7.3任意项级数的敛散性判别

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1、复习复习正项级数判别法：正项级数判别法：（1）?0lim nnu（2）比值判别法（含）比值判别法（含n的阶乘）的阶乘）或根式判别法（通项中含有或根式判别法（通项中含有n次幂）次幂）（3）比较判别法极限形式）比较判别法极限形式(含对数函数时含对数函数时 经常采用比较法经常采用比较法)（4）比较判别法）比较判别法不用比较对象不用比较对象需要敛散性已知的比较对象需要敛散性已知的比较对象 11:1npnp级数级数、发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,1pp敛散性敛散性、02nnaq 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,1qqn 113n 、调调和和级级数数.发散发散 极限形式：极限形式：非极限形式

2、：非极限形式：比较判别法：比较判别法：发散发散发散，则发散，则收敛收敛收敛，则收敛，则则则nnnnnnvuuvcvu,发散发散发散，则发散，则收敛收敛收敛，则收敛，则同敛散同敛散若若给定给定nnnnnnnnuvruvrrrvuv,0,0lim,比值判别法比值判别法：（不需要比较对象）（不需要比较对象）ruunnn 1lim 方法失效方法失效发散发散则则收敛收敛则则,1,1,1rururnn根式判别法：根式判别法：（不需要比较对象）（不需要比较对象）runnn lim 方法失效方法失效发散发散则则收敛收敛则则,1,1,1rururnn7.3 任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别 一、交错

3、级数一、交错级数 二、莱布尼兹判别法二、莱布尼兹判别法 三、绝对收敛、条件收敛三、绝对收敛、条件收敛一、任意项级数、交错级数的定义一、任意项级数、交错级数的定义定义定义 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.1nnu 若若是是正正项项级级数数,1nnnuS 则则收收敛敛其其部部分分和和数数列列有有界界.1nnu 若若是是任任意意项项级级数数,1nnnuS 则则收收敛敛其其部部分分和和数数列列有有界界.？11(1)nn 111111 01nnSn 为为偶偶数数为为奇奇数数,nS有有界界11(1).nn 但但发发散散 nnnu11)1(定义定义 正、负项相间

4、的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.)0(nu其中其中 4321uuuu 4321 uuuu nnnu1)1(二、莱布尼兹判别法（交错级数）二、莱布尼兹判别法（交错级数）1231(1)nnuuuuu (2)lim0nnu 11(1):nnnu 莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法 若若交交错错级级数数满满足足111(1).nnnusu 则则收收敛敛,且且它它的的和和,01 nnuu21234212()()()nnnSuuuuuu 2,nS即即数数列列是是单单调调增增加加的的证证212322212()()nnnnSuuuuuu又又1u 2,nS数数列列是是有有界界的的21lim.nnSsu

5、,0lim12 nnu21221limlim()nnnnnSSu,s.,1uss 且且级级数数收收敛敛于于和和解解,1 nnuununnn1limlim .0 所以原级数收敛所以原级数收敛.（1）,111 nn（2）,1nun 11(1)nnnu 11nn 解解,1 nnuu)1(limlimnnunnn .0 原级数收敛原级数收敛.（1）nn 1112 nn（2）nnn 11limnnun 1121 nn1 nu解解12lim nnn021 原级数发散原级数发散.nnulim注：对于交错级数注：对于交错级数,0lim,)1(nnnnuu 若若则一定发散则一定发散.lim0nnu22lim(1

6、)0nnnulim(1)0nnnu11(1).nnnu 发发散散解解考察函数考察函数的单调性。的单调性。xxxfln)(,ln)(nnnfun 2ln1)()1(xxxf )3(,0 x,ln,3单调递减单调递减故当故当nnn xxxlnlim.0 原级数收敛原级数收敛.nnnlnlim)2(xx1lim 当当nu的单调性不好判断时，可借助函数的单调性不好判断时，可借助函数f(x)的单调性的单调性对对f(n)进行判断，不可以直接对进行判断，不可以直接对f(n)求导。求导。注：对于交错级数注：对于交错级数nnu lim不容易求解时，可转换为函数极限问题；不容易求解时，可转换为函数极限问题；,)(

7、)1()1(11 nfunnn当 )1(xx)2(0 x解解,1单单调调递递减减故故函函数数 xx1(2),nnuun 1limlim)2(nnunnn.0 原级数收敛原级数收敛.(1)考察函数考察函数的单调性。的单调性。1)(xxxf2)1(2)1(xxx1()lnxx )2(0 x解解1,lnxx 故故函函数数单单调调递递减减1(2),nnuun (1)考察函数考察函数的单调性。的单调性。1()lnf xxx 211lnxxx 21lnxx xx 1(2)limlimlnnnnunn 1limlnxxx limlnxxx lnlim1xxxxln1lim1xxxx 221lnlim1xxx

8、x lim 1lnxx 0 lim0nnu原级数收敛原级数收敛.三、绝对收敛和条件收敛三、绝对收敛和条件收敛定理定理 若若 1nnu收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛.证证明明：|nnnuuu 0|2|nnnuuu 1|nnnuu 是是正正项项级级数数,1|nnu 且且是是收收敛敛级级数数.1|().nnnuu 也也是是收收敛敛级级数数 正正项项级级数数的的比比较较判判别别法法 11|nnnnnnuuuu从从而而也也是是收收敛敛级级数数.1|nnu 注注：发发散散，1nnu 发发散散1111|1|nnnnn（）发发散散,nn 11(-1)n 但但收收敛敛.1nnu 对对于于收收敛敛的的任任意意项

9、项级级数数来来说说，1|nnu 有有些些收收敛敛，1|nnu 而而有有些些发发散散。收敛，收敛，例：例：21nn1(-1)n 收敛，收敛，n1(-1)1nn n22n 1n 111(-1)nn 收收敛敛.nn 1n 111(-1)nn=发发散散。11|nnnnuu 收收敛敛，收收敛敛1nnu 绝绝对对收收敛敛1nnu 条条件件收收敛敛收敛收敛发散，发散，11nnnnuun2n 11(-1)n 例例：nn 11(-1)n 绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛11|nnnnuu 收收敛敛，收收敛敛1nnu 绝绝对对收收敛敛1nnu 条条件件收收敛敛收敛收敛发散，发散，11nnnnuu例：判别级数例：判

10、别级数的敛散性。的敛散性。11)0()1(npnpn解：解：时，时，1 p 原原级级数数条条件件收收敛敛.时，时，1 p11111|(1)|nppnnnn 11111|(1)|nppnnnn 此此时时,原原级级数数绝绝对对收收敛敛.发散，发散，收敛，收敛，n1n111,limlim0,(1)npppnnuuunnn 又又11pnn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,1pp111(1)npnn 1,1,pp 当当时时绝绝对对收收敛敛当当时时条条件件收收敛敛例：判别级数例：判别级数2(1)lnnnn 的的敛敛散散性性.解：解：22(1)1lnlnnnnnn 11lnnn 21,nn 且且发发散

11、散21.lnnn 发发散散111lnln(1)nnuunn 又又1lim0lnnn 2(1).lnnnn 条条件件收收敛敛四、任意项级数的判别方法四、任意项级数的判别方法定理：定理：1nnu 设设为为任任意意项项级级数数，则则若若,|lim1ruunnn 时，时，当当1)1(r1nnu 绝绝对对收收敛敛。时，时，当当1)2(r1,nnu 发发散散时，时，当当1)3(r判别法失效。判别法失效。1nnu 发发散散。1,nnu 收收敛敛1111nnnnnnnnuuuu发发散散时时，可可能能收收敛敛，也也可可能能发发散散，但但若若根根据据比比值值判判别别法法：判判定定发发散散，则则发发散散.例：例：的

12、敛散性。的敛散性。判别级数判别级数 nnn2)1(31解：解：31322)1(limnnnnn 3)11(21limnn211 绝对收敛。绝对收敛。nnn2)1(3|lim1nnnuu例：例：113(1)!nnnnn 判判别别级级数数的的敛敛散散性性。解：解：13(1)!1lim3!nnnnnnn 3e 1 3(1)2nnn 发发散散.|lim1nnnuulim31nnnn 3lim11nnn -11(-1).nnnxn 例例 讨讨论论的的敛敛散散性性x-111nnnxn （）解：解：111lim1nnnxnxn lim1nnxn 11(1).nnnxn 绝绝对对收收敛敛(1)0,x 当当时时

13、10n 绝绝对对收收敛敛;(2)0,x 当当时时1nnxn 1,x当当时时11(1).nnnxn 发发散散1,x 当当时时1,x 当当时时11(1)nnn 原原级级数数.条条件件收收敛敛1,x 当当时时11nn 原原级级数数.发发散散 2sinnna,112收敛收敛而而 nn解解,sin12 nnna收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.经判断该级数为任意项级数（易出错认为正项级数）经判断该级数为任意项级数（易出错认为正项级数）,12n考虑绝对值级数考虑绝对值级数21sinnnan 22sin1nann,112收敛收敛而而 nn21sin.nnan 收收敛敛21(1)sin

14、2nnn 1!(3)2 sin5nnnnnn (1).解解显显然然，该该级级数数为为正正项项级级数数2112(1)sin2limlimsin2nnnnnnnuun 212(1)2lim2nnnnn 112.所所以以该该级级数数收收敛敛221sin5(2)5nnnn (2).解解显显然然，该该级级数数为为正正项项级级数数221sin5(2)5nnnn 222sin555nnnnn 21,5nnn 对对级级数数而而言言2112(1)5limlim5nnnnnnnunu 211lim5nnn 11521,5nnn 级级数数收收敛敛221sin5.5nnnn 从从而而收收敛敛1!(3)2 sin5nn

15、nnnn (3).解解显显然然，该该级级数数为为任任意意项项级级数数!2 sin25nnnnnnnnn 1!2nnnnn 考考查查正正项项级级数数111(1)!2(1)limlim!2nnnnnnnnnunnun 1(1)!lim2(1)!nnnnnnn 1lim21(1)nnn 21e1!2,nnnnn 收收敛敛1!2 sin5nnnnnn 于于是是由由比比较较判判别别法法得得收收敛敛,.从从而而原原级级数数绝绝对对收收敛敛11(1)1.ln(1nnn ）132(1)3.2nnnn 212(1)24.!nnnn 2(1)2.lnnnnn 2(1)5.(1)(1)(2)nnn nnn 1514

16、2(1)6.(1)nnnn 1nnu 考考查查的的敛敛散散性性比比值值11nnnnuu 与与同同敛敛散散比比较较或或比比较较的的极极限限形形式式3 4，1 2 6，比比较较或或比比较较的的极极限限形形式式-一一般般莱莱布布尼尼兹兹公公式式1nnu 收收敛敛1nnu 绝绝对对收收敛敛1nnu 发发散散1nnu 的的敛敛散散性性重重新新判判定定6lim0,nu 发发散散5判断任意项级数敛散性的方法判断任意项级数敛散性的方法判断级数敛散性的步骤判断级数敛散性的步骤1.1.判定级数类型判定级数类型-任意项级数或正项级数任意项级数或正项级数2.2.若为正项级数若为正项级数,采用正项级数的判别法采用正项级

17、数的判别法1).1).比值判别法比值判别法2).2).比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式3.3.若为任意项级数若为任意项级数,采用任意项级数的比值判别法采用任意项级数的比值判别法.作业：作业：pp255，12.（1）（）（2）（）（10）（13）收敛或发散收敛或发散绝对收敛或条件收敛或发散绝对收敛或条件收敛或发散11(1)1.ln(1nnn ）132(1)3.2nnnn 212(1)24.!nnnn 2(1)2.lnnnnn 2(1)5.(1)(1)(2)nnn nnn 15142(1)6.(1)nnnn 111(1)11.ln(1ln(1nnnnn 解解 考考查查）11ln(11nn）

18、111nn 且且发发散散，11(1)ln(1nnn 所所以以发发散散.）11(1)ln(1nnn 考考查查）111ln(1ln(2)nnuunn）1lim0ln(1nn ）11(1).ln(1nnn 收收敛敛，且且为为条条件件收收敛敛）22(1)12.lnlnnnnnnnn 解解 考考查查n1lnlim1nnn nlimlnnnn n1limln1nn 1 21nn 且且发发散散2(1)lnnnnn 所所以以发发散散。2(1)()lnnnnn 考考查查见见前前面面例例题题,收收敛敛于于是是条条件件收收敛敛。1()lnxx )2(0 x解解1,lnxx 故故函函数数单单调调递递减减1(2),nn

19、uun (1)考察函数考察函数的单调性。的单调性。1()lnf xxx 211lnxxx 21lnxx xx 1(2)limlimlnnnnunn 1limlnxxx limlnxxx lnlim1xxxxln1lim1xxxx 221lnlim1xxxx lim 1lnxx 0 lim0nnu原级数收敛原级数收敛.13322(1)3.22nnnnnnn 解解 考考查查33113131122limlimlim22nnnnnnnnnnunnun （）（）112132(1)2nnnn 所所以以收收敛敛，从从而而原原级级数数绝绝对对收收敛敛.22122(1)224.!nnnnnnn 解解 考考查查2212n+11221!limlimlim12!nnnnnnnununn （）（）212(1)2,!nnnn 所所以以发发散散从从而而原原级级数数发发散散.(1)5.lim10(1)(2)nn nnn 解解，所所以以原原级级数数发发散散.15511442(1)2(1)6.(1)nnnnnnn 解解 考考查查55442(1)3nnn 5143,nn 而而收收敛敛15142(1)(1),nnnn 所所以以收收敛敛从从而而原原级级数数绝绝对对收收敛敛.