抛物线训练题

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1、122抛物线训练题一、题点全面练1(2019张掖诊断)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x ，y )，Q(x ，y )1 1 2 2两点，如果 x x 6，则|PQ|( )1 2A9C7B8D6解析：选 B 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ| |PF|QF|x 1x 1x x 28.故选 B.1 2 1 22顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准方程是( )Ay2xCy28x 或 x2yB.x28yDy2x 或 x28y解析：选 D (待定系数法)设抛物线为 y2mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，

2、则 抛物线方程为 y2x；设抛物线为 x2ny，代入点 P(4，2)，解得 n8，则抛物线 方程为 x28y.故抛物线方程为 y2x 或 x28y.3(2018河北“五个一名校联盟”模拟)直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且 与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线 的方程是( )Ay212xB.y28xCy26xDy24x解析：选 B 设 A(x ，y )，B(x ，y )，根据抛物线的定义可知|AB|(x x )p1 1 2 2 1 2x x8.又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2， 2，x x 4，p4，所求抛物

3、线1 2的方程为 y28x.故选 B.4(2019昆明调研)过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN|AB|， 则 l 的斜率为( )A.13B.33C.32D1解析：选 B 设抛物线的准线为 m，分别过点 A，N，B 作 AAm，NNm，BBm， 垂足分别为 A，N，B.因为直线 l 过抛物线的焦点，所以|BB|BF|，|AA|AF|.又 N 是线段 AB 的中点，|MN|AB|，1 1 1 1所以 |NN| (|BB| |AA|) (|BF| |AF|)

4、 |AB| |MN|，所以 MNN2 2 2 260，则直线 MN 的倾斜角是 120.又 MNl，所以直线 l 的倾斜角是 30，斜率是33.故选 B.5(2018合肥模拟)已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A，B 两点， F 为 C 的焦点若|FA|2|FB|，则 k( )A.13B.23C.232 2D.3解析：选 D 设抛物线 C：y28x 的准线为 l，易知 l：x2，直线 yk(x2)恒过 定点 P(2,0)，如图，过 A，B 分别作 AMl 于点 M，BNl 于点 N，连接 OB，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，点 B 为线段 AP 的中点

5、，1则|OB| |AF|，2|OB|BF|，点 B 的横坐标为 1，k0，点 B 的坐标为(1,2 2)，2 20 2 2k .故选 D.1 36一个顶点在原点，另外两点在抛物线 y22x 上的正三角形的面积为_ 解析：如图，根据抛物线的对称性得AOx30.直线 OA 的方程 y33x，代入 y22x，得 x26x0，解得 x0 或 x6.即得 A 的坐标为(6,2 3)1|AB|4 3，正三角形 OAB 的面积为 4 3612 3.2答案：12 32B41 21 27已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 作一条直线交抛物线于 A，B 两点若|AF|3，则|BF|_.解析：由题意可知

6、F(1,0)，设 A(x ，y )，B(x ，y )，点 A 在第一象限，A A B B则|AF|x 13，所以 x 2，y 2 2，A A A2 2所以直线 AB 的斜率为 k 2 2.21则直线 AB 的方程为 y2 2(x1)，5与抛物线方程联立整理得 2x25x20，x x ，A B1 1 3所以 x ，所以|BF| 1 .2 2 23答案：28(2019贵阳模拟)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 60的直线交抛物 线于 A，B 两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则 p_.p解析：过点 A，B 向抛物线的准线 x 作垂线，垂足分别为 C，D，过点 B 向 AC 作

7、垂2线，垂足为 E，A，B 两点在抛物线上，|AC|AF|，|BD|BF|.BEAC，|AE|AF|BF|，直线 AB 的倾斜角为 60，在 ABE 中，2|AE|AB|AF|BF|，即 2(|AF|BF|)|AF|BF|，|AF|3|BF|.2 8|AF|2，|BF| ，|AB|AF|BF| .3 3设直线 AB 的方程为 y 3px 2，代入 y22px，3p2得 3x25px 0，设 A(x ，y )，B(x ，y )，1 1 2 25 8x x p，|AB|x x p ，p1.3 3答案：19已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x ，y )，B(

8、x ，1 1 2y )(x x )两点，且|AB|9.2 1 2(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 OC OA OB ，求 的值1 21 22 22122 1 1 21 2BMBN121 21 2解：(1)由题意得直线 AB 的方程为 y2 2 与 y22px 联立，px 2，5p 5p消去 y 有 4x25pxp20，所以 x x .由抛物线定义得|AB|x x p p4 49，所以 p4，从而该抛物线的方程为 y28x.(2)由(1)得 4x25pxp20，即 x25x40，则 x 1，x 4，1 2于是 y 2 2，y 4 2，1 2从而 A(1，2

9、2)，B(4,4 2)设 C(x ，y )，则 OC (x ，y )(1，2 2) (4，4 2)(4 1,4 2 2 2) 3 3 3 3又 y 8x ，所以2 2(2 1) 8(4 1)，3 3整理得(2 1) 4 1，解得 0 或 2.故 的值为 0 或 2.10设抛物线 C：y22x，点 A(2,0)，B(2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点 (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABMABN.解：(1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x2，可得 M 的坐标为(2,2)或(2，2)1 1所以直线 BM 的方程为 y x1 或 y

10、 x1.2 2(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以ABMABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x2)(k0)，M(x ，y )，N(x ，y )，则 x 0，x 0.1 1 2 2 1 2由yk x y22x，得 ky22y4k0，2可知 y y ，y y 4.1 2 k 1 2y y x y x y y y直线 BM，BN 的斜率之和为 k k x 2 x 2 x x 1 2 1 2.y y将 x 2，x 2 及 y y ，y y 的表达式代入式分子，可得 x y x y 2(y 1 k 2 k 1 2 1 2 2 1 1 2 12y

11、 y 4k y y 88y ) 0.所以 k k 0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所 1 k k BM BN以ABMABN.综上，ABMABN.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2019大同模拟)点 M(5,3)到抛物线 yax2(a0)的准线的距离为 6，那么抛物线 的方程是( )Ay12x2Cy36x2B.y12x2 或 y36x21 1 Dy x2 或 y x212 361解析：选 D 抛物线标准方程为 x2 y(a0)，当 a0 时，开口向上，准线方程为 ya1 1 1 1 ，则点 M 到准线的距离为 3 6，解得 a ，则抛物线方程为 y x2； 4a 4a 12 121

12、 1当 a0 时，开口向下，准线方程为 y ，则点 M 到准线的距离为 36，解4a 4a1 1得 a ，则抛物线方程为 y x2.36 362已知直线 ya 交抛物线 yx2于 A，B 两点若该抛物线上存在点 C，使得ACB 为直角，则实数 a 的取值范围为_解析：如图，设 C(x ，x2)(x20 0 0a)，A( a，a)，B( a，a)，则 CA ( ax ，ax20 0)，CB ( ax ，ax2)0 0 CACB， CA CB 0，即(ax2)(ax2)20，0 0整理得(ax2)(1ax20 0)0.x2a10，a1.0答案：1，)3过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线 AB，

13、CD 与抛物线交于 A，B，C，D 四点，且 ABCD， 则 FA FB FC FD 的最大值为_解析：设 A(x ，y )，B(x ，y )，A A B B 依题意可得， FA FB (| FA | FB |) 又因为| FA |y 1，| FB |y 1，A B 所以 FA FB (y y y y 1)A B A B设直线 AB 的方程为 ykx1(k0)，k2 4 2k2k2代入 x24y，可得 y2(24k2)y10，所以 y y 4k22，y y 1，A B A B 所以 FA FB (4k24) 4 同理 FC FD 4 .所以 FA FB FC FD 4k 8 16.当且仅当 k

14、1 时等号成立故 FAFBFCFD 的最大值为16.答案：164已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2) 过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l ，l ，设 l 与轨迹 C 相交于点 A，B，l1 2 1 2 与轨迹 C 相交于点 D，E，求 AD EB 的最小值解：(1)设动点 P 的坐标为(x，y)，由题意得 2|x|.x2y2|x|1，化简得 y22x当 x0 时，y24x；当 x0 时，y0.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x(x0)和 y0(x0) (2)由题意知，直线 l 的

15、斜率存在且不为 0，设为 k，1则 l 的方程为 yk(x1)1yk x 由y24x，得 k2x2(2k24)xk20.4设 A(x ，y )，B(x ，y )，则 x ，x 是上述方程的两个实根，于是 x x 2 ，x x 1 1 2 2 1 2 1 2 k2 1 211.因为 l l ，所以 l 的斜率为 .设 D(x ，y )，E(x ，y )，1 2 2 k 3 3 4 4则同理可得 x x 24k2，x x 1.3 4 3 4 所以 AD EB ( AF FD )( EF FB ) AF EF AF FB FD EF FD FB | AF | FB | FD | EF |(x 1)(

16、x 1)(x 1)(x 1)1 2 3 44 12 11(24k2)12k2 231 84k 8421k2 16. k21 当且仅当 k2 ，即 k1 时， AD EB 取最小值 16.k2(二)交汇专练融会巧迁移25与向量的交汇设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为 的直线与3 C 交于 M，N 两点，则 FM FN ( )A5C7B6D82解析：选 D 由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，3y x 联立y24x，x1， 解得y2x4， 或y4.不妨设 M(1,2)，N(4,4) 又抛物线焦点为 F(1,0)， FM (0,2)， FN (3,4) FM FN

17、03248.6与解三角形交汇抛物线 y24x 的焦点为 F，A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线上两动1 1 2 2点，若|AB|32( x x 2)，则AFB 的最大值为( ) 1 2A.C.2 33 45B.6D.3解析：选 A 因为|AB|32(x x 2)，|AF|BF|x x px x 2，所以|AF| 1 2 1 2 1 22 3|BF| |AB|.3在AFB 中，由余弦定理得 |AF|2|BF|2|AB|2cosAFB2|AF|BF|AF|BF22|AF|BF|AB|2 2|AF|BF|1 1.ppa 200x0p.4 1|AB|2|AB|2 |AB|2 3 32|AF|B

18、F| 2|AF|BF|又 |AF| |BF| 2 33|AB|2|AF|BF| |AF|BF|13|AB|2. 所 以 cos 1|AB|23 1 2AFB 1 ，所以AFB 的最大值为 .故选 A.1 2 32 |AB|23x2 y27与双曲线交汇已知双曲线 C ： 1(a0，b0)的离心率为 2，若抛物线 C ：1 a2 b2 2x22py(p0)的焦点到双曲线 C 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C 的方程是( )1 2Ax216y8 3 Cx2 y3B.x28y16 3 Dx2 y3x2 y2 c a2b2解析：选 A 因为双曲线 C ： 1(a0，b0)的离心率为 2，所以 2，即1

19、 a2 b2 a a2b24，所以 3.因为双曲线的渐近线方程为 bxay0，抛物线 C ：x22py(p0)的焦点 a2 2 0， 2 2到双曲线的渐近线的距离为 2，所以 2，解得 p8，所以抛物线 C 的方程是a2b2x216y.8与不等式交汇已知抛物线 C：x22py(p0)，P，Q 是 C 上任意两点，点 M(0， 1)满足 MP MQ 0，则 p 的取值范围是_解析：过 M 点作抛物线的两条切线，设切线方程为 ykx1，切点坐标为 A(x ，y )，B(x ，y )，0 0 0 0x2 1由 y ，得 y x，2p p则x 22py ， x kx 1， 0 0 k，解得 k2p M

20、P MQ 0 恒成立，AMB90，即AMO45，|k|tan 451，即21，解得 p2， p1 212x1px2NN2由 p0，则 0p2，p 的取值范围为(0,2答案：(0,29与圆交汇已知抛物线 C：x22py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M 的动直线交抛物 线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线的交点为 N.(1) 若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值；(2) 若ABN 的面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程解：设直线 AB：ykx1，A(x ，y )，B(x ，y )，1 1 2 2将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x22pkx2

21、p0，则 x x 2pk，x x 2p.1 2 1 2x x x 2(1)由 x22py 得 y ，则 A，B 处的切线斜率的乘积为 ，p p2 p点 N 在以 AB 为直径的圆上，2ANBN， 1，p2.p(2) 易 得 直 线 AN ： y y 1x x(x x ) ， 直 线 BN ： y y (x x ) ， 联 立 ， 得 p 1 2 p 2yy1 yy2pxx ，1xx ，2结合式，xpk，即 N(pk，1) 解得y1，|AB| 1k2|x x | 1k22 1x x1 224x x1 2 1k2 4p2k28p，|kx 1y | |pk22|点 N 到直线 AB 的距离 d ，1k2 1k21则ABN 的面积 |AB|d pABNpk232 2p，当 k0 时，取等号，ABN 的面积的最小值为 4，2 2p4，p2，故抛物线 C 的方程为 x24y.