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1、板块二.函数的奇偶性与对称性典例分析题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断 f(x) f(-x)是否为 0 是判断 函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断【例1】 判断下列函数的奇偶性：1 y = ；x y =x4+x2+2 ； y =x3+x ； y =x 3 -1 【例2】 判断下列函数的奇偶性：f ( x ) =x4； f ( x ) =x5； f ( x ) =x +1 1 ； f ( x) = x x 2【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： f ( x ) =1 +a1 -a2 x2 x( a 0 且 a 1)； f ( x) = x -1
2、+ 1 -x ； f ( x) =x2+5| x |0 / 8【例4】 判别下列函数的奇偶性：（1） f ( x ) =x 3 -1x； （2） f ( x) =|x -1| +| x +1| ；（3） f ( x ) =x 2 -x 3.【例5】 判断函数 f(x)=x 2 +1 +x-1 x 2 +1 +x+1的奇偶性2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数【例6】 判断下列函数的奇偶性： f ( x ) =( x -1)1 +x1 -x f (
3、x ) =F ( x)(ax1 1+ )-1 2，其中 a 0 且 a 1 ， F ( x )为奇函数【例7】 若函数 f(x)= (x3+x)g(x)是偶函数，且 f(x)不恒为零，判断函数 g(x)的奇偶性【例8】 函 数 y = f ( x)与 y =g ( x)有 相 同 的 定 义 域 ， 对 定 义 域 中 任 何 x， 有f ( x) + f ( -x) =0 ， g ( x) g ( -x) =1 ，则 F ( x ) =2 f ( x) g ( x ) -1+ f ( x )是（ ）A奇函数C既是奇函数又是偶函数B偶函数D非奇非偶函数1 / 8)【例9】 已知 f ( x)
4、=1 -x 2 | x +2 | -2， g ( x ) =lg(1 +x 2 -x 则乘积函数 F ( x ) = f ( x ) g ( x)在公共定义域上的奇偶性为（ ） A是奇函数而不是偶函数 C既是奇函数又是偶函数B是偶函数而不是奇函数 D既非奇函数又非偶函数【例10】已知函数 f ( x)是奇函数； F ( x) =(1+22) f ( x) x -1（x0）是偶函数，且 f ( x)不恒为 0，判断 f ( x)的奇偶性题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式【例11】函数 f ( x ) =a 2 -x 2 | x +a | -a为奇函数，则 a 的取值范围是（
5、 ）A -1 a 0 或 0 0B a -1或 a 1 D a 0 时 f ( x ) =x (1-x )求函数 f ( x )的解析式2 / 8【例15】已知函数 f ( x ) =( m 2 -1)x 2 +( m -1)x +n +2 ，当 m , n 为何值时， f ( x )是奇函数？【例16】已知 f ( x)是偶函数， x 0时， f ( x) =-2x2+4 x，求 x 0时 f ( x)的解析式.【例17】已知 f ( x )是定义域为 R 的奇函数，当 x 1 时 f ( x )的表达式【例19】已 知函数 f ( x) =aa 2 +1aa +c( a , b, c Z
6、)是奇函数 , 且 f (1) =2, f (2) 0 ， x +x 0 ， 3 1 2 2 3x +x 0 则 f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) 3 1 1 2 3（ ）A大于零B小于零C等于零D大于零或小于零【例27】设 函数 f ( x ) =（ ） A M +m =2 C M -m =2x 3 +| x | +2x 2 +x 2 x 2 +| x |的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M 与 m 满足B M +m =4D M -m =44 / 81【例28】函 数 f ( x)在 R上 有 定 义 ， 且 满 足 f ( x)是 偶 函 数 ； f (0) =2
7、005； g ( x ) = f ( x -1)是奇函数；求 f (2005)的值题型三：奇偶性与对称性的其他应用 1.奇偶性与单调性【例29】已知函数 f ( x )是偶函数，而且在 (0, +)上是减函数，判断 f ( x)在 ( -,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断对奇函数有没有相应的结论【例30】已设函数 f ( x )是定义在 R 上的奇函数，且在区间 ( -,0)上是减函数，实数 a满足不等式 f (3a2+a -3) f (3a2-2 a )，求实数 a 的取值范围.【例31】已知 y = f ( x)为 (-，+)上的奇函数，且在 (0，+)上是增函数求证： y = f
8、( x )在 ( -，0)上也是增函数；若 f ( ) =1 2，解不等式 -1 f (log x ) 0 ，4【例32】已知函数 f ( x)，当 x, y R 时恒有 f ( x +y ) = f ( x ) + f ( y )求证：函数 f ( x)是奇函数；若 f (-3) =a ，试用 a表示 f (24)如果 x R+时 f ( x ) 0 的 解 集 是 ( a2, b)， g ( x) 0 的 解 集 是 , ， a 2，那么求 f ( x ) g ( x ) 0 的解集 2 2 22.函数对称性 【例35】设函数 f ( x )对于一切实数 x 都有 f (2 +x ) =
9、f (2 -x ) ，如果方程 f ( x) =0 有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_【例36】当实数 k 取何值时，方程组k(x4 +1) +| x | -y =1, x2 -y 2 =-1有惟一实数解.6 / 8【例37】设 a 是正数，而 A =( x , y ) | x2 +y 21, B =( x , y ) | x | +2 | y |a是 XOY平面内的点集，则 A B 的一个充分必要条件是 a 竞赛题）.5（1986 年上海中学生【例38】试证(1 + 1991)1990 -(1 - 1991) 19911990是整数.上例可推广为：设 m、 n 为自然数，证明(1 + m ) n -(1 - m ) mn是整数.7 / 8
学而思高中数学11-函数的奇偶性与对称性
