2023年高考数学理江苏专用总复习教师用书：第五章平面向量与复

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1、2022年高考数学理江苏专用总复习教师用书：第五章 平面向量与复 - 教育文库 第5讲 复 数 考试要求 1.复数的基本概念，复数相等的充要条件，B级要求；2.复数代数形式的四则运算，B级要求；3.复数的几何意义，复数代数形式的加、减运算的几何意义，A级要求 知 识 梳 理 1复数的有关概念 内容 复数的概念 复数相等 共轭复数 意义 形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 备注 若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数 abicdi?ac且bd(a，b，c，dR) abi与cdi共轭?ac且bd(a，b，c，dR) 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平

2、面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 设OZ对应的复数为zabi，则向量OZ的长度叫做复数zabi的模 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 |z|abi|ab 22复平面 复数的模 2复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR) 平面向量OZ. (2)复数zabi(a，bR)3复数的运算 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)减法：z

3、1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i； (4)除法：z1abiabz2cdicdcdcd acbdbcadc2d2(cdi0) 诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”) (1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( ) 解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小 答案 (1) (2) (3) (4) 2(2022全国卷

4、改编)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a_. 解析 因为(12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3. 答案 3 3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_ 解析 A(6,5)，B(2,3)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i. 答案 24i 2ai4(2022全国卷)若a为实数，且3i，则a_. 1i2ai解析 由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以1ia4. 答案 4 5(选修22P110习题1改编)已知(12i)z43i，则z_. 解析 zz2i

5、. 答案 2i 考点一 复数的有关概念 【例1】 (1)(2022南京模拟)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则z的虚部为_ 43i12i105i2i， 5ai(2)(2022苏北四市联考)设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a_. 2i解析 (1)由于zi(32i)23i，则其虚部为3. aia(2)2i1a. 21答案 (1)3 (2) 25aa5是纯虚数，2a10且a20，规律方法 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可 (2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以

6、确定实部和虚部 z【训练1】 (1)(2022全国卷改编)若z43i，则_. |z|(2)(2022盐城模拟)若复数z134i，z2ai，且z1z2是实数(其中z2为z2的共轭复数)，则实数a_. 解析 (1)z43i，|z|5，43i. |z|55z(2)由题可得z2ai，因为z1z2(34i)(ai)(3a4)(4a3)i是实数，所以34a30，解得a. 4433答案 (1)i (2) 554考点二 复数的几何意义 【例2】 (1)(2022全国卷)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2_. (2)(2022全国卷改编)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的

7、点在第四象限，则实数m的取值范围是 _. 解析 (1)由题意得z22i，z1z2(2i)(2i)5. (2)由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限得?30，?m10，解得(2)(2022北京卷)设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_. 解析 (1)因为zi(1i)1i，故复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1,1) (2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1. 答案 (1)(1,1) (2)1 考点三 复数的运算 【例3】 (1)(2022全国卷改编)若z12i，则607_. zz14i(2)(2022湖北卷改编)i为

8、虚数单位，i_. 解析 (1)zz1607415134i4i3i. 2i1(2)法一 ii608607ii. ii1法二 ii. iii答案 (1)i (2)i 规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式 (2)记住以下结论，可提高运算速度： (1i)2i；1，i4n3241521i1iabi4n4n14n2i；i；bai；i1，ii，i1i1iii(nN) 12i【训练3】 (1)(2022北京卷改编)复数_. 2i(2)?1i?623i_. ?1i?32i212i解析 (1)2i23322i4i2i5ii

9、. 24i532222?(2)原式?i62?6?62i3i61i. 5答案 (1)i (2)1i 思想方法 1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程 2复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 易错防范 1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2两个虚数不能比较大小 3注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实

10、数. 基础巩固题组 (建议用时：20分钟) 1(2022四川卷改编)设i为虚数单位，则复数(1i)_. 解析 (1i)12ii2i. 答案 2i 2(2022江苏卷)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_ 解析 (12i)(3i)35i2i55i，所以z的实部为5. 答案 5 23(2022山东卷改编)若复数z，其中i为虚数单位，则z_. 1i2解析 z1i答案 1i 4(2022徐州测试)若复数(mm)mi为纯虚数，则实数m的值为_ ?mm0，解析 因为复数(mm)mi为纯虚数，所以?m0，22222221i，z1i. 解得m1. 答案 1 5(2022全国卷改编)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|_. 解析 由(1i)x1yi，得xxi1yi?x1，?xy ?x1，?y1.所以|xyi|x2y22. 答案 2 6已知a，bR，i是虚数单位，若(ai)(1i)bi，则abi_. 第 12 页 共 12 页