章节和帮助。等请参考具体的章节和帮助。v例例4.1.25绘制函数：绘制函数：y=1/xy=1/x围绕围绕y y轴旋转所形成的旋转曲面。轴旋转所形成的旋转曲面。命令：命令：clear;x=0.2:0.001:0.5;y=1./x;X,Y,Z=cylinder(y,30);%命令 cylinder(x,n)生成.绕母线x的旋转曲面，n定义母线的分格线条数 mesh(X,Y,Z)2022-11-12黄建华

36、制作544.1.7级数 主要内容主要内容v级数的求和与审敛级数的求和与审敛v泰勒展开泰勒展开v傅立叶展开傅立叶展开 2022-11-12黄建华制作554.1.7级数v级数的求和与审敛级数的求和与审敛 级数的求和与审敛实际是同一问题，只要可以求和，自级数的求和与审敛实际是同一问题，只要可以求和，自然收敛。级数求和命令格式：然收敛。级数求和命令格式：symsum(fun,变量，起点变量，起点，终点终点)省略变量则对默认变量求和。省略变量则对默认变量求和。v例例4.1.26求求（1）（2）命令：命令：clear;syms n;f1=(2*n-1)/2n ;f2=1/(n*(2*n+1);I1=sym

37、sum(f1,n,1,inf)I1=3%收敛收敛I2=symsum(f2,n,1,inf)I2=2-2*log(2)11212nnnI12)12(1nnnI2022-11-12黄建华制作564.1.7级数v级数的求和与审敛级数的求和与审敛v例例4.1.27求：求：命令：命令：clear;syms n m;f1=symsum(1/m,m,1,n);limit(f1-log(n)n,inf)ans=eulergamma%欧拉常数欧拉常数vpa(ans,20)ans=0.57721566490153286061ln)1.31211(limnnn2022-11-12黄建华制作574.1.7级数v级数的

38、求和与审敛级数的求和与审敛v例例4.1.28求求（1）（2）命令：命令：clear;syms n x;f1=sin(x)/n2 ;f2=(-1)(n-1)*xn/n;I1=symsum(f1,n,1,inf)I1=1/6*sin(x)*pi2 I2=symsum(f2,n,1,inf)I2=log(1+x)121sinnnxI112)1(nnnnxI2022-11-12黄建华制作584.1.7级数v 泰勒展开泰勒展开 命令格式：命令格式：taylor(fun,n，变量，变量，a)fun为待展函数；为待展函数；n为展开阶数，缺省是为展开阶数，缺省是6阶；变量为声阶；变量为声明明fun中的变量，省

39、略变量则对默认变量展开；中的变量，省略变量则对默认变量展开；a为变量求为变量求导的取值点，缺省为导的取值点，缺省为0，即麦克劳林展开。，即麦克劳林展开。v例例4.1.29将将 展开成幂级数。展开成幂级数。命令：命令：clear;syms x;f=1/(1+x2);taylor(f)ans=1-x2+x4taylor(f,20)ans=1-x2+x4-x6+x8-x10+x12-x14+x16-x18211)(xxf2022-11-12黄建华制作594.1.7级数v例例4.1.30将将 展开成展开成(x-1)的幂级数。的幂级数。命令：命令：clear;syms x;f=1/(x2+4*x+3);

40、taylor(f,10,x,1)ans=7/32-3/32*x+7/128*(x-1)2-15/512*(x-1)3+31/2048*(x-1)4-63/8192*(x-1)5+127/32768*(x-1)6-255/131072*(x-1)7+511/524288*(x-1)8-1023/2097152*(x-1)9341)(2xxxf2022-11-12黄建华制作604.1.7级数v 傅立叶展开傅立叶展开 将函数展开为如下格式：将函数展开为如下格式：可以结合可以结合MATLAB的积分命令的积分命令int()计算：计算：即可进行傅立叶展开。即可进行傅立叶展开。10)sincos(2)(kk

41、kkxbkxaaxf,.)3,2,1(sin)(1,.)3,2,1(cos)(1)(10nnxdxxfbnnxdxxfadxxfann2022-11-12黄建华制作614.1.8微分方程 求解微分方程（组）由命令求解微分方程（组）由命令dsolve()完成。格式：完成。格式：dsolve(方程方程1,方程方程n,条件条件1，条件条件m,变量变量1,.,变量变量k)其中方程其中方程i为待解方程；条件为初始状态，缺省则求通解；为待解方程；条件为初始状态，缺省则求通解；变量为微分自变量，缺省为默认。变量为微分自变量，缺省为默认。注意：在输入形式中，注意：在输入形式中，y记为记为Dy，y为为D2y，,

42、y(n)为为Dny。t,x=ode23(方程函数名方程函数名,tspan,x0,选项选项,附加参数附加参数)t,x=ode45(方程函数名方程函数名,tspan,x0,选项选项,附加参数附加参数)分别采用二阶三级和四阶五级的分别采用二阶三级和四阶五级的RKF方法计算常微分方程的方法计算常微分方程的数值解，数值解，plot(t,x)为解曲线。为解曲线。2022-11-12黄建华制作624.1.8微分方程v例例4.1.31求解微分方程：求解微分方程：(1)(2)命令：命令：clear;syms x y;Y1=dsolve(Dy=1/(x+y),x)Y1=-lambertw(-C1*exp(-1-x

43、)-1-x%lambertw(x)表示一种函数关系表示一种函数关系y*exp(y)=xY2=dsolve(D2y*y-Dy2=0,x)%若若D2y*y改为改为y*D2y会提示出错，不符合某种规则会提示出错，不符合某种规则 Y2=0 或或exp(C1*x)*C2yxdxdy10)(2 yyy2022-11-12黄建华制作634.1.8微分方程v例例4.1.32求解微分方程：求解微分方程：命令：命令：clear;syms x y;f=(1+x2)*D2y=2*x*Dy;c1=y(0)=1,Dy(0)=3;Y=dsolve(f,c1,x)Y=1+3*x+x33,1,2)1(002xxyyxyyx20

44、22-11-12黄建华制作644.1.8微分方程v例例4.1.33求解微分方程：求解微分方程：命令：命令：clear;syms x y;Y=dsolve(D2y-5*Dy+6*y=x*exp(2*x),x)Y=exp(3*x)*C2+exp(2*x)*C1-1/2*x*exp(2*x)*(2+x)xxeyyy2652022-11-12黄建华制作654.1.8微分方程v例例4.1.34求解微分方程组：求解微分方程组：命令：命令：clear;syms t x y;x,y=dsolve(Dx=x-y,Dy=x+y,t)x=exp(t)*(C1*cos(t)-C2*sin(t)y=exp(t)*(C1

45、*sin(t)+C2*cos(t)yxdtdyyxdtdx2022-11-12黄建华制作664.2 概率统计概率统计v随机变量及其分布随机变量及其分布v随机变量函数的分布随机变量函数的分布v随机变量的数字特征随机变量的数字特征v参数估计参数估计v假设检验假设检验v方差分析方差分析2022-11-12黄建华制作674.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n超几何分布超几何分布H(n,M,N)命令命令1：Fx=hygecdf(x,M,N,K)功能：计算超几何分布的累积概率，总共功能：计算超几何分布的累积概率，总共M件产品，其中件产品，其中次品次品N 件，抽取件，抽取K件检查，计算发现次品不多于

46、件检查，计算发现次品不多于x件的概件的概率率Fx=P次品数次品数Xx=F(x)命令命令2：x=hygeinv(p,M,N,K)功能：在已知参数功能：在已知参数M、N、K和和p的情况下计算随机量的情况下计算随机量x，使得使得p=P0次品数次品数Xx命令命令3：X=hygernd(M,N,K,m,n)功能：在已知参数功能：在已知参数M,N,K的情况下产生的情况下产生m*n维符合超几何维符合超几何分布的随机数矩阵分布的随机数矩阵XKMiKMiNCCCNiXP2022-11-12黄建华制作684.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布命令命令4：Px=hygepdf(x,M,N,K)功能：总共功能：

47、总共M件产品，其中次品件产品，其中次品N 件，抽取件，抽取K件检查，计算发件检查，计算发现恰好现恰好x件次品的概率件次品的概率Px=PX=x命令命令5：stairs(x,Px)功能：绘制以功能：绘制以 x为横坐标，为横坐标，Px为纵坐标的阶梯平面图；当为纵坐标的阶梯平面图；当Px是分布列是分布列(或密度或密度)时，绘制概率密度分布图；当时，绘制概率密度分布图；当Px是累积是累积分布时，绘制概率分布函数图分布时，绘制概率分布函数图注：注：以后碰到命令末尾为：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数产生随机数X；cdf-产生分布函数产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数产生密度函数p(x)或分布列

48、或分布列Px=PX=xinv-计算计算x=F-1(p)p=F(x)2022-11-12黄建华制作694.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n二项分布二项分布B(n,p)命令命令1：Fx=binocdf(x,n,p)功能：计算二项分布的累积概率功能：计算二项分布的累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=binoinv(y,n,p)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得y=PXx命令命令3：X=binornd(n,p,M,N)功能：产生功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵维符合二项分布的随机数矩阵X命令命令4：Px=binopdf(x,n,p)功能：计算试验中事件恰好发生

49、功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率次的概率knkppkXP)1(knC2022-11-12黄建华制作704.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n泊松分布泊松分布XP()命令命令1：Fx=poisscdf(x,lambda)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=poissinv(p,lambda)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=poissrnd(lambda,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=poisspdf(x,lambda)功能：计算概率功能：计算概率Px=PX=

50、x!kekXPk2022-11-12黄建华制作714.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n正态分布正态分布XN(,2)命令命令1：Fx=normcdf(x,mu,sigma)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=norminv(p,mu,sigma)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=normpdf(x,mu,sigma)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值补充：补充：randn()-

51、标准正态分布随机数标准正态分布随机数dxexXPxx22)(21212022-11-12黄建华制作724.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n指数分布指数分布Xexp()命令命令1：Fx=expcdf(x,lambda)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=expinv(p,lambda)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=exprnd(lambda,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=exppdf(x,lambda)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值

52、0001 xxexXPx2022-11-12黄建华制作734.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n均匀分布均匀分布XU(a,b)命令命令1：Fx=unifcdf(x,a,b)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=unifinv(p,a,b)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=unifrnd(a,b,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=unifpdf(x,a,b)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值补充：补充：rand()-(0,1)均匀分布随机数均匀分布

53、随机数2022-11-12黄建华制作744.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n分布分布命令命令:gamcdf(x,a,lambda),gaminv(p,a,lambda)gampdf(x,a,lambda),gamrnd(a,lambda,m,n)21(,1)1(),1()()(000)()(011aaadxexaxxeaxxfxaxaa满足：其中密度函数：2022-11-12黄建华制作754.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n2 2分布分布命令命令:chi2cdf(x,k),chi2inv(p,k),chi2pdf(x,k)chi2rnd(k,m,n)000)2(21)(21

54、222xxexkxfxkk密度函数：2022-11-12黄建华制作764.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布nT T分布分布命令命令:tcdf(x,k),tinv(p,k),tpdf(x,k)trnd(k,m,n)212)1()2()21()(kTkxkkkxf密度函数：2022-11-12黄建华制作774.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布nF F分布分布命令命令:fcdf(x,p,q),finv(F,p,q),fpdf(x,p,q)frnd(p,q,m,n)000)()2()2()2()(21222xxqxpxqpqpqpxfqppqpF密度函数：2022-11-12黄建华制作

55、784.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n例例4.2.1某人向空中抛硬币某人向空中抛硬币100次，落下为正面的次，落下为正面的概率为概率为0.5。这。这100次中正面向上的次数记为次中正面向上的次数记为X：(1)试计算试计算x=45的概率和的概率和x45的概率；的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。绘制分布函数图象和分布列图象。程序：程序：clear;px=binopdf(45,100,0.5)%计算计算x=45的概率的概率 px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算计算x45的概率的概率 fx=0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,10

56、0,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图分布函数图)2022-11-12黄建华制作794.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r);title(概率分布图概率分布图)2022-11-12黄建华制作804.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n例例4.2.2设设XN(2,0.25)(1)求概率求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象绘制分布函数图象和分布密度图象;(3)画出区间画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。上的分布密度曲线下方区域。程序程序:(1)p=normcdf(

57、2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,+b);hold on;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数正态分布函数,正态分布密度正态分布密度);(3)specs=1.5,1.9;pp=normspec(specs,2,0.5)2022-11-12黄建华制作814.2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布00.511.522.533.5400.10.20.30.40.50.60.70.8Probability Between

58、Limits is 0.26209DensityCritical Value2022-11-12黄建华制作824.2.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布根据概率统计教材中的定理：根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量如果已知随机变量X的密度的密度fX(x),随机变量函数随机变量函数Y=g(X)单调，则单调，则Y的密的密度函数为：度函数为：fY(x)=fX(h(y)|h(y)|,其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数。的反函数。如果如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：间进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数

59、的分布相当于据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程编程dyydFyfdxxfyXgPyYPyFYYyXgXY/)()()()()()(2022-11-12黄建华制作83n例例4.2.3设随机变量设随机变量X服从均匀分布服从均匀分布U0,1，求，求Y=eX的分布。的分布。程序：程序：clear;x=solve(y=exp(x)x=log(y)dy=diff(x,y)dy=1/yfy=1*abs(dy)fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！4.2.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2022-11-12黄建华制作844.

60、2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.数组的平均值数组的平均值-Y=mean(X)功能：当功能：当X为向量时，输出一个平均数；当为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或或m=mean(X(:)与此类似的有：求和与此类似的有：求和(sum),最大最大(max),最小最小(min)等等2.离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随

61、机值向量功能：计算随机值向量X与对应概率向量与对应概率向量P的乘积之和的乘积之和3.连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望功能：用积分计算期望2022-11-12黄建华制作854.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例例4.2.4设随机变量设随机变量X的分布列，求期望。的分布列，求期望。程序：程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p)1.3750X-1023P1/81/43/81/42022-11-12黄建华制作864.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例

62、例4.2.5设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：且且EX=3/5，求常数，求常数a,b的值。的值。程序：程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1;a,b=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/5其他100)(2 xbxaxf2022-11-12黄建华制作874.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例例4.2.6设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量Y=|X|的期望。的

63、期望。程序：程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=1其他05.05.0)(xeexfxxdxxfxgEY)()(2022-11-12黄建华制作884.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n随机变量的方差随机变量的方差1.统计数据的方差统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当功能：当X为向量时，输出一个标量；当为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方向量，对应于矩阵

64、每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：差值，应用嵌套：var(var(X)缺省缺省1，计算：，计算：否则计算：否则计算：2.统计数据的标准差统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：用法和功能：用法和1的解释同上的解释同上3.一般随机变量的方差一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算功能：用积分或级数编程计算niixxnS122)(11niixxnS122)(12022-11-12黄建华制作894.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例例4.2.7设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量X的期望和方差。的

65、期望和方差。程序：程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2 其他2|02cos2)(xxxf2022-11-12黄建华制作904.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差1.二项分布二项分布-E,D=binostat(n,p)说明说明:n,p可以是标量可以是标量,向量向量,矩阵矩阵,则则E,D是对应的标量是对应的标量,向量向量,矩阵矩阵2.超几何分布超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K)3

66、.泊松分布泊松分布-E,D=poissstat(lambda)4.均匀分布均匀分布-E,D=unifstat(a,b)5.指数分布指数分布-E,D=expstat(lambda)6.正态分布正态分布-E,D=normstat(mu,sigma)其他：其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等等等2022-11-12黄建华制作914.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n协方差与相关系数的计算协方差与相关系数的计算1.随机变量的协方差随机变量的协方差-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的相关系数随机变量的相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差统计数据的协方差cov(X)-当当X为向量时为向量时,cov(X)=var(X);当当X为矩阵时为矩阵时,结果结果为为X的协方差矩阵的协方差矩阵.对角线是对角线是X每列的方差每列的方差,Xij为为X的第的第i列列和第和第j列的协方差值。列的协方差值。cov(X,Y)-计算向量计算向量X和和Y的协方差值的协方差值4.统计数据的相关系数统计数据的相关系