导数题中“任意、存在”型的归纳辨析

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1、导数题中“任意、存在”型的归纳辨析南昌外国语学校梁懿涛导数题是高考题中的常客，而且大都以压轴题的面目出现，所以拿下导数题是迈入高分段的标志。导数题虽年年有，但却悄然之中发生着些改变。这其中，尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色，从早期单一型，发展到现今的混合型。下面对此作一归纳。一单一函数单一“任意”型例1.已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0，其中a0。求a的值；(2)若对任意的xg0,+8)，有f(x)0对xg0,+8)恒成立，即g(x)0。min因为当k0。由g，(x)=2kx?+(2k_1)x，若O,x+14k2k-12k

2、-1则当xg(0,)时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(0)=0，矛盾。从而。即实数k的最小值是。点评：“任意”的意思是不管x取给定集合中的哪一个值，得到的函数值都要满足给定的不等式，它有两种形式：“对任意的xgA，a()f(x)恒成立”等价于“当xgA时，a()f(x)”；“对任意的maxxgA，a()f(x)恒成立”等价于“当xgA时，a()f(x)”。min二.单一函数单一“存在”型例2.已知函数f(x)=alnx+x2(agR)，若存在xg1,e，使得f(x)(a+2)x成立，求实数a的取值范围。解析：f(x)x2-2x。丁xg1,elnx1x且等号不能同时取，所以lnx0因

3、而a-莎xg,，令g(x)=-空xg1,ex-lnxx-lnxg(x)=x，当xg1,e时，x10,lnx0，从而g(x)0(仅当(x-lnx)2x=1时取等号)，所以g(x)在1,e上为增函数，故g(x)的最小值为g(1)=-1，所以a的取值范围是-1,+8).点评：“存在”的意思是x取遍给定集合中的每一个值，都至少有一个函数值满足给定的不等式，它有两种形式：“存在xgA，使得a()f(x)成立”等价于“当xgA时，a()f(x)”；“存在xgA，min使得a()f(x)成立”等价于“当xgA时，a(1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意ag(2,3)及任意x,xg1,2，恒有ma+

4、ln2|f(x)-f(x)成立，求实数m的取121121值范围。解析：(1)f(x)=(1-a)x+a1=(1-a)x2+ax-1=(1-a)x+1(x-)=dXa1)，xxxx1(x-1)21当=1,即a=2时，f(x)=0,f(x)在(0,+8)上是减函数；当2时,a-1xa-1111令f(x)0,得0x1；令f(x)0,得x1，即1a2时，令a-1a-1a-111f(x)0,得0x;令f(x)0,得1x2时，f(x)在(0,)和(1,+s)单调递减，a-1111在(，1)上单调递增；当1a一一+ln2,m22232aa3f(x)有最小值，If(x1)-f(x2)|f(1)-f(2)=-2

5、+In2，/.113由2a3得0，所以m工0.0422a点评:“任意x,xe12，恒有ma+ln2|f(x)f(x)|”等价于“ma+ln2大于|f(x)f(x)”121212max，而If(x)f(x)|二f(x)f(x)012maxmaxmin例4.已知函数f(x)二(a+1)lnx+ax2+1。(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a41xxI，求a的取值范围。121212a+12ax2+a+1解析：(1)f(x)的定义域为(0,+e).f(x)=+2ax=，当a0时，f(x)xx0,故f(x)在(0,+e)单调增加；当a0；xe(乍一乙丁,+Q时，f(x)V0o故f(x)在(0,单调

6、增加，在、:+8)单调减少。(2)不妨假设xx，而aVT,由(I)知在(0,+e)单调减少，从而Vx,xe(0,+),1212If(x)f(x)4lxx|等价于Vx,xe(0,+s),f(x)+4xf(x)+4x。(*)1121r122211a+1令g(x)二f(x)+4x,则g(x)二+2ax+4(*)等价于g(x)在(0,+8)单调递减，即x山+2ax+4(41xxI)的错误。因为等式两边都有变量x,x,12max12min12一边变化会引起另一边变化，这种情况要将等式两边移至一边，通过分离变量x,x，来构造新的函数以12达到解题的目的0四单一函数双“存在”型例5.设x二3是函数f(x)二

7、(x2+ax+b)e3-x(xeR)的一个极值点。(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间；2)设a0，25g(x)二(a2+才)exo若存在珥,x2e0,4使得|fW)-g(弓1成立，求a的取值范围。解析：(1)f(x)=x2+(a一2)x+b一ae3-x，则f(3)=0，解得b=一3-2aof(x)=x2+(a2)x33ae3-x=(x3)(x+a+1)e3-x，令f(x)=0，得x二3,x二一a1，由12于x=3是极值点，所以一a一1丰3，得a工一4。所以当a3,f(x)在(一8,3)上单调递减，在(3,-1-a)上单调递增减，在(-1-a,+8)上单调递增减；当a4

8、时，a10,f(x)在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递减，那么f(x)在区间0,4上的值域是minf(0),f(4),f(3),而f(0)(2a+3)e30,25f=a+6，那么f(x)在0,4上的值域为(2a+3)e3,a+6。又g(x)(a2+4)ex在0,4上2525251是增函数，所以它在0,4上的值域是a2+,(a2+0，由于(a2+)(a+6)(a恳)20,44422533所以只须且只须(a2+)(a+6)0，解得0a。故a的取值范围是(0迈)。0,4使得fW)-g(弓|1”等价于“(/W)-g(X2)Lng(x)成立，求实数m的取值范围。12解析：题意等价于f

9、(x)在(0,1)上的最大值大于或等于g(x)在1,2上的最大值。2x25x+2111x2f(x)，由f(x)0得，x或x2，当xg(0迈)时，f(x)0，当xg(2，1)时1f(x) g(1)f3+5ln25mnfnf g1-3+5ln28-2mm8-5ln2m2(115ln2)nm85ln2，所以实数m的取#。同样，VxgA,3xgB,12总存在xoG0，1,使得f(X)Gf(0),f(1),即值范围是m85ln2。点评：3xgA,VxgB，使得f(x)g(x)成立of(x)g(x)1212maxmax使得f(x)g(x)成立of(x)g(x)。12minmin115例6.设函数f(x)=

10、一3x33x2+3x4-(1)求f(x)的单调区间.(2)设a上1,函数g(x)x33a2x2a.若对于任意xG0,1,1f(x)g(x)成立，求a的取值范围.102525解析：(1)f(x)x23x+3，令f(x)三0，即x2+3x3w0,:f(x)的单增区间为一3，1；单调减区间为(一也一和1，+出)。(2)由(1)可知当xG0,1时，f(x)单调递增，：当xG0,1时，f(x)G4,3又g(x)3x23a2，且a上1,:当xg0,1时，g(x)w0,g(x)单调递减，当xG0,1时，g(x)gg(1),g(0)，即g(x)G3a22a+1,2a，又对于任意xg0,1,总存在1xG0,1,

11、使得f(x)g(x)成立O4,3匸3a2一2a+h2a,010f3a22a+1w43即fee，解得：1waw3w2a2点评：“对任意xgA，存在xgB，使得f(x)g(x)成立”等价于“f(x)的值域包含于g(x)的1212值域”。1六双函数“任意”+“任意”型例7.设f(x)=-+xInx,g(x)=x3-x2-3.x如果存在x,xg0,2，使得g(x)-g(x)M成立，求满足上述条件的最大整数M；1212(1) 如果对任意的s,tg2,2，都有f(s)g(t)成立，求实数-的取值范围。解析：(1)存在x,xg0,2，使得g(x)-g(x)M成立等价于g(x)-g(x)M。1212maxmi

12、n222由g(x)=3x2-2x=3x(x-了)，可得g(x)在0,了单调递减，在,2上单调递增，所以g(x)=333max285112maxg(0),g(2)=1，g(x)=gG)=-，所以Mg(t)成2822立等价于f(x)1对xg2,2恒成立，也等价于-xx2lnx对xg,2恒成立。i记h(x)=x-x2lnx，h(x)=1-2xInx-x，h(1)=0记m(x)=1-2xInx-x，m(x)=-3-2lnx，由于xg,2，m(x)=-3-2lnx0，xg(1,2时，h(x)1。max点评：VxgA,VxgB，使得f(x)g(x)成立of(x)g(x)1212minmax七双函数“存在”

13、+“存在”型例8.已知函数f(x)=lnx-+二-1，g(x)=x2-2bx+4。若存在xg(0,2)，xg1,2，使44x12f(x)g(x)，求实数b取值范围。12解析：f(x)=-1-二=-(x一f)(x一3)，.f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减,x44x214x2f(x)=f(1)=-。依题意有f(x)-。又g(x)=(x-b)2-b2+4,minmaxmax2从而minb-21111解得b-=-1或g(1)=5-2b-V2点评：BxgA,BxgB，使得f(x)g(x)成立of(x)g(x)成立of(x)g(x)。12maxmin191例9.已知函数f(x)=x3

14、+(1-a)x2-+2)x(-gR)，g(x)=x-。是否存在实数-，存63在xg-1,1，xg0,2，使得f(x)+2-x=g(x)成立？若存在，求出-的取值范围；若不存在，12112说明理由.解析：在。,2上g(x)=x-是增函数，故对于xg0,2，g(x)g63设h(x)=广(x)+2-x=3x2+2x一-(-+2)，当xg一1,1时，h(x)g-2-2-1,5-2-2-。-156.要存在xie-1,1,x2e12,只要-a22a-3,5-a22ac3,6H0,考虑反面，若a2a3,5a2ac3,611=0，贝ij35a22a或61+孚或a-1-孚。从而所求为亠斗g(x)成立”，就可以先把f(x)当成是常量，“玉eB，使得121212f(x)g(x)成立”等价于f(x)g(x)，再反过来，再把g(x)当成是常量，“VxeA，使得1212min21f(x)g(x)成立”等价于f(x)g(x)，综合以上两方面，就得出了“VxeA,3xeB，使得121min212f(x)g(x)成立of(x)g(x)”的正确结论。12minmin#