3.2.1利用空间向量证明平行问题

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1、jchay2.立体几何中的平行关系的向量表示立体几何中的平行关系的向量表示设直线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面，平面 的法向量分别为的法向量分别为 ，则有以下结论：，则有以下结论：ab，uv，(1)线线平行：(2)线面平行：(3)面面平行：解决这些问题解决这些问题,首先必须适当建立空间坐标首先必须适当建立空间坐标系系,然后进行坐标化。然后进行坐标化。/lmabakb/0laua u/uvukvblmauv检测自学效果检测自学效果(1),(1,2,1),(2,4,2),_.l mabl m直线的方向向量分别为则直线的位置关系为(2)(1,0,1)(0,1,1)(1,1,0)

2、,.ABCABC已知，求平面的一个法向量平行平行解：(1,1,1)n平面ABC的一个法向量为1,1xyz取则0,0n ABxyn BCxz ,nAB nBC (1,1,0),(1,0,1)ABBC 可求得(,).ABCnx y z设平面的一个法向量为点拨、提高与归纳点拨、提高与归纳例题例题1:在四棱锥在四棱锥S-ABCD中中,底面底面ABCD为正方形，侧棱为正方形，侧棱SD底面底面ABCD,E,F分分别是别是AB,SC的中点的中点.求证求证:EF/平面平面SAD.SABCDEF证明：xyz/.EFSAD平面00 1002bEF na 0,0n DAaxn DSbz (,0,0),(0,0,)D

3、AaDSb (,),SADnx y z设平面的法向量为(,0),(0,).,22 2aa bE aF,ADa SDb设.以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(0,0),(0,0,0),(0,0,)CaDSb(,0,0),(,0),A aB a a则(,0,)2bEFa 1,(0,1,0)yn令则EFn 例题例题2:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面中，求证：平面A1BD/平面平面CB1D1ABCDA1B1C1D1证明：xyz111/BDCB D平面A平面1nA BD即 也是平面的法向量。11,nA B nA D 11 0 1 1 1(1)0n AD 11 1 1

4、0 1(1)0n AB 111(1,0,1),(0,1,1)A BDA BA D 在平面中，110,0n CByzn CDxz 11(0,1,1),(1,0,1).CBCD 11(,),CB Dnx y z设平面的法向量为1111(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)ABCDABCD1设正方体棱长为，则A以 为坐标原点建立空间坐标系如图，1,(1,1,1)zn令则归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题的步骤的步骤1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。在空间图形中建立适

5、当的空间直角坐标系。-即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线，即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线，若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系；若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系；若没有，则需要作辅助线。若没有，则需要作辅助线。2.写出空间图形中各点的空间坐标。写出空间图形中各点的空间坐标。3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题利用空间向量的关系来证明相关的平行问题.当堂训练当堂训练1.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD与矩形与矩形ACEF所在的平面互相所在的平面互相垂直，垂直，AB=，AF=1,M是是EF的中点的中点.求证：求证：AM/平面平面BDE.2ABCDEFM2.如图，四棱锥如图，四棱锥O-ABCD中，中，底面底面ABCD是边长为是边长为1的菱形，的菱形，ABC=450,OA底面底面ABCD,OA=2,M为为OA的中点，的中点，N为为BC的中点的中点.求证：求证：MN/平面平面OCDOABCDMN