函数的对称性

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1、函数的对称性函数的对称性有些函数有些函数 其图像有着优美的对称性，其图像有着优美的对称性，同时又有着优美的对称关系式同时又有着优美的对称关系式1-3-1-265432-xx(1)(1)FF(2)(2)FF()()FxF x780 x（偶函数）（偶函数）Y=F(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称知识回顾知识回顾l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，F(-x)=F(x)XY1-3-1-265432782x()f x f(x)=f(4-x)f(1)=f(0)=f(-2)=f(310)=f(6)f(4-310)0 x4-xY=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2

2、对称对称f(3)f(4)l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，xy f(1+x)=f(3-x)f(2+x)=f(2-x)f(x)=f(4-x)对于任意的对于任意的x你还能得到怎样的等式？你还能得到怎样的等式？l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称对称1-3-1-26543272x()f x0 x4-xYx-2-x1-3-1-26543278x=-1 f(x)=f(-2-x)x思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称Yx-1+x-1-x1-3-1-26543278x

3、=-1 f(-1+x)=f(-1-x)思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称 f(x)=f(-2-x)Yx猜测：若猜测：若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x)xa f(a-x)=f(a+x)xa在在y=f(x)图像上任取一点图像上任取一点P点点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P则有则有P的坐标应满足的坐标应满足y=f(x)也在也在f(x)图像上图像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0)f(x0)=f(2a-x0)即：即：f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对

4、称（代数证明）（代数证明）()求证求证已知已知 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x)xa在在y=f(x)图像上任取一点图像上任取一点P若点若点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P也在也在f(x)图像上图像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0)f(x0)=f(2a-x0)f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称（代数证明）（代数证明）()已知已知求证求证 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 则则y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称?f(x)=f(2a-x)P在

5、在f(x)的图像上的图像上ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 f(x)=f(-x)特例：特例：a=0轴对称性轴对称性思考？思考？若若y=f(x)满足满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2x=直线直线xa-xxxyoF(-x)+F(x)=0 y=F(x)图像关于图像关于(0,0)中心对称中心对称中心对称性中心对称性类比探究类比探究 al从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，F(x)+F(2a-x)=0 xy

6、o a y=F(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，中心对称性中心对称性类比探究类比探究x2a-xF(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0 xyo al从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，中心对称性中心对称性类比探究类比探究 a+x a-x y=F(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称baF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中心对称性中心对称性 y=F(x)图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称类比探究类比探究xyo思考？思考？

7、(1)若若y=f(x)满足满足f(a-x)+f(b+x)=0,(2)若若y=f(x)满足满足f(a-x)+f(b+x)=2c,则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2(,0)点点则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2(,C)点点 知识内容：知识内容：函数图像的对称性函数图像的对称性对称关系式对称关系式 y=F(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x)y=F(x)图像关于点图像关于点(a,b)中心对称中心对称F(x)+F(2a-x)=2bF(a-x)+F(a+x)=2b 数学思想方法数学思想方法:1.数形结合数形结合2.由特殊到一

8、般由特殊到一般3.类比思想类比思想知识迁移：知识迁移：已知对任意已知对任意x，有，有f(x+2)=f(-x),当当x 2,3，y=x求当求当x -1,0时，时，f(x)的解析式？的解析式？谢谢谢谢!奇函数奇函数F(-x)=-F(x)即：即：F(-x)+F(x)=0函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称-xxF(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称-xxa函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称F(a+x)+F(a-x)=0F(x)+F(2a-x)=0函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称-x

9、x 函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称F(-x)=F(x)函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0轴对称轴对称中心对称性中心对称性a()f x函数函数 图像关于图像关于 轴对称轴对称xa()()f axf axxD 证明：证明：（必要性）（必要性）xxxxxx1-3-1-2654321-3-1-22-xx1-3-1-265432-xx(1)(1

10、)FF(2)(2)FF()()FxF x78()f x6x(5)(7)ff(4)(8)ff(6)(6)fxfx6x (6)(6)fxfx 思考？若函数思考？若函数 图像关于图像关于 轴对称，轴对称，()f xxa()f x有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？0 x xa函数函数y=f(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称证明：证明：（必要性）（必要性）任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0,y0)若点若点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P也在也在f(x)图像上图像上分析：分析：P(x0,y0)PP(2a-x0,y0)代入代入y=f(x)Y0=f(2a-x0)y=f(x)

11、图像上每图像上每一一点及其关于点及其关于x=a对称点对称点都在都在y=f(x)图像上图像上则则y=f(x)图像上图象关于图像上图象关于x=a对称对称则由则由P的任意性可知的任意性可知？f(x)=f(2a-x)函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称F(-x)=F(x)函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称?xa任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0,y0)设设P是是P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点由由f(x)

12、图像关于图像关于x=a对称对称P也在也在y=f(x)图像上图像上P(x0,y0)Pf(2a-x0)=f(x0)即：即：f(x)=f(2a-x)x02a-x0P(2a-x0,y0)猜测：若猜测：若f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)证明证明:()y0=f(x0)P(x0,f(x0)若若P也在也在f(x)图像上，图像上，xa(2a-x0,y0)PP(2a-x0,y0)代入代入y=f(x)f(2a-x0)=f(x0)y0？=f(2a-x0)=y0P在在f(x)的图像上的图像上函数函数y=f(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0,y0)设设P是关于是关于P直线直线x=a的对称点的对称点(需验证需验证)猜测：若猜测：若f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)证明证明:()