曲线与曲面积分

《曲线与曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲线与曲面积分（57页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十章 曲线积分与曲面积分一、教材分析本章是多元函数积分学的最后一章，是定积分的延伸与推广，与重积分一起 构成多元函数积分学，是积分学的重要组成部分。曲线积分、曲面积分是在定积 分基础上，将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面的积分，在物理上有着重要 应用。通过本章的学习，将使学生对积分学有一个较为整体的认识。首先是概念的 统一性，曲线积分、曲面积分概念的形成与定积分、重积分概念的形成是统一的， 都是从一个实际的问题引入，然后就是分割、近似、求和、取极限的方法，这也 正是微积分的重要思想。其次是计算方法，曲线积分、曲面积分的计算中贯穿的 一个重要思想就是通过代入曲线、曲面方程，将曲线积分、曲面积

2、分的计算转化 为定积分、重积分的计算。再次是定积分、重积分、曲线积分、曲面积分间通过 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等，构成一个比较复杂的结构，反映出互相 间的联系。本章是学生学习的一个难点，曲线积分、曲面积分的类型比较复杂，同时计 算比较繁。因此，要注意帮助学生分清类型、理清解题思路、寻求较为简洁的解 题方法。二、教学重点与难点重点：曲线积分的计算，格林公式、平面上曲线积分与路径无关的条件 难点：曲面积分的计算、两类曲线积分、两类曲面积分的区别与联系，定积 分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系。教学内容及课时划分101 对弧长的曲线积分2 课时102 对坐标的曲线积分2 课

3、时103 格林公式及其应用2 课时104 对面积的曲面积分2 课时105 对坐标的曲面积分2 课时106 高斯公式 通量与散度2 课时107 斯托克斯公式 环流量与旋度2 课时习题课2 课时总计16 课时本章知识结构图曲线积分相第一类曲线积分计算方法（代入）物理中的应用曲线积分与曲面积分积分与路径无关变力沿曲线运动作功场沿曲线的环流量计算方法（代入）曲面积分物理中的应用计算方法（代入）高斯公式质量质心转动惯量积分与路径无关物理中的应用一一穿越曲面定向的通量第一节 对弧长的曲线积分教学目的：1了解对弧长曲线积分的概念和性质2理解和掌握对弧长曲线积分的计算方法和应用教学重点：1.重点：弧长曲线积分

4、的计算2.难点：弧长曲线积分的计算教学课时：2教学过程： 一、对弧长曲线积分的概念与性质1曲线形构件质量图 10-1-1设一构件占xoy面内一段曲线弧L，端点为A,B, 求构件质量 M 。解(1)将 L 分割 As (i = 1,2,n)i(2 )V (x, y ) eAs,AM= p(x, y ) -Asi iiii ii3)i=14) M = lim X p ( x , y )As冶 0 i=1X = max A s , A s，,A s 12n2.定义L为xoy面内的一条光滑曲线弧，f (x,y)在L上有界，用M将L分成ni小段AS，任取一点忆，耳)e AS (i = 1,2,3., n

5、)，作和Xf忆，耳)AS，令ii iii i ii=1X = max As ,As，,As ，当九0时，limXf忆，耳)AS存在，称此极限12no , i i i = 1值为f (x, y)在L上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)记为J f (x, y )ds =Ln, a S)i注意：(1 )若曲线封闭，积分号If (x, y) ds若f (x, y)连续，则I f (x, y)ds存在，其结果为一常数.几何意义 f(x, y) =1，则 I f (x, y)ds =L( L 为弧长)2)3)物理意义M=Ip (x, y)dsL此定义可推广到空间曲线If (x,z,y)ds = lim f

6、忆，耳,匚)ASr心0 i=1(6) 将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上I p xds I p ydsI p zds重心： x = -L , y = -L , z = L。MMM转动惯量：I = Iy2p(x,y)ds, I =Ix2p(x,y)ds , I =I(x2 + y2)p(x,y)dsxyoLLL(7) 若规定L的方向是由A指向B,由B指向A为负方向，但Jf (x,y)ds与L4)5)L 的方向无关 3对弧长曲线积分的性质 a:设 L = L + L，则 I f (x, y)ds = I f (x, y)ds + I f (x, y)ds 12b： I f(x,f (x, y

7、)ds 土c: Ikf (x, y)ds = k I f (x, y)ds。LL二、对弧长曲线积分的计算L1L2I g (x, y )dsL定理 设f (x, y)在弧L上有定义且连续,L方程|:爲)(咗t邙)9 (t)，屮(t)在a, P 上具有一阶连续导数，且宦2(t)+収2(t)丰0，则曲线积分I f (x, y )ds存在,且If (x,y)ds =If (t),p(t)2(t) +p2(t)dt。说明：从定理可以看出 L(1)计算时将参数式代入f (x, y) , ds =2(t) + 02(t)dt，在a,卩上计算定积分。(2 )注意：下限a 一定要小于上限卩,a 0)ii(3)

8、L : y 二申(x), a x b 时，f f (x, y )ds = fb f x, Q (x )扎：1 + 0( x )2 dx aL同 理 L :x = 0 (y), c y d 时f f ( x , y )ds = f df 0 (y), y R1 + g(y dyL(4) 空间曲线 P : x = q (t), y 二屮(t), z (t),例1f f (x, y)ds = f3f 叩(t)，屮(t),b (t)h；2 (t) +屮2(t) +b 2 (t)dtaP计算曲线积分f |y|ds ,其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0)的单位圆L(I) L : y = v1

9、 - x 20 x1ds =Ix 2dx：1 +dx =,I 1 - x2Jl - x2二 f yds = f-1 x2.= f1 dx = 1oJl x 2 oL(II)若L是IIV象限从A(0,1)到B(丄,3)的单位圆弧22(1 ) f yds = f |yds + f |y|dsLABBB，+ f1 ； 1 x2 -2dxv1 - x2图 10-1-33=f1 dx + f1 dx = o 122(2)若 L : x = V;1 - y 2、 - y 21 - y2 y2dyy 1) ds =1 +dy =dy =2 C- y2-f J3-2 1 - y歹=dy +f1dy =20 .

10、J - y 22(3) L : x = cos t , y = sin t兀兀 t 32ds = y(-sin t)2 + cos2 tdt = dtJ yds = JL-2 sin t3Idt=J:0sin tdt -例 2 计算 J ex 2+y2 ds L : r = a 0 = 0L解 L = OA + AB + BO 在 OA 上 y = 0Je x2+y2ds = Jaexdx = ea -1OA0在AB上r = a00ds = adxJ e x 2 + y2 ds =nAB兀J4 eaad0:aea0=-所围成的边界在 OB 上 y = x ds = ： 2 dxx2 + y2

11、= 2 x2 ae x2+y2 ds = J 2 e 2xxdx = ea -1OB0Je x2+y2ds =2(ea -1) +:aea4例3计算 J .;x2 + y2 dsL : x2 + y2 = axx= rcos0y = r sin 0:L : r = a COs 0(-1 0 壬x 2 + y 2 = |r = a cos 0ds = (a cos+ (- a sin= adsoaJ yx 2 + y 2 ds = JLaa=Icos 0,22ds =.J工2 a cos 0 - ad0 = a 2 sin 0-22 =2 a 2H-2图 10-1-50 0 2兀x2 + y2

12、= v 1 + cos 0( - sin 0 )2 + (纟 sin 0 )2 d 0 = d 0 :2 2 241 + cos 0 上 d0 = a2 J2H22200cos d 0 =2 a 2 2xdsL10-1-6例4卜xds L : y = x y = x 2围成区域的整个边界Ly x(0,0) (1,1)y=x2xds +OAJ xds = J xds + J xds = f1 xj2 dx + f1 x1 + 4 x 2 dxOA 00逅1x 222G1 + 4x2 )331 =空+丄(55 -1)2 12三、小结1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用

13、四、作业P190-191，3（1）（3）（5）（7）第二节 对坐标的曲线积分教学目的：1了解对坐标曲线积分的概念和性质 2理解和掌握对坐标曲线积分的计算方法和应用教学重点、难点：1重点：对坐标曲线积分的计算2难点：对坐标曲线积分的计算教学课时：2教学过程：一、对坐标的曲线积分定义和性质1引例 变力沿曲线所作的功。设一质点在x o y面内从点A沿光滑曲线弧L移到点B ,受力F(x,y) = P(x,y) i + Q(x,y) j，其中P , Q在L上连续。求上述过程所作的功解(1)分割先将L分成n个小弧段M M(i = 1,2,n)i1 i(2)代替用irMi 1 iiii 1 iiii 1Ay

14、 = y yv (g，耳)g m miii1i ii1 iI iF (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j近似代替M M 内各点的力，则F (x, y)沿i 1 iM M所做的功Aw u F(g，耳)-M Mi 1 iii ii 1 i( 3 ) 求和 w p (g. ,n )Ax + Q (g ,n )Ay i i ii i ii=1(4 )取极限 令九二max M M的长度|i = 1,2,ni1 iw = lim 刀P(g ,n )ax + Q(g ,n )Ay i i i i i ii =12.定义设L为xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P (x

15、, y), Q (x, y)在L上有界在L上沿L的方向任意插入一点列M (x , y )i1i 1i 1(i = 1,2,n)把L分成n个有向小弧段M M (i = 1,2,n; M = A, M = B)i-1i0nn设Ax = x - x , Ay = y - y ，点(g，耳)为 M M上任意取定的点.如果i ii-1iii-1i ii-1i当个小弧段长度的最大值九T 0时，工P忆，耳)Ax的极限总存在，则称此极i i ii=1限为函数P(x, y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作J P(x, y)dx .L类似地，如果1Lq忆,n ) A y的极限值总存在，则称此极限为函数Q

16、(x, y)在有i i ii=1向曲线弧L上对坐标y曲线积分，记作J Q(x, y)dy .即LJ P (x, y) dx = lim X P (g，耳)Ax ,Li i i=1J Q(x.y)dy = limX Q(x, y)AyL匚01i=1说明(1)当 P(x, y) Q(x, y)在 L 上连续时，则 J P(x, y)dx， J Q(x, y)dy 存在LL(2)可推广到空间有向曲线r上 (3) l为有向曲线弧，L -为l与方向相反的曲线，则J P(x,y)dx=- J P(x,y)dx，LL-J Q(x,y)dy =- J Q(x,y)dyLL -4)设 L = L + L ，则

17、J Pdx + Qdy = J Pdx + Qdy + J Pdx + Qdy12LL1L 2此性质可推广到L = L + L+ L组成的曲线上。12n二、计算定理：设P(x, y)， Q(x, y)在L上有定义，且连续,L的参数方程为申()，I y =屮(t),当t单调地从a变到卩时，点M(x, y)从L的起点A沿L变到终点B ,且(t),甲(t)在以 a ，卩为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且02(t)+収2(t)北0，则J P(x, y)dx + Q(x, y)dy 存在，且Laa : L起点对应参数，卩：L终点对应参数 a不一定小于卩J P(x, y)dx + Q(x, y)dy =

18、 AP叩(t)，屮(t)cp(t) + Q叩(t)，屮(t)2 (t)dt L注意 (1)(2)若L由y = y(x)给出L起点为a,终点为DPdx + QdyfPPx, y(x) + Qx, y(x) y(x)dx.J Pdx + Qdy + Rdzr(3 )此公式可推广到空间曲线 r : x = 0 (t) , y = p (t) , z = b (t)Pp(t)，屮(t), w (t)p(t) + Q叩(t)，屮(t), w(t)2 (t) a+ Rp (t)，屮(t), w (t )w (t )dta : r起点对应参数，卩：r终点对应参数例 1 计算：J (2a y)dx (a y)

19、dyL :摆线x = a(t - sin t) , y = a(1 - cos t)从点LO(0,0)到点 B(2兀a,0)。解原式2n 2 a a (1 cost)a(1cost)aa(1cost)asintdt0=J2 a(1 + cos t)a(1 cos t) a 2 cos t sin tdt1 cos 2t20a(1 cos t) a 2 cos t sin tdt)111=a2 ( t sin 2t sin21)2 42J (2a y)dx (a y)dy =-兀a2L例 2 J xy2 dx + (x + y) dy L : ( 1 )曲线 y = x 2 (2)折线 L +

20、L 起点为(0,0)，终L解(1)原式=J1 x x 4 + (x + x 2)dx =031 ydy + J1 xdx =1L L 00点为 (1,1) .(2) 原式 = J + J = JL1 L2故一般来说,曲线积分当起点、终点固定时,与路径有关10-2-1练习1 计算(1) J x2dy + 2xydx,其中L为(1)的抛物线y = x2上从O(0,0)到B(1,1) 一 段弧。(2)抛物线x = y 2上从O (0,0)到B (1,1)的一段弧。(3)有向折线DAB，这里 O, A, B 依次是点(0,0) , (1,0) , (1,1) 结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相

21、等。2 计算 J x3dx + 3zy2dy x2ydz r 从点 A(3,2,1)到点 B(0,0,0)的直线段 ABr3 两类曲线积分的关系设有向曲线弧L的起点A终点B取弧长AM = s为曲线弧L的参数。AB = lB=JlPx(s),y(s)cosa +Qx(s),y(s)sinpds0其中cos a =竺,sin p=空是L的切线向量的方向余弦，且切线向量与L的方dsds向一致，又 J (P cos a + Q sin 卩)ds = J1 Px(s), y(s)cos a + Qx(s), y(s) sin 卩dsL0二 J Pdx + Qdy = J (P cos a + Q sin

22、 卩)dsLL同理对空间曲线 r : J Pdx + Qdy + Rdz = J (P cos a + Q cos p + R cos y )dsLLa, p, y为r在点(x, y, z)处切向量的方向角，用向量表示：J A = J ACtdsrrA = P,Q,R， t = cos a,cos 卩,cos y为 P 上(x, y, z)处的单位切向量,dr = tds =dx,dy,dz 为有向曲线元 三、小结：1对坐标的曲线积分概念和性质2对坐标的曲线积分的计算3两类曲线积分的关系四、作业：P200-201， 3(2)(4)(6)(8)， 4(2)(4)第三节 Green 公式教学目的：

23、1理解和掌握 Green 公式2熟练 Green 公式的应用 教学重点、难点：1重点：Green公式2难点：格林公式的应用教学课时： 2图 10-3-1教学过程：一、Green 公式1. 单连通区域。设D为单连通区域，若D内 任一闭曲线所围的部分都属于D。称D为单连 通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞） 规定平面D的边界曲线L的方向，当观测者沿L 行走时， D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图)dxdy = J Pdx + Qdy。L 为 QyL定理1（格林公式） 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）和Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有JJ （空 QP Q

24、xDD的取正向的边界曲线。证对既为X-型又为Y-型区域L : y 二 q (x) T 连续,22Q yJJ 兰dxdy = JbdxJq2(x)21dyD QyaQ1 ( x)Qy11JbPx ,Q (x) - Px ,Q (x)dx12L1： y Fi(X)又J Pdx = J Pdx + J PdxL L1 L 2=JbPx ,Q (x)dx +JbPx ,Q (x)dx a 1 1 a 1 2 JbPx ,Q (x) - Px ,Q (x)dx1 1 1 2dp- - JJ dxdy = J Pdx d dyl对于Y-型区域，同理可证JJd ” = Qdx 原式成立对于一般情况，可引进辅

25、助线分成有限个符合上述条件区域，在 D ,D ,D ,D上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消 即可得123几何应用：说明：4 在格林公式中，取P = -y,Q = x， 2JJ dxdy 二 J xdyDL二 A = J xdy - ydx 2L 1)格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立3dx &图 10-3-32)记法 J xdy - ydx =LdxdyD dx dy3)在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积 分计算二重积分。(4)例1计算J (y - x)dx + (3x + y)dyC几何应用。L :(x -1)2 + (y - 4)2 = 9解原式=JJ

26、(3 -1)dxdy = 18兀，=3，= 1Ddxdy例2计算星形线f = aC0S31围成图形面积(0 t 2“ )I y = a sin 311 f12兀3 兀 a 2A = xdy 一 ydx =(a cos31 - 3a sin21cos t + a sin21 - 3a cos21sin t)dt =2 l2 o8二、平面上曲线积分与路径无关的条件1. 曲线积分与路径无关：是G为一开区域，P(x,y), Q (x, y)在G内具有一阶连续 偏导数，若 G 内任意指定两点A, B及G内从A到B的任意两条曲线L , L12J Pdx + Qdy = J Pdx + QdyL1L2恒成立

27、，则称J Pdx + Qdy在G内与路径无关。否则与路径有关。LL1例 1 J (x + y) dx + (x - y) dyL(2,3) 的直线解 f Pdx + Qdy = f3 (2 一 y)dy + f 2(1 + x)dx = 3L 1 1 21L 2: y = 3 + 2( x - 2),即 卩 y = 2 x - 1f (x + y) dx + (x - y)dy = f2 (x + 2x -1) + 2(1 - x)dx = L212定理2设P(x,y) , Q(x,y)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价(1 )内任一闭曲线 C， f Pdx + Qdy

28、 = 0。C(2)对内任一曲线L，f Pdx + Qdy与路径无关L(3 )在D内存在某一函数卩(x, y)使dy (x, y) = Pdx + Qdy在D内成立。4)f 一譽，在D内处处成立。证明(1) 二(2)在D内任取两点A, B，及连接A, B的任意两条曲线aEB ,n C = aGb + bGa为D内一闭曲线 (1 )知 f Pdx + Qdy ,CAGBPdx + Qdy +f Pdx + Qdy =0nnAGBBEA二 f Pdx + Qdy = f Pdx + Qdynn AGBBEA(2 ) n (3)若f Pdx + Qdy在D内与路径无关。当起点固定在(x , y )L

29、0 0点，终点为(x, y)后，贝U f(x ,y) Pdx + Qdy是x, y的函数，记为u (x, y)。(x0,y0)下证 u (x, y)=卜,y) Pdx + Qdy 的全微分为 du (x, y) = Pdx + Qdy。(x0,y0)T P(x, y) , Q(x, y)连续，只需证色=p(x, y),QxQu、=Q (x, y)，QyQu十 u (x + Ax) 一 u (x, y)田疋乂一 = limQxAx t 0u(x+Ax,y)= J(x+Ax,y)Pdx+Qdy =u(x,y)+ (x0,y0)J(x+Ax,y)Pdx +Qdy(x,y)= u ( x, y) +

30、Jx+Ax Pdxx二 u (x + Ax, y) - u (x, y) = Jx+Ax Pdx = PAx , P = P (x + 0Ax, y) (0 0 1)即譽=P(X, y)，同理学=Q(x, y)。 QxQy(3) n (4)若 du (x, y) = Pdx + Qdy，可证竺 ， p =， Q = =-QyQxQxQydydxQP 亠,翌=旦,由P,Q具有连续的一阶偏导数旦Q2uQyQxQyQxQyQxQxQy=QQQx4)n (1)设C为D内任一闭曲线，D为C所围成的区域。J Pdx + Qdy =CJJ(翌一竺)dxdy =0。QxQyD例2曲线积分I = J (ey +

31、 x)dx + (xex 一 2y)dy ,LL 为过(0,0) ，(0,1) 和(1,2) 点的圆弧。解令p = ey + x，Q = xey - 2y，则譽=“SP=ey Qy I与路径无关。取积分路径为OA + AB。I = J Pdx + Qdy + J Pdx + QdyOAAB=J1(1 + x)dx + J2(ey 一 2 y)dy = e 2 一 ？0 0 2图 10-3-7例 3 计算 J xdy 一 ydx ,C x2 + y 21) c 为以(0,0)为心的任何圆周。2)c 为以任何不含原点的闭曲线。(1)令 P =yx 2 + y 2dPy 2 - x 2dQy 2 -

32、 x 2= , =dy(x 2 + y 2)2Qx(x 2 + y 2)2在除去(0,0)处的所有点处有竺=翌，作以0为圆心，r为半径作足够小的圆QyQx使小圆含在C内，订+J Pdx + Qdy = 0，即CCr?冗 r2 cos2 x + r2 sin0小J Pdx + Qdy = f2d0 2兀工 0C0r2(2).竺=翌 J Pdx + Qdy = 0dydxc2.二元函数的全微分求积.J Pdx + Qdy与路径无关，则Pdx + Qdy为某一函数的全微分为u(x,y)=J(x,y)Pdx + Qdy = Jx Pdx + Qdy + JyPdx + Qdy(x0,y0)x0y0注：

33、u(x, y)有无穷多个。图10-3-9例4验证：(2x + sin y)dx + xcos ydy是某一函数的全微分，并求出一个原函数。解令 P = 2x + sin y , Q = x cos ydQdP=cos y ,= cos ydxdy原式在全平面上为某一函数的全微分，取(x ,y )=(0,0)，00u(x,y)=J(x,y)Pdx+Qdy=Jx2xdx+Jyxcosydy=x2+xsin y(0,0) 0 0例5计算J (y 3ex - my)dy + (3y 2ex - m)dy ,c为从E到F再到G , FG是半圆C解 令 P = y 3ex - my , Q = 3y 2e

34、x - mdPdQ=3y2ex m ,= 3y2ex ,添加直线 GE ，则，原式+ Jpdx + Qdy =mdxdy兀图10-3-12例6m (1 + )GEii2=m 2 1 +兀()2 = m(1 +)2224二原式=(1 + )m j30dx =41QQQxy2f(x,y)1+xy3 f (x, y)= y2y2f (x, y) + xy3f (x, y) 1y2竺旦,故原积分与路径无关，添AC + CB构成闭路，原式+j +j = 0 BCAC二原式二j +jCBAC1342=贏y 2 f (y) -1dy + jl21 + 9 f (3x )dx=j 2 + 3 f (亍 x )

35、dx + f (y) 一33y2dy+ j2 f (u)du + j2f (y)dy +丄22y2QP = 2yf (x,y) + xy2 f(x,y) y 1 一 y2 f (x,y) = y2 f (x,y) + xy3 f (x,y) 1 Qyy2y2练习1.证明：若f(u)为连续函数，而C为无重点的按段光滑的闭曲线，则f： f (x2 + y 2)(xdx + ydy) = 0。 c2. 确定的n值，使在不经过直线y = 0的区域上，dx -X 2( X 2 + y 2) n dyy2与路径无关，并求当C为从点(1,1)到点B(0,2)的路径时I的值。3设 f (x, y) , g (

36、x, y)为 L 上的连续函数，证明fdx + gdy|ff 2 + g 2 dsLL三、小结：1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积。2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线 使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可。四、作业：P213-215， 3， 4(2)， 5(2)(4)， 6(2)(4)第四节 对面积的曲线积分教学目的：1理解和掌握对面积的曲线积分的概念性质 2掌握对面积的曲线积分的计算 教学重点、难点：1重点：对面积的曲线积分的计算2难点：对面积的曲线积分的计算 教学课时：2 教学过程：一、概念和性质1空间曲面质量 在对平

37、面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二 元函数换为三元函数即可得对面积的曲面积分。设有一曲面 。其上不均匀分布着面密度为S上的连续函数卩=卩(x, y, z)，求曲面S的质量。经分割，代替，求和，取极限四步，M = lim f 忆角,匚）-A S心 0 2定义设曲面工是光滑的，f(x,y,z)在工上有界，把工分成n小块，任取忆,n ,匚）S，作乘积 f忆,n ,匚）-AS（ = 1,2,n），再作和 为 f ,n., J )Ax (i = 1,2,n)，当各小块曲面直径的最大值九T 0时，这和的 i=1极限存在，则称此极限为f (x,y, z)在工上对面积的曲面积分或第一

38、类曲面，记 ff f (x, y, z)ds，即ff f(x,y,z)ds =lim 为f忆，耳,匚)-A SE心 o , Ei=1说明：(1) fh f (x, y, z )ds为封闭曲面上的第一类曲面积分( 2)当 f(x, y, z) 连续时， ff f(x , y, z)ds 存在(3)当f (x, y, z)为光滑曲面的密度函数时，质量M = ff f (x, y, z) dsE5)6)E性质同第一类曲线积分工=工+工12若工为有向曲面，则ff f (x,y,z)ds与工的方向无关。计算Dxy上具有一阶连续偏导数，在工上连续，则ff f(x,y,z)ds = fff(x,y,z(x,

39、y),：l + z2 + z2dxdyDxy说明(1)设z = z (x, y)为单值函数(2)若工:x = x(y,z)或y = y(x,z)可得到相应的计算公式。(3 )若工为平面里与坐标面平行或重合时ff f (x, y, z) ds = Jf ( x, y,0)dxdyeDy例1 计算I =ff (x 2 + y 2) ds，工为立体占2 + y 2 乙 1的边界E解设工=工+工，工为锥面z = ;x2 + y2， 0 z 11 2 1 二 2 为z=1 上x 2 + y2 1 部分工,工在x y面投影为x2 + y2 1 12dS = .1 +1+ dxdy = x/ 2 dxdy，

40、 dS = dxdy QxQy2图10-4-1二 I = ff (x2 + y2)ds + ff (x2 + y2)ds = ff (x2 + y2)2dxdy + 工11 Z 22 D(x 2 + y 2 )dxdyD=(込 + 1) ( x 2 + y 2) dxdy = (1 + v2)fd 订10ds例2计算ff，工由x + y + z 0， y 0， z 0的边界z (1 + x + y)2解 z = z +工+工+工1234定理：设曲面工的方程z = z (x, y)，工在xoy面的投影D，若f (x, y, z)在 xy工：z = 0，工：x = 0 ,工：y = 0 ,工：x

41、+ y + z = 1 1 2 3 4由对称性 JJ = JJ = ff 1 dydzz2 (1 + x + y)2z3 (1 + x + y)2d (1 + x + y)22yoz=f1 dz f1_ zdy = 1 - ln 2。o o (1 + y)2ff 色=ff d= f1 dx f1-x色=ln2 -丄z (1 + x + y)2d (1 + x + y)2o o (1 + x + y)221x o yff 竺=ff3dxdy= f1 dxf1-x3dxdy-伐ln2-丄)z4(1 + x + y)2D(1 + x + y)2 o o (1 + x + y)22二原式二ff+ ff

42、 + ff + ff= 2(1 - ln 2 ) + ( ln 2 -) + ( .3(ln2 -丄)z1z2 z3z4 (1 + x + y)222=(启-1)ln2 +例3计算ff |xyz|ds， z为x2 + y2 = z2被平面z = 1所割得部分z解 设第一象限内的部分为 z ： x o， 1ff |xyz ds = ff|xyz| IzDxyxyQz 2Qz 21 + dxdydz =QxQy4ffxyz k： 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdyDxy=4 ffdef1 r 2 sin 9 cos 9 r 2 ；1 + 4r 2 rdr =4(oo1 sin 2 92兀

43、2) ( f1 r 4、1 + 4 r 2 dr 2 ) 2 oou2 -1F=f丝(U 2 - 1)2 du =12用 一 14342or =tg 9 f 2tg9tg 40 sec 3 9丄 2tg 9 sec 2 9d92 o 164=吕tg 59 sec3 9d9 =32 fo2，g 1 tg 49 sec2 9d sec 9哙 fo；tg 1(sec29 -1)2 sec29dsec9 =125 5 - 142o三、小结：1 对面积的曲线积分的概念和性质2 对面积的曲线积分的计算 四、作业：P219-220，5，6（2）（4），第五节 对坐标的曲面积分教学目的：1理解和掌握对坐标的曲

44、面积分的概念和性质2掌握对坐标的曲面积分的计算教学重点、难点：1重点：对坐标曲面积分的计算2 难点：对坐标曲面积分的计算教学课时：2教学过程：一、定义、性质1有向曲面侧：设曲面z = z(x,y)，若取法向量朝上(n与z轴正向的夹角为锐角)，则fc-曲面取定上侧，否则为下侧；对曲面x = x(y,z)，若n的方向与x正向夹角为锐 角，取定曲面的前侧，否则为后侧，对曲面y = y (x, z)，n的方向与y正向夹角 为锐角取定曲面为右侧，否则为左侧；若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外， 则此时取定曲面的外侧，否则为内侧，取定了法向量即选定了曲面的侧，这种曲 面称为有向曲面2投影设工是有向曲面，

45、在工上取一小块曲面AS，把AS投影到x。y面上，得一投影域Ab(表示区域，又表示面积)，假定AS上任一点的法向量与z轴夹角Y的xyAbcos Y0xy余弦同号，则规定投影 AS 为 AS xy xy -Abcos Y 0实质将投影面积附以一xy定的符号，同理可以定义AS在y。z面,z。x面上的投影AS , yznASzx0cos y = 03.流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩的流体(设密度为1)的速度场为v(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k，工为其中一片有向曲面，P, Q, R在工上连续，求单位时间内流向工指定侧的流体在此闭域上各点处流

46、速为常向量v，又设n为该平面的图10-5-1单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一底面积为A，斜高为|v 的斜柱体，斜柱体体积为A |v| cos0 = A v n (n, v) =0 )时，流量为负值称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量 2均称为A - v - n。解 但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速v也不是常向量，故采 用元素法。把工分成n小块A S，设工光滑，且P, Q, R连续，当A S很小时，流.过A S的体积近似值为以A S为底，以v忆，耳,匚)为斜高的柱体，任忆,n ,匚)处的单位法向量n. = g ,n ,匚，故流量av忆,n ,:) nas，i i

47、 i i又 cos a AS = AS. .zy a 工 v n AS = X P cos a + Q cos 卩 + R cos y AS. . . . . . . .=1. =1c o 0 AS = AS ， cos y - AS = ASi i iz x i i ixy a 工PAS+ QAS+ RASiyz izx ixy i=1 O = limXPAS+ QAS+ RAS ，其中九为最大曲面直径匚 0.yzizxixy.=14定义设工为光滑的有向曲面，R(x, y,z)在工上有界，把工分成n块AS , AS在x。y .面上投影(AS )，忆，耳,匚)是AS上任一点，若九T 0，lim

48、 Xr忆，耳,匚)ASi xyi i iiA0i i iixy存在，称此极限值为R ( x , y.z)在工上对坐标x, y的曲面积分，或R ( x , y.z) dxdy在有曲面工上的第二类曲面积分，记为R(x, y, z)dxdy。类似P, Q 对 yoz 及 zox 曲E面积分分别为JJ Pdydz =lim E R(g ,n ,匚)ASE011 Iyzi =1JJ Qdzdx =lim E Q(g ,n ,匚)ASE- o i=i心说明：(1)工有向，且光滑2)p , q , r在工上连续，即存在相应的曲面积分3)JJ Pdydz + JJ Qdzdx + JJ Rdxdy = JJ

49、Pdydz + Qdzdx + RdxdyEEEE) 稳 定流 动 的 不可 压 缩 流 体 ， 流向 E 指 定 侧 的 流量5)=JJ Pdydz + Qdzdx + RdxdyE若E = E +E，则 JJ Pdydz = JJ Pdydz + JJ Pdydz12EE1E 26)设工为有向曲面，-工表示与工相反的侧JJ Pdydz = - JJ Pdydz-EEJJ Qdzdx = - JJ Qdzdx-EEJJ Rdxdy = - JJ Rdxdy二、计算定理-EE设E由z = z(x.y)给出的曲面的上侧，E在x y面上的投影为D ，xyz = z (x. y)在D 内具有一阶连续

50、偏导数，r在工上连续，则xy又忆，耳,匚)为工上的点，则i i i,z忆,n )(山)，令i i ii xyJJ Rdxdy = JJ Rx, y, z(x,y)(AS )。EOi xyEOxyT E取上侧，则 cos y0， 即(AS )= (Ab ),i xyi xyE= z(n ,匚)，二 E R忆,n ,匚)(as ) = E r忆,nii ii i i i xyi九T 0， 取极限则 JJ Rdxdy =JJ Rx, y,z(x, y)dxdyzOxy说明：(1)将z用z = z(x, y)代替，将Z投影到x。y面上，再定向，则JJ Rdxdy =JJ Rx, y,z(x, y)dx

51、dyzDxy(2) 若 Z : z = z(x, y)取下侧，则 cos y 0 的上侧Z解将z向y。z面投影为半圆 y2 + z2 = a2， z 0， x = 、；a2 一 y2 一 z2 JJ xdydz = JJ *a 2 一 y 2 一 z 2 dydz + (-JJ - f a 2 一 x 2 一 y 2 dydz)ZDDyzyza2 一 r2 rdr = ?na3 o3= 2 JJva2 一 y2 一 z2 dydz =2 Jn de J气，Dyz0由对称性 JJ ydxdz = 2na3， JJ zdxdy = na3Z3Z3二 原式=2 n a 3 x 3 = 2n a 33

52、注意：工必须为单值函数，否则分成n片曲面例2 JJ x (y 一 z) dydz _ + (z 一 x) dzdx + (x 一 y) dxdy Z 为 z 2 = x 2 + y 2 与 z = h 围 z(h0)，取外侧。解zi圆锥面上底，z = h，z2 = x2 + y2上侧z圆锥面侧面，z为前侧，Z为后侧22JJ x( y 一 z)dydz = 0 ， JJ (z 一 x)dzdx = 0z1z1JJ (x一 y)dxdy = JJ (x一 y)dxdy = J2ndefh r(cos e 一 sin e )rdr zD001xyJJ (x- y ) dxdy =-JJE2JJ x(

53、 y - z)dydz +JJ x(y-z)dydz =E EJJ ;z2 - y2(y-z)dydz - JJ - ；z2 - y2(y-z)dydzDyz(x - y)dxdy ，D xy口 (x 一 y)dxdy = 0 幼卜Dyz=2 JJ vz2 - y2 = 2 J hdz J 气:z2 - y2 (y - z )dy =- Dyz0- z4(z-x)dzdx = -JJ(z - xdzdx)+ J(J z - x)dzdx = = 0卜e 2 左e 2 右 原式= h 44 两类曲面积分间的关系若E : z = z(x.y) , E在x y面的投影域D xyJJz 在 D 上有一

54、阶连续偏导数，xyR在工上连续，工取上侧JJ Rdxdy = 口 Rx, y, z(x, y)dxdyEOcos a,cos P =1 + z 2 + z 2：1 + z2 + z2xyxyJJ R (x, y, z )cos y ds = JJ R x, y, z (z, y )cos y fl + z2 + z2 dxdy叫a =JJ Rx, y,z(x, y)dxdyDDxyxy若E取下侧， JJ Rdxdy =- JJ Rx, y,z(x, y )dxdyEDxyJJ R cos yds = JJ R cos y、l + z2 + z2 dxdyEDy xxy=- JJ Rx,y,z(x,y)dxdyDxy类似JJ Pdydz = JJ P cos ads ， JJ Qdzdx = JJ P cos PdsEEEE JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = JJ P cos a + Q cos P + R cos y dsEExy(cosa,cos P,cosy)为工在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。3 计算 JJ (z2 + x)dydz - zdxdy 工是 z = (x2 + y2)介于 z = 0 和 z = 2 之间 e2部分的下侧解 JJ( z2 + x)dydz = JJ (z2 + x)cosadsee